Postacie kanoniczne i pewna idea zainspirowana teorią homologii

Na marginesie moich rozważań na temat homologii budowanych na przestrzeniach zdań logicznych, opisze poniżej pewien ogólny pomysł dotyczący postaci kanonicznych obiektów. Postać kanoniczna obiektu matematycznego to pojecie natury właściwie estetyczno -praktycznej i mam wrażenie że jego istnienie zostało nieco przeoczone przez główny nurt matematyki, co nie znaczy że jest niedocenione. Po prostu nie spotkałem sie z jakąś systemową jego analiza, może poza jednym przypadkiem jego książki Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger „A=B”. Książka choć zdecydowanie dotyczy kombinatoryki to jednak w kilku zdaniach dyskutuje zagadnienie formy kanonicznej wyrażenia. W szczególności autorzy piszą „A canonical form is a clear-cut way of describing every object in the class, in a one-to-one way. So in order to find out whether object A equals object B, all we have to do is find their canonical forms, c(A) and c(B), and check whether or not c(A) equals c(B).” Widać wyraźnie że autorzy książki doceniają znaczenie postaci kanonicznej – w ich ujęciu jest to fundamentalna postać syntaktyczna pozwalająca na rozstrzyganie o równości czy równoważności obiektów. Z drugiej strony postacie kanoniczne nie wydają się ( poza aspektem praktycznym) być systemowo analizowane na gruncie matematyki w aspekcie syntaktycznym. Oczywiście szeroko opisywane i głęboko badane sa ich własności wewnętrzne, ilość parametrów związana z bardzo ważnym pojęciem przestrzeni moduli i inne tego typu, matematyczne własności. Zarazem własności czysto syntaktyczne, związane z przekształceniami „napisów” nie są o ile wiem, systemowe analizowane. Właściwie wydaje sie to być rzeczą trywialną, analizować taki aspekt sprawy, ale z jednej strony moje zainteresowania odnoszą sie bardziej do systemów logicznych, a w nich syntaktyka ma wiele do powiedzenia. Z drugiej zaś strony, z wykształcenia jestem fizykiem, zaś obszar moich zainteresowań obejmował kiedyś technikę grupy renormalizacji. Można bez przesady stwierdzić, ze pewne formy grupy renormalziacji to w istocie systemowe badanie symetrii wyrażeń algebraicznych pod wpływem odwzorowania iteracji – o czym kiedyś chciałem napisać, i kto wie, może jeszcze napiszę… Tym samym zagadnienie jest osadzone całkiem konkretnie.

Zdefiniujmy aktorów:

Mamy zbiór obiektów Standardowe odwzorowanie D ze zbioru A w grupę przemienną G polega na rozpatrywaniu formalnych obiektów

które można oczywiście sumować, wypadku grupy addytywnej:

Stosowne przekształcenie może być także zdefiniowane dla grupy przemiennej multiplikatywnej:

i można je mnożyć:

I oczywiście pojawia się problem czy można mnożyć elementy i tak by nadać sens wyrażeniom – czasami jest to możliwe, przykład poniżej.

Jeśli istnieje zbiór oraz rodzina odwzorowań o stosownych własnościach ( łączność, element neutralny, generalnie odwzorowania muszą być monoidem) to możemy mówić o kategorii zbiorów „A” i wszystkich konsekwencjach wynikających z faktu że zbiory A,B… tworzą wraz z odwzorowaniami kategorię. Poniżej mówimy o przypadkach w których B jest podzbiorem zbioru A i prosiłbym czytelnika o takie właśnie nastrojenie umysłu ;-).

Jeśli odwzorowanie D „jest zgodne” z całą maszynerią kategorii, to przeprowadza elementy zbioru A i zbioru w elementy grupy G, zachowując „funkcyjność” czyli stosowne diagramy kategorii są zgodne. Tym samym D staje sie funktorem z kategorii zbiorów A,B… w kategorię grup.

O ile czegoś nie pokićkałem to standardowy obrazek ( a jak pokićkałem, łatwo to naprawić…) a przynajmniej taki był mój zamiar ( niczego nowego tu nie opisałem).

Lepiej się myśli na przykładach, więc załóżmy teraz że zbiory A czy B to coś w rodzaju rodziny wielomianów, albo zdań logiki, reprezentowanych w rozmaitym zapisie, zaś odwzorowania f pomiędzy nimi to jakiegoś rodzaju przekształcenia tych obiektów ( dodawanie wielomianów, mnożenie, łączenie zdań logiki za pomocą operatorów negacji, alternatywy, koniunkcji itp.). Przekształcenia sa rozmaite, a wśród nich istnieje arcyciekawa rodzina przekształceń: przekształcenia do postaci kanonicznej.

Postać kanoniczna to specyficzna forma „syntaktyczna” obiektów, określona przez jakiegoś rodzaju wymóg „wygody”, „jednoznaczności”, „urody” – pojecie w zasadzie tyle estetyczne co praktyczne. Ma ona jednak tą cechę, że:

• postać kanoniczna jest pojęciem syntaktycznym ( chodzi o formę graficzną, powiedzmy przedstawienie w wypadku wielomianów).

• każdy obraz obiektu ze zbioru A pod wpływem przekształcenia do postaci kanonicznej – nadal jest obiektem zbioru A ( czyli postać kanoniczna wielomianu, lub zdania logicznego, nadal jest wielomianem lub zdaniem logicznym). Tym samy jest to rodzina przekształceń z zbioru A do A.
• przekształcenie kanoniczne ma własność, że jeśli wyróżnimy elementy w postaci kanonicznej jako zbiór C, to są oczywiście są podzbiorem elementów A. Teraz jest suriekcją na C ( ale nie na A! ).
• postać kanoniczna nie jest pojęciem syntaktycznie jednoznacznym, i choć w praktyce jest zwykle jasne z jaką postacią kanoniczną mamy do czynienia, to dany zbiór obiektów może mieć kilka „przedstawień kanonicznych” użytecznych w rożnych kontekstach.
• jeśli mamy rozmaite formy kanoniczne dla obiektów z zbioru A, powiedzmy ( z uwagi na rozmaite potrzeby, np. wielomian raz możemy prezentować w postaci iloczynowej a raz jako sumę . Dla zdań logiki raz możemy je prezentować w postaci alternatywo-koniunkcyjnej a raz – jak w przykładzie poniżej z mojego bloga gdzie wprowadzałem grupę oczepioną homologii – interesowała nas forma kanoniczna zdania lub z całkowitym pominięciem bardziej złożonej struktury wewnętrznej ) to istnieje odpowiedniość pomiędzy tak powstałymi zbiorami i ( gdyż reprezentują te same obiekty w rozmaitych postaciach normalnych. )
• Nawet jeśli postać kanoniczna została określona, zwykle miewamy do czynienia z pewną dozą dowolności związaną z przedstawieniem z dokładnością do pewnego zbioru przekształceń, jak uporządkowanie zmiennych, permutacje itp.  ( na przykład w wypadku wielomianów w dziedzinie rzeczywistej, możemy wymagać by pierwiastki w wyrażeniu były uporządkowane w sposób rosnący. W wypadku liczb zespolonych wymóg taki nie występuje i mamy pewną dowolność/niejednoznaczność syntaktyczną. Proszę zwrócić uwagę że jest to cecha wewnętrzna przestrzeni nad którą budujemy wielomiany a nie jest to bynajmniej kwestia konwencji! )

Mamy zatem strukturę zbioru wraz z przekształceniami jego elementów do postaci kanonicznej i zapytamy: czy możliwe jest prawidłowe zdefiniowanie funktora D z kategorii takich obiektów do kategorii grup?

Wydaje sie oczywiście że jest to możliwe. Na przykład:

• dla zdań logicznych postać kanoniczna to powiedzmy postać alternatywo-koniunkcyjna. Każdy jednoznacznie określony przez zdania ciąg koniunkcyjny odwzorujemy pod wpływem funktora D w pewien obiekt zaś elementy alternatywy mapujemy jako „sumy”. Teraz każdemu zdaniu w postaci itp. ( gdzie jest w postaci czysto koniunkcyjnej) przypiszemy element . Elementy odwrotne to oczywiście negacje. Jak widać odwzorowaliśmy postać alternatywo-koniunkcyjną zdania logicznego w grupę addytywną. Proszę zwrócić uwagę, że struktura wewnętrzna części koniunkcyjnej nie została określona. Nie założyliśmy np. żadnej formy uporządkowania zdań ( i prawdę mówiąc dla ogólnego zbioru zdań logiki taki porządek właściwie nie istnieje, choć oczywiście można by postulować jakieś półśrodki, jak złożoność syntaktyczna mierzona np. głębokością drzewa syntaktycznego, albo ilością znaków albo na inne, nierównoważne zresztą, sposoby). Analizując ten przykład dalej widzimy że wynikowa grupa jest grupa przemienna generowana przez „grupy zdań” w postaci czysto koniunkcyjnej ( a więc ). Gdybyśmy ograniczyli się do obiektów o maksymalnie N elementach, grupa ta będzie miała skończoną liczbę generatorów, przy czym każdy możliwy ciąg koniunkcyjny zdań będzie generatorem. W następnym kroku możemy „zejść głębiej” i narzucić w takiej przestrzeni kolejną postać kanoniczną wyższego rzędu, np. wprowadzając porządek w kolejności zdań w postaci koniunkcyjnej itp.
  

• dla wielomianów ustalmy że postać kanoniczna to zaprezentowanie wielomianu jako iloczynu . W zbiorze C wielomianów w postaci kanonicznej operacja iloczynu nie wyprowadza poza zbiór C ( a operacja sumy – syntaktycznie wyprowadza). Zatem wielomian w postaci kanonicznej odwzorujemy w obiekt wielomian w wielomian zaś wielomian nadal będzie w postaci kanonicznej. Właściwie nie mamy tu elementów odwrotnych – tym samym odwzorowanie wprowadza monoid a nie grupę. Rozpatrzmy ten przykład nieco szerzej. Ogólny wielomian zwykle przestawiany jest jako suma monomianów . W naszym przypadku dokonamy oszustwa i będziemy rozważać wyrażenia w postaci iloczynowej, o krok bliższej pełnej formie kanonicznej, jak . Zwróćmy uwagę że wyrażenia to trzy rożne zapisy tego samego wielomianu w postaci kanonicznej . Widzimy tutaj że „ogólny wielomian w postaci iloczynowej ma znacznie więcej „swobody syntaktycznej” niż wyrażenie kanoniczne . Właśnie o tego typu rozróżnieniach rozmawiamy.
• rozważmy jeszcze raz przestrzeń wielomianów nad liczbami rzeczywistymi, tym razem o ustalonych ( i uporządkowanych!) pierwiastkach . Wszystkie tego typu wielomiany mają kanoniczną postać . Wielomian w takiej przestrzeni jest jednoznacznie zadany przez podanie stopni pierwiastków czyli przez ciąg liczb . Przekształcenie D mapuje wielomian na obiekt przemiennej grupy multiplikatywnej. Mnożenie wielomianów w tym wypadku polega na dodawaniu stopni stosownych pierwiastków. Tym samym przestrzeń taka, wielomianów w postaci kanonicznej o ustalonych pierwiastkach rzeczywistych, jest równoważna k-wymiarowemu monoidowi liczb dodatnich z operacją dodawania. Wydaje sie możliwe uogólnienie tej konstrukcji by uwzględnić ujemne „krotności” pierwiastków i tym samym w miejsce monoidu wprowadzić grupę. A pełna przestrzeń wielomianów o ustalonych k pierwiastkach( oszukujemy jak poprzednio, wszystkie niech będą w postaci iloczynowej, oszukujmy dalej, pierwiastki są uporządkowane! )? Ponieważ wyrażenia i uważamy tym razem za różne, ma ona znacznie bardziej złożoną strukturę!

Jak widać mamy zatem sytuację że D odwzorowuje obiekty zbioru A na elementy grupy (monoidu) G, a zarazem elementy podzbioru A – te elementy które sa w postaci kanonicznej – na elementy podgrupy G.

Mamy obraz całego zbioru A pod wpływem funktora D, oraz obraz całego zbioru A pod wpływem złożenia gdzie oznacza podgrupę G. Inaczej – elementy złożenia odwzorowań są podzbiorem elementów D – gdzie wszystkie odwzorowania działają na zbiorze A.

Jeśli mamy podgrupę to zachodzi pytanie: *Jak wygląda iloraz grupy G przez podgrupę związaną z elementami w postaci kanonicznej?*

I tu mamy jakąś analogię z homologią….

W przykładzie ze zdaniami logicznymi powyżej wspomniałem o postaci kanonicznej zdefiniowanej głębiej, na kolejnym poziomie syntaktycznym. Analogia do grup homologii jest tu tym wyraźniej widoczna, bowiem mamy kolejne odwzorowanie, kolejne grupy ilorazowe itp. Właściwie być może należałoby całą konstrukcję oprzeć na pojęciu ogólnej postaci syntaktycznej, następnie zdefiniować drzewo syntaktyczne i na każdym jego szczeblu definiować stosowne odwzorowania i grupy ilorazowe. Zagadnienie zaczyna w ten sposób być bliższe tematom z jakimi mają do czynienia informatycy podczas konstrukcji parserów…

Z mojego wpisu na blogu wynika, że w pewnych przypadkach dla zbiorów zdań logiki grupa ilorazowa jest nietrywialna. Sytuacja taka miała miejsce dla pewnych szczególnych postaci odwzorowania D – badałem strukturę związaną z regułą modus ponens – co dla tego co tu opisano jest bez znaczenia, zaś postać kanoniczna którą rozważałem była *związana z negacją* czyli z formą zdania lub . Przypadek taki oznacza że zbiór zdań jest ( syntaktycznie!) sprzeczny. W przypadku homologii odczepionej grupa ta może być trywialna ( w zbiorze zdań nie występują zdania i , zbiór zdań jest niesprzeczny). Może ona jednak być także złożona z 2 elementów ( występuje zdanie i , teoria jest syntaktycznie sprzeczna), albo z n elementów ( czego nie pokazałem ale przypuszczam że tak jest w wypadku zdań w paradoksie „koła kłamców” gdzie pierwszy z kłamców mówi: „następny kłamie!”, następny mówi to samo… i tak n – 1 osób, zaś ostatnia osoba mówi „następny mówi prawdę!” ). Widać więc że dla pewnych form kanonicznych i pewnych zbiorów – grupa ilorazowa może być nietrywialna, a zdarzenie to jest związane z ważną cechą zbioru A – w wypadku logiki była to sprzeczność ( syntaktyczna).

Jak to jest w wypadku innych zbiorów obiektów i innych postaci kanonicznych?

 PS. Przypomniałem sobie że jednak temat postaci kanonicznej, kanoniczności przekształcenia itp. padł w pewnym konkretnym kontekście. I szukając w głowie gdzie i kiedy to było przypomniałem sobie dawną batalię z zawodowymi matematykami jaką stoczyłem przy okazji pytania jakie zadałem na mathoverflow, Miało ono postać: „Jakie pojęcia nie są ściśle zdefiniowane we współczesnej matematyce?”  Jak sie okazuje są profesjonalni ( i świetni!)  matematycy którzy nie są w stanie zrozumieć takiego pytania! Tak czy śmak, pytanie odniosło wielki sukces, udzielono na nie ( wbrew opinii grupy „nierozumiejących” ale trzymających władzę…) 29 odpowiedzi, a obejrzano je ponad 9 tysięcy razy! Jedna z odpowiedzi dotyczyła pojęcia kanoniczności. Nie jest wykluczone jednak że popełniam tu błąd ekwiwokacji…

Topolog Szachrajka – albo zagadka dla dociekliwych

 

 

 

 

 

 

Topolog Szachrajka

 

 

Chcecie bajki? oto bajka! Był raz topolog szachrajka, co budował bardzo śliczne stacje kosmiczne. Finitysta czy platonik, tyra w kieracie jak konik: takoż i topologowie. A nad nimi są szefowie. A nad szefem – są księgowi co hołdują morfizmowi: (zawsze wyjdzie taki bzdet ) budżet w kategorię FinSet Szef raz zleca zespołowi „Kosmodrom zbudować nowy! „macie blachy sto arkuszy, na więcej brakło funduszy” Smutne miny, żałość wszędzie: „Z tyla blachy? ciasno będzie”. Logik ścisnął ręce w kieszni: „mało będzie tam powierzchni” Wtem Topolog nasz szachrajka wpadł na pomysł: „to jest bajka!” Klasnął, skoczył, wyginał wręgi na kształt mobiusowej wstęgi! Wraz robota jest skończona! Stacja w kosmos wystrzelona. Szef jest kontent że aż miło: „tak przestronnie się zrobiło!” „Teraz dla przecięcia wstęgi przyjedzie marszałek tęgi. Nieźleśmy to zbudowali!” I wyszedł z uśmiechem z sali. Kosmiczna orkiestra, przyleciał marszałek Patrzy: jest korytarz, cały szereg gałek. Panu marszałkowi siusiu się chce. Pyta: „a gdzie tu jest wu-ce?” Szef jest przerażony, woła Topologa. „Topolog, no gdzie wu-ce?, jesuuu, o laboga!” A topolog rzuca: „nie ma żadnej sprawy” „niech idzie przed siebie i szuka po prawej…”

 

Zadanie dla zdolnych dzieci: stacja kosmiczna wykonana z blachy ma podłogę w kształcie wstęgi Mobiusa ( otoczoną stosownie ścianami, tak że można przejść ją całą w kółko ;-) Pan marszałek nie do końca pamięta, która ręka jest prawa, więc Szef zaproponował by topolog skoro taka mądrala, narysowała na podłodze panu Marszałkowi strzałki, zawsze w prawą stronę. Jak wiadomo wstęga Mobiusa – a wiec podłoga stacji, jest powierzchnią jednostronną, więc w końcu, rysując strzałki, topolog wróci do miejsca skąd zaczęła.
Pytanie: jak będą w tym miejscu wyglądały strzałki?

Wskazówka: A może warto sobie skleić wstęgę z papieru?

Słowniczek przydatnych terminów:
Morfizm – gdzie byś nie obracał, i tak wyjdzie na to samo
FinSET – kategoria zbiorów niestety skończonych
Wstęga Mobiusa – nieźle zakręcony kawałek przestrzeni

 

 

O żenującej, amatorskiej sztuce

 

Okazuje sie że ludzi odczuwają zażenowanie kiedy spotykają się z amatorską sztuką. Sztuką niekoniecznie głęboką, opartą na latach kształcenia i gruntownej wiedzy. Właściwie można by wzruszyć ramionami i powiedzieć – tak bywa. Osoby które nie lubią takiej sztuki – po prostu niech jej nie szukają. Ci którzy ją znaleźli i ich ta sztuka bulwersuje podobni są trochę do ludzi podglądających przez dziurkę od klucza bezeceństwa, którzy zgorszeni i zdegustowani nie mogą oderwać wzroku, rozpowiadają całą rzecz w koło a ja tym wpisem włączam sie do dyskusji. Scena godna niemal komedii Goldoniego.

Generalnie sądzę że decydują tu zwyczajnie tzw. horyzonty, obycie i przyzwoitość. Są ludzie pozbawieni samokrytycyzmu, ignoranci bez potrzeby zdobywania wiedzy ale za to z parciem do ludzi ( czasy Wolności sprawiły że wszyscy oni wyszli z domów i zdominowali całe życie społeczne w Polsce – wystarczy otworzyć telewizor – tzw. celebryci to głównie oni). Sa wszakże także ludzie niedouczeni, z małych miasteczek, wiosek, jak ja, którym sie wydaje że jak przetłumaczyli Carmina Burana to sięgnęli szczytów intelektualnej perwersji a na więcej ich zwyczajnie nie stać ( w szczególności nie chcą lub nie mogą poświęcić tygodni czy miesięcy na naukę języka i pogłębienie wiedzy). Z poezją nie mam wiele wspólnego wszakże trochę więcej mam wspólnego z rysunkiem i malunkiem, są dla mnie zdecydowanie łatwiejszą formą wyrazu i rozrywki ( zarówno jako konsument jak i jako hm… twórca?) i w tym obszarze wyrażę swoje zdanie.
Po pierwsze jestem zdecydowanie przeciwko elitaryzmowi. Każdy ma prawo do reki wziąć pędzel albo ołówek i zrobić kopie Giocondy. Dzieło owo będzie jego własnym wytworem, zaś nieunikniona niezgodność z oryginałem ( nie mówimy o fałszerzach!) będzie objawem bądź braku techniki, bądź wynikiem indywidualnego procesu twórczego. Taka działalność jest wartościowa. Wielcy mistrzowie rysunku, artyści, nie wyskakują z głowy Atenie, tworzą sie w pracy i bólach. Pogardzany dziś i powszechnie potępiany plagiat, rozumiany nie tyle jako przypisanie sobie czyjegoś dzieła, ale zaczerpnięcie czyjejś idei, pomysłu, historycznie jest podstawową metodą nauki a na dodatek wręcz standardową metoda twórczą w malarstwie. Standardową metodą nauki malarstwa jest kopiowanie obrazów mistrzów. Przy tym malarze zawsze powielali swoje dzieła zarówno własne co nazywamy autoplagiatem ( niektórzy potrafili malować ten sam obraz w dziesiątkach kopi czy wersji, z rozmaitych powodów, od czysto zarobkowych do realizacji czysto wewnętrznych i artystycznych potrzeb) jak cudze. Należy także pamiętać że całe wieki historii malarstwa przebiegały pod znakiem miej lub bardziej formalistycznym – pewne postacie np. postać Chrystusa, przedstawiono zgodnie z pewnym kanonem, często powstałym w oparciu o szczególnie udaną pracę „dawnego” mistrza. Całą tak wielka dziedzina sztuki, czy rzemiosła, jak kto woli, jak pisanie ikon, w pewnym sensie polega na kopiowaniu tych samych idei wizerunku, co gwarantuje na przykład rozpoznawalność świętych. Na wielu działach widać także nawiązania, zapożyczenia, często złośliwe komentarze do dzieł innych malarzy. Smaczki takie są dziś poszukiwanym i interesującym trivium dla amatorów malarstwa. Nie przypadkiem Picasso powiedział że „Dobrzy artyści kopiują, wielcy kradną”..

Po drugie mury miejskie w Krakowie pełne są landszaftów wytworzonych przez całkowicie profesjonalnych artystów z dyplomami. Gdyby przez pryzmat tej twórczości oceniać ich poziom artystyczny, należałoby zamknąć Krakowską ASP – ze wstydu. Gdyby przyjąć że ta twórczość jest wynikiem wyłącznie tanich gustów tzw. prymitywnego odbiorcy – wszystkie obrazy musiałyby iść jak świeże bułeczki. Nie idą. Prawda bowiem jest taka, że na 100 namalowanych obrazów, dobrych jest kilka. Na te kilka – realną wartość artystyczną ma jeden? Wartość rewolucjonizująca sztukę – jedne na dziesięciolecia. Dostępność materiałów malarskich, upowszechnienie możliwości twórczych – niejako upowszechnienie sztuki zarówno w odbiorze jak i w produkcji – bo przecież z produkcją mamy do czynienia – słowem – zwiększenie podaży – w istocie poprawiło poziom sztuki w koło. Tyle że dzieje sie to w drugim obiegu, internetowym samizdacie. Otaczamy sie przecież coraz ładniejszymi przedmiotami, jeśli ktoś chce może sobie stylowo urządzić mieszkanie, poprawił sie znacząco poziom ilustracji książkowych dla dzieci ( co wynika z zaniku disnejowskiej estetyki w obszarach ilustracji książkowej). Z wolna wyrasta nam rynek na grafikę koncepcyjną ( dla wytwórców gier, filmów tzw concept art ), na dobre logo, na ciekawe wzornictwo. Tylko że publikatory, media, nie rozpoznają jeszcze tego zjawiska, szukają go nie tam gdzie należy, nie pokazują zdolnych, młodych, nie nawiązują współpracy z amatorami którzy mogliby tym sposobem pokonać drogę od domowego mazania do profesjonalnych zleceń. Zjawiska którego bodaj najgłośniejszym wyrazem był sukces Tomasza Bagińskiego.  Żyjemy w kraju w którym rewolucja polega na skopiowaniu tego co wymyślili inni, bo to nie pociąga za sobą krytyki, jest bezmyślnym i bezpiecznym obszarem naśladownictwa. Nie niepokoi. Tak właśnie funkcjonują elity w Polsce. Tymczasem to właśnie utrata pozycji przez elity, a nie ich wyalienowanie – jest przyczyną tego ze rzeczy idą w lepszym kierunku, to właśnie anty-elitaryzm stał sie powodem rozkwitu zachodu, to egalitaryzm jest podstawową konstrukcją nowoczesnych społeczeństw, i to właśnie odwrót od egalitaryzmu, w postaci związku pieniędzy z polityką i romansem celebrytów z biznesem powinniśmy być najbardziej zaniepokojeni. W końcu wychwalana zewsząd klasa średnia ot mieszczanie, kupcy, ludzie pogardzani przez elity, jest podstawą liberalnej demokracji. I w końcu nie ma takiej dyktatury która by nie flirtowała z elitami, starając sie zwykle legitymizować przemoc toastami ze sławnymi reżyserami, aktorami, muzykami. Elitaryzm to zło, łatwe do zmanipulowania.
Inną zasadniczą sprawą jest nasz narodowy charakter ( rany! wiem, znowu o charakterze narodowym), skazujący każdego kto coś zrobi na krytykę. Skutkiem tego większość nic nie robi, a Polska wygląda jak wygląda. Cierpimy na nadmiar krytyków, a na niedomiar ludzi twórczych. Przypomina mi sie tu, na marginesie,  ponoć autentyczna sytuacja, jaka miała miejsce podobno w porcie Gdyńskim. Wnuczek z babcią zwiedzali okręty zakotwiczone na nadbrzeżu i gówniarz wpadł do wody. Na szczęście pełniący wachtę marynarz, skoczył za nim natychmiast, uratował dziecko i przy pomocy gapiów wydostał sie na brzeg razem z małym. Babcia która oczywiście odchodziła od zmysłów, wyściskała wnuczka po czym zwróciła sie do marynarza: „A gdzie berecik?”.

Świat docenia działalność twórczą, choćby niepełną, nieoryginalną, nie profesjonalną. Osobiście bardzo cenię np. klimat jaki panuje na portalu deviantart, bodaj największym tego typu portalu społecznościowym poświęconym sztuce. Zaskakująco dużo dobrych i profesjonalnych artystów publikuje swoje prace właśnie tam. Na bardzo poczytnym blogu linesandcolors.com prezentującym dzieła profesjonalnych artystów, co chwila pojawia sie odwołanie do deviantarta. Nie jest to wiec portal amatorski. Jednocześnie 90% prac tam prezentowanych to prace nieporadne, ułomne, z brakami. Tym niemniej krytyka typu „twój obrazek jest kiepski, lepiej zajmij sie robieniem butów” jakiej pełno na Polskich portalach o sztuce ( a sporo z nich odwiedziłem swego czasu) właściwie nie występuje. Osoba która by tak napisała, zostałaby oceniona jako „zakompleksiony burak”. Pełno natomiast słów otuchy, skierowanych do ludzi którzy sie uczą. Nawet namalowanie postaci z ulubionej kreskówki ( tzw. fanart) jest traktowane tam jako okazja do nauki, kompozycji, koloru, kreski. Ludzie którzy sie uczą potrzebują zachęty, pochwały. Potrzebują także krytyki. I o nią proszą!

Wydaje mi się że niesłusznie odsądzamy od czci i wiary grafomanów, nieudaczników, amatorów którzy nie wnoszą do historii sztuki przełomu i rewolucji, ale wnoszą ciekawość, chęć naśladownictwa, miłość i entuzjazm. Wyśmiewamy ich łatwo za ich potknięcia, nieznajomość rzeczy. Marsjasze wchodzą na appolińską dziedzinę nie od dziś i nie od dziś wiadomo że bez litości, kiedy wytknie się im już braki i gdy wszyscy już nie mają wątpliwości że nie zasługują na laur, obdziera sie ich ze skóry. Tymczasem to jest prawdziwa elita tego kraju – ludzie którzy czytają Rimbaud i to w oryginale, farbkami ze sklepu z artykułami szkolnymi kopiują Giocondę.  Ilu takich ludzi spotkasz w tramwaju? Wolałbyś czytelniku żeby w internecie były tylko blogi kibiców piłkarskich?

 

Esej jest odpowiedzią sprowokowaną tym wpisem Drakainy, na skądinąd fajnym jej blogu.

Nowa broń, nowe konflikty

 

    Ludzie patrzą na Ukrainę i nie wierzą własnym oczom i uszom. Rosja eskaluje konflikt, wybuchają demonstracje, protesty i akty separatyzmu, nieledwie cześć wschodnich obwodów deklaruje nie tylko prorosyjskość ale i wręcz separację i przynależność do Rosji. I nic. Ukraińcy oddają Ukrainę bez walki? Dlaczego nikt nie strzela do tłumu – zadaje sobie pytanie przeciętny polski inteligent przyzwyczajony do tego że do tłumu strzelać należy, inaczej władza jest niewarta szacunku ( nie wiem skąd te poglądy w kraju w którym zasadniczo nikt, nawet Jaruzelski do tłumu nie strzelał – przypomnijmy że pomimo zajść w Kopalni Wujek itp. w całej Jaruzelskiej RP zginęło mniej ludzi niż na Ukrainie w ciągu kilku tygodni „budowy demokracji”. Nie wiem skąd ten pęd do gloryfikacji przemocy – oczywiście zawsze w imię „wyższych celów”. Najpewniej dzieci bite biją własne dzieci – może dlatego nie mamy w Polsce szacunku dla życia ludzi?). Jak to wiec jest – że Ukraińcy nic nie robią?

    Ukraińcy zostali poddani działaniu, czy tez ulegli atakowi – nowej broni. Broni przed która nie potrafią sie bronić, bo klasyczne arsenały nie są w stanie odeprzeć takiego ataku, a polityczne i militarne dyletanctwo nie pozwala na rewizję taktyki.

    Nie przeceniając roli Rosji i Putina, trzeba zdać sobie sprawę z jednego – to co obserwujemy to politycznie i militarnie jest bardzo skomplikowaną operacją logistyczną. Z innych tego typu wydarzeń na świecie ( Syria, Egipt, Libia) widać że bardzo trudno jest rozpętać konflikt i go kontrolować – przynajmniej Amerykanom sie to jeszcze nigdy w pełni nie udało, a na Ukrainie Rosjanom jak na razie, udaje sie to perfekcyjnie. Widać że Rosjanie mieli to zaplanowane od dawna, oni w jakiś sposób utrzymują to napięcie a nie powodują eskalacji przemocy. Nawet na Krymie to było widać- jacyś ludzie, coś zajmowali, gdzieś stali, kogoś blokowali, a na koniec była rosyjska flaga. Tego sie nie zrobi  „Gromem” i „Formozą”. Wyobraźcie sobie wyszkolenie żołnierzy ( agentów?) którzy z jednej strony są w stanie brać udział w walkach, ale na co dzień, w trakcie normalnych działań, są w stanie manipulować tłumem, wygłaszać przemówienia, działać jak partyzanci w grupie po 10-15 osób i destabilizować całe miasto czy obwód.
    To jest nowy rodzaj sił zbrojnych. Pewnie że ich zastosowanie nie udałoby sie powiedzmy w Niemczech. Ale jestem pewien że oni mają jednostki tego typu dedykowane do działań w krajach postsowieckich, gdzie sa w stanie zapewnić kulturową bliskość „agentów” i ludności cywilnej.

    To jest coś przy czym armia wyposażona w bomby, pistolety i czołgi wygląda jak młotek naprzeciw smartfona. Oni to przygotowywali w sensie strategicznym przez całe ostatnie 20 lat. Kluczowymi elementami tej strategii są jak przypuszczam:

1. użycie niewielkich grup 10-15 osobowych, złożonych z ludzi doskonale znających środowisko lokalne, język, kulturę, może nawet posiadających znajomości.
2. użycie ludności cywilnej jako broni – ludzi wychodzą na ulice i demonstrują. Odpowiednie działania sprawiają że destabilizuje to lokalne struktury władzy.
3. partyzancka taktyka działań – duża mobilność, samodzielność, poleganie na oddziaływaniu psychologicznym, absolutna wstrzemięźliwość w użyciu broi. Jeśli mamy tam do czynienia z jakąkolwiek formą dowodzenia – ma ono charakter lokalny i wysoce samodzielny.
4. brak przywódców, nie ma z kim negocjować, nie ma kogo złapać i pokazać przed kamerami.
5. stosowna oprawa propagandowa skierowana zarówno do świata jak i nawet przede wszystkim do własnego społeczeństwa
6. wirtuozowska oprawa dyplomatyczna, w której niby nic nie wiadomo, a w istocie wiadomo wszystko, niby deklaruje sie dobrą wolę ale nie wiadomo cóż jest to to gra na czas czy realna deklaracja intencji itp.
7. głębokie zintegrowanie strategii działań wojennych z działaniami gospodarczymi.

    Wydaje sie że Rosjanie wyciągnęli tu wnioski z analiz konfliktów animowanych na całym świecie przez CIA i opracowali strategię postępowania która jest skuteczniejsza. Widać tu pewnego rodzaju biegłość polityczna i strategiczną która wydaje sie jednak ze przewyższa to co się śni naszym, wychowanym na starodawnych pomysłach i przywiązanym do idei potęgi ciężkiej broni, dowódcom. Dla mnie to ważna konstatacja, bo nie tyle każdy z osobna ale wszystkie razem punkty 1-7, ich głęboka integracja, świadczy o tym że mamy do czynienia najprawdopodobniej z nowoczesną doktryną konfliktu przy zastosowaniu nowoczesnych środków jego prowadzenia.

    Warto zwrócić uwagę na punkt 7. Jak wiadomo nikt Putinowi krzywdy nie zrobi bo wszyscy potrzebują jego ropy i gazu ( oczywiście poza akwizytorami strony przeciwnej którzy będą dowodzić że obędziemy sie bez gazu i ropy Putina jeśli kupimy – całkowicie bezpieczny i nieszkodliwy dla delfinów  – gaz i ropę akwizytora. Trzeba pamiętać że wojna jest doskonała okazją do interesów i np. Wielka Brytania podczas II Wojny Światowej wyprzedała  na rzecz USA całe Imperium). Jeśli ktoś sądzi że Rosja budując swoje rurociągi posługuje sie koncepcją „rura ma iść tak żeby było tanio, niech w przetarg wygra najtańsza oferta”  zwyczajnie wierzy ze cały świat stosuje Polnische Wirtschaft. Nie jest to prawda. Budując skomplikowane przedsięwzięcia gospodarcze, kraje w których nie rządzą idioci, biorą pod uwagę nie tylko ich znaczenie gospodarcze ale i strategiczne, polityczne, społeczne i w tym militarne. Rosja brała je pod uwagę – na pewno. Ukraina jest zakładnikiem Rosyjskiej dobrej woli w zakresie dostaw ropy i gazu. Ktoś w Rosji zadał sobie pytanie – jak będziemy robić interesy z Niemcami kiedy w Polsce powiedzmy – taki fantastyczny scenariusz –  CIA osadzi swojego agenta wpływu w MSZ? I narysowali rurę tak, żebyśmy nie mieli wpływu na jej działanie. Zadajmy sobie pytanie – co mogliśmy/możemy zrobić? Nie ma i jeśli to co piszę jest prawda – nie będzie wojny. Nikt nie przyjdzie nam z pomocą bo nie ma w czym nam pomagać. Rosja z Niemcami sie dogadają, a do ropy do Polski objętej sankcjami nikt nie będzie dopłacał, co oznacza że jeśli Radek nadal będzie podskakiwał ( na szczęście ktoś mu dał po łapach i ostatnio po oszałamiających sukcesach w wyzwalaniu Ukrainy nieco przygasł) to Rosja podniesie nam ceny ropy a zachód im tylko – w imię pokoju –  przyklaśnie widzą okazje do pośrednictwa w jej sprzedaży.

    Co należało zrobić? Aby popsuć strategię w pt. 7. należało uczestniczyć w interesach. Należało być entuzjastą który rozumie własny interes, dołożyć swoje trzy grosze, i mieć swojego człowieka w zarządzie Nord Stream i innych tego typu przedsięwzięciach. Kogoś kto potakuje w sprawach nieważnych, ale mówi veto ( raz na 10 lat ) wtedy kiedy to istotne.  No ale trzeba wiedzieć co jest ważne.. Rozumienie takie zakłada pojęcie patriotyzmu, znajomości interesów własnego kraju, szacunek dla własnego społeczeństwa i własnych korzeni, tego wszystkiego czego w Polsce nie rozumieją elity, którym od wieków bliższy jest Paryż ;-). Można zatykać nos, ba1 to słuszne, jak sie patrzy na Schroedera. Ale chyba nikt nie ma wątpliwości której strony interesy on w tym Nord Stream reprezentuje. Taki styl uprawiania polityki, z jakimś zamysłem, z użyciem rozumu, z koncepcją wykraczająca poza wymachiwanie szabelką w nadziej że jakieś mocarstwo doceni to machanie i nagrodzi – niestety nie jest naszą mocną stroną.I niestety patrząc na naszą scenę polityczną trudno czasem powiedzieć czyje interesy reprezentują nasi politycy…

    Pozostaje nieć  nadzieję ze pozostałe punkty planu – czyli 1-4. nie są możliwe do zastosowania w Polsce. Nie chciałbym by ktoś odniósł mylne wrażenie że chodzi  „kwestię mniejszości rosyjskiej” – nie chodzi i to zupełna bzdura tka myśleć. W Egipcie czy Syrii nie było żadnej „mniejszości amerykańskiej” a udało sie tam wywołać całkiem identyczne zajścia jak na Ukrainie ( tyle że nie udało sie ich kontrolować). Chodzi o wywołanie podziałów, dla której to strategii konieczne jest istnienie wektora wpływu. A nim może być jakikolwiek mocny i trwały podział społeczny poddający sie manipulacji.  ( Czy na pewno Polska jest wolny od konfliktów? ). Stąd przynajmniej pod tym względem możemy spać bezpiecznie…

O pożytkach z inwestowania w naukę – bajka dla ministrów finansów

    Wszelkie fakty opisane w tym wpisie sa całkowicie fikcyjne i nie dotyczą rzeczywistości materialnej, nawet w 10%. Jednak wpis ten, według głębokiego przekonania autora, w 300% oddaje stan umysłu fikcyjnych postaci których podobieństwo do postaci realnych, być może wywołane zbieżnością imion jest czystym złudzeniem. Innymi słowy można by rzec że przedstawione charaktery fikcyjne i fantasmagoryczne sposoby myślenia oddane sa z niezwykłą precyzją ;-) jednak dotyczą postaci wyłącznie fikcyjnych. Nie znam przecież osobiście ani Rostowskiego ani Balcerowicza, ani żadnego członka rządu, a już tym bardziej nie wiem dlaczego podejmują takie a nie inne decyzje, bo nie jest w zwyczaju władzy w Polsce tłumaczyć sie ze swoich decyzji, poddawać je konsultacjom, czy choćby nawet o nich publicznie dyskutować. W istocie – jak sądzę przekonanie podziela to całkiem spora cześć społeczeństwa kraju – prawdziwe powody większości decyzji rządowych sa całkowicie inne niż te, które sa deklarowane publicznie. Pozwalam więc sobie puścić wodze fantazji, czyniąc bohaterami poniższego wpisu osoby całkowicie fikcyjne. Dla ustalenia uwagi osadzimy bulwersujące koncepcję opisane poniżej w dwu państwach – Pasmanterii – wielkim kraju leżącym w Azji, słynącym z taniej siły roboczej, wielkiego wzrostu gospodarczego i zamordystycznych rządów podziwianych przez cały demokratyczny świat, oraz w Kopalsce, kraju słynącym z bogatych złóż kopalin, węgla i siarki oraz z ministrów finansów nieodmiennie zabiegających o stanowiska pacy w bankach komercyjnych i międzynarodowych instytucjach finansowych.

    Jeszcze 30 lat temu, w szkole, uczono mnie że metr to miara długości o wartości określonej przez wzorzec metra przechowywany w Sevres pod Paryżem . Sytuacja taka – istnienie tak zwanych etalonów, materialnych reprezentantów wielkości wzorcowych – trwał na tym świecie przez całe wieki. W jakimś 20 leciu międzywojennym, minister który by chciał usystematyzować miary i wagi w Kopalsce, wsiadał w kolaskę, lub w automobil, a może raczej wysyłał delegację sekretarzy – koleją – oni zaś jechali do Paryża. Po przedstawieniu listów uwierzytelniających i dokonaniu opłat skarbowych, uzyskiwali dostęp do etalonu metra. Za pomocą brzeszczota przycinali własne miarki do stosownej wielkości i wracali do kraju. Koszty takiej operacji były w istocie niewielkie – delegacja dla kilku sekretarzy ministra: sute obiady i odwiedziny w kilku kabaretach, skromny posiłek stolarza który jako jedyny umiał przyciąć deseczkę precyzyjnie, koszty biletów 1-wszej klasy dla sekretarzy i 3-ciej klasy dla stolarza – oraz oczywiście opłaty skarbowe itp. Warto pamiętać, ze system taki był nie dosyć że skuteczny to jeszcze rozumiany i lubiany przez ministrów ( paryska kuchnia!). Tak by mogło to wyglądać w naszym fikcyjnym świecie stworzonym na użytek tej dykteryjki. W praktyce wykonywano w jakichś warsztatach laboratoryjnych kopię etalonu i wysyłano odpowiednio zabezpieczoną do kraju przeznaczenia.

    A dziś?

    Dawniej wzorzec był rzeczą materialna, wymagał właściwego przechowywania, sporządzony był z drogocennych materiałów (by zapewnić niską rozszerzalność termiczną), poza tym jednak trwał, był, miał wszelkie cechy stołu czy krzesła. Obecnie jest zgoła inaczej – a sytuacja ta związana jest, tak, tak, z postępem w dziedzinie nauki, techniki i handlu. Wszystko zaczęło sie od tego, że przypomniałem sobie właśnie że 1m = „the length of the path travelled by light in vacuum during a time interval of 1/299,792,458 of a second.” Jakie są zalety takiej definicji? Łatwo je wymienić – jednostka metra została zdefiniowana za pomocą procesu fizycznego który w każdym miejscu na kuli ziemskiej przebiega w identyczny sposób. Jak zbudować etalon metra ze stopu platyny i irydu wiedzieli metalurdzy, nawet jednak gdy dysponowano stosowną wiedzą, wizyta w Sevres pod Paryżem była niezbędna by dokonać porównania. Współcześnie wszystko co niezbędne do wykonania pomiarów, włącznie z samym procesem „cechowania” metra można dokonać nie ruszczejąc się z miejsca. Co więcej, w definicji metra występuje ułamek – liczba wymierna – 1/299,792,458. Oznacza to że w ciągu 1s światło przebywa 299,792,458 metrów i jest to dokładna liczba a pomiar zależy jedynie od dokładności z jaką mierzymy odległości i czas, czego nie można powiedzieć o wzorcu materialnym, gdzie wchodzi w grę cała masa dodatkowych czynników ( jak choćby dokładność z jaką postawiono „kreski” na etalonie). Współczesna technika od dawna już wymaga dokładności pomiarów, zarówno odległości jak i czasu, które nie mieszczą się w głowach ministrom finansów. Na przykład system GPS działa uwzględniając efekty wynikające z Ogólnej Teorii Względności, oraz użytkuje relatywnie dokładne zegary atomowe – a jednak cześć błędu wyznaczania pozycji w jego wypadku – wynikający z niedokładności pomiaru czasu w zegarze atomowym – wynosi około 2m. 

    W teorii zatem nie trzeba podróżować od Paryża ( to dla kręgów rządowych spora wada!), wystarczy mieć własny wzorzec i można mierzyć metr z dowolną dokładnością. W praktyce łatwo sobie wyobrazić, że nie jest tak prosto. Trzeba dysponować wieloma przyrządami i wieloraką wiedzą. Nie jestem w stanie wymienić wszystkich potrzebnych rzeczy, dziedzin wiedzy i materiałów, jednak te które przychodzą mi na myśl, to: dostatecznie stabilny budynek laboratorium w którym przeprowadzamy pomiary, stosowne zegary atomowe i precyzyjne źródła światła, najlepiej lasery. Konieczne jest posiadanie aparatury próżniowej raczej wysokiej jakości, co oznacza konieczność produkcji rozmaitego rodzaju cylindrów ciśnieniowych i sprężarek, a nie jest całkowicie zadaniem błahym. Zapewne niektóre z urządzeń, w celu zapewnienia dostatecznej dokładności powinny być wyposażone w kriogeniczne chłodzenie ( choć nie przypuszczam, by było konieczne stosowanie nadprzewodników, przynajmniej gdy tworzymy wzorzec metra z myślą o przemyśle czy handlu ). Oczywiście praca urządzeń wymaga posiadania stosownego personelu, składającego aparaturę do kupy, utrzymującego jej dobrostan, czy wreszcie dokonującego reperacji. Oznacza to że potrzeba całego sztabu ludzi, sporej grupy specjalistów, inżynierów itp. Na koniec należy dokonać pomiarów, akwizycji danych, ich analizy i interpretacji. Zapewne pomogą tym komputery, nie zastąpią jednak całkowicie ludzkiej pracy i żmudnej eliminacji źródeł błędów. I rzeczywiście w Polsce – taka instytucja istnieje realnie – jednak z powodu braku właściwego finansowania prowadzi działalność gospodarczą – w postaci sprzedaży norm itp.  Proszę jednak nie zapominać że to o czym piszemy to swobodna fikcja historyczna nie mająca zapewne wiele wspólnego z rzeczywistą sytuacja ludzi czy instytucji, a raczej z pewnym fantastycznym pomysłem o czym dalej. Cała ta aparatura i zespół zapewne musieliby osiąść w fikcyjnej Kopolsce w jakimś Instytucie Miernictwa, Miar i Wag itp. zapewne w Sewrkach pod Warwszawą ( niestety…Warwszawa, jak wile stolic z rzadka tylko działa dla dobra własnego kraju – Kopolski, częściej działając dla dobra Warwszawy. Nieodmiennie cechą mieszkańców stolicy, jak wszystkich stolic świata, jest owczy pęd do przejadania cudzych pieniędzy i stawiania pomników bliskich sercom elity miasta,  jak plastikowe palmy, filetowe krowy itp. ).

    Nad delegacją sekretarzy ministra podróżujących do Sevres pod Paryżem unosiłby sie zapewne duch Grabskiego, niestety nad Fikcyjnym Instytutem Miar Kopolski unosiłby się już zapewne duch Balcerowicza lub Rostowskiego. Koszty działania takiej instytucji wyniosłyby zapewne 100 milionów złotych rocznie, a i ta kwota byłaby rozpatrywana jako znacząca rozrzutność, zwłaszcza wobec konieczności organizacji szampańskich imprez w rodzaju Kopolska Euro 2012 czy Zimowych Igrzysk Olimpijskich w Zakopconem i Kokotowie. Co prawda przez całe 100 lat udało się utrzymywać tą szkodliwe dla budżetu ( wydatki!) i biznesu ( kontrole! homologacje!) instytucję, jednak w 2012 roku, w dzień uroczystego otwarcia Euro 2012 Instytut w Kopolsce udało sie usunąć z listy wydatków finansowanych przez rząd. Pierwszy powód był taki, że po prawdzie żaden z ministrów nie miał zielonego pojęcia czym zajmuje się rzeczona instytucja. W istocie zaś Minister Finansów ograniczał ogólnie nakłady na naukę, jako kosztowną fanaberię, która na wiele sposobów przyczynia sie do zguby narodów. A sa one takie: powiększając ogólne nieszczęście ( człowiek oczytany z rzadka tylko bywa beztrosko szczęśliwy. CBOS bada Beztroską Szczęśliwość vs,. Zatroskanie i owo zatroskanie sprawia że Kopolska nie jest aż tak atrakcyjnym miejscem inwestycji zagranicznych! ), podnosząc koszty edukacji ( podręczniki! i co może jeszcze darmowe?), oraz obniżając zaufanie do elit stołecznych ( jak wiadomo nauka to forma krytykanctwa. Nic tak nie utrudnia wprowadzanie reform jak swoboda dyskusji, demokracja itp. chyba że chodzi o krytykę likwidacji OFE, wtedy to nie. ) Drugim powodem likwidacji Instytutu Miernictwa Miar i Wag Kopolski był precyzyjny rachunek ekonomiczny ( autorstwa miejscowego profesora Balcudowicza), a opierał się on o genialnie prostą konstatację. Skoro inne kraje mają swoje Urzędy Miar i Wag – Kopolska własnego nie potrzebuje bo może stosowne ekspertyzy zakupić za granicą, w krajach, których rządy są  na tyle naiwne że łożą na takie szkodliwe socjalne działania. „W sumie” – rozumował Balcudowicz – „zysk jest potrójny. Wzrasta PKB – bo mamy wymianę handlową, to raz! Wzmacniamy własną gospodarkę bo zaoszczędzone pieniądze można przeznaczyć np. na śnieg Zakpocponem podczas Igrzysk Zimowych co zelektryzuje turystykę i da w konsekwencji większe przychody ze sprzedaży skór baranich. Po trzecie – obniża konkurencyjność gospodarek państw konkurencyjnych – bowiem to one muszą łożyć an tę całą naukę i technikę, a my nie!”. Tak tedy udało sie połączyć w jednej decyzji o obniżeniu finansowania nauki dwa iście makiaweliczne cele – szkodzenie konkurentom i troskę o rodzimy dynamiczny rozwój przedsiębiorczości.

    Pewnym cieniem na ogólnej radości z organizacji Euro 2012 położył się fakt, że pracownicy Urzędu Miar i Wag w Sewrkach nie chcieli poddać się bez walki. Założyli komitet protestacyjny i ogłosili natychmiast strajk głodowy. „Dosyć knowań lobbystów osłabiających konkurencyjność gospodarki” – pisali w prasie eksperci ekonomiczni Niezależnego Instytutu Sobiepański, profesorowie Rybczyński i Orczyński. Jednak informacji o samym strajku głodowym nie podano w żadnym z dzienników i gazet całkowicie niezależnych od rządu a to z powodu prośby ministrów Finansów by nie psuć tak doniosłej w historii kraju chwili. Oto po raz pierwszy Kopalska wystawiała imprezkę dla całego świata i obiecała wziąć na siebie rachunek za koszta! I rzeczywiście – z początku nękały ministrów telefony z Sewrków pod Warwszawą gdzie instytut miał swoją siedzibę. Po kilku jednak miesiącach telefony sie nagle urwały, i sprawy dalej nie drążono. Właściwie nie wiadomo o losach Sewrków nic więcej, bowiem w ramach programów oszczędnościowych zlikwidowano zarówno plany budowy metra do Sewrków jak i linie autobusów podmiejskich. Tytułem dygresji dodajmy że w budżecie na rok 2020 planowana jest rządowa wyprawa krajoznawcza, w skład której mają wchodzić Warwszawscy urzędnicy, przedstawiciele magistratu i geodeci, a to w celu oceny stanu kształtu ziem w tych okolicach w tym określenia kto je zamieszkuje. Może ręka przyszłego geodety natrafi na resztki sprężarek które onegdaj, w epoce kiedy nie liczono sie z wydatkami, służyły tylko temu by wysysać podatki z prywatnego przedsiębiorcy?

    Powyższa cześć opowieści, dotycząca Kopolski i jej makiawelicznych planów obciążania kosztami nauki krajów ościennych, nosiła znamiona humorystyczne, można by więc nazwać ja częścią komiczną. Jak to w sztuce przejdziemy teraz do części tragicznej.

    W dalekiej Pasmanterii produkującej towary dziewiarskie, a to gumę do majtek nawijana na szpule, perkale w belach i szaliki na metry, od wielu już lat prowadzono aktywną politykę neoliberalną. Ustalono że największym skarbem człowieka jest pieniądz, a kiedy już takie ustalenia powzięto, reszta poszła łatwo. Kraj ów, z dawna pogrążony w stagnacji i marazmie, doznał ożywczego rozbudzenia kiedy dla początku zamknięto w więzieniach z 200 czy 300 milionów obywateli ( obywatele są w Pasmanterii niewielcy, nieco pożółkli i niesłychanie tani) po czym zachęcono ich przykładem i dobrotliwą perswazją, tudzież ściśle kontrolowanym – przez specjalistów oczywiście – wydawaniem jedzenia, do jeszcze wydajniejszej pracy. Uzyskane fundusze członkowie władz rządzącej Partii Pasmanterii zabrali dla siebie – bowiem tylko prywatny kapitał może dać prawdziwy wzrost gospodarczy – by przeznaczyć na inwestycje w nowe, tym razem już prywatne ośrodki gospodarczego odosobnienia. Tym razem jednak działano już w neoliberalnym założeniu, ze skoro gospodarka najlepiej ma sie przy braku krępujących przepisów, to i wydawanie jedzenia jest niepotrzebnym kosztem działalności przedsiębiorstw i powinno być zmartwieniem pracowników co będą jedli. Zastosowano sprawdzone wzorce budowy społeczeństwa w pełni neoliberalnego i zaiste, każdy mógł dostać za umiarkowaną opłatę wędkę ( ale nie rybę!), a to w nadziei że chcąc złowić coś na obiad, kupi jeszcze, przymuszony głodem i żyłkę i haczyki i robaki. Przyznacie że strategia taka ma spore szanse powodzenia skoro osoba która w nią dała się wciągnąć, była tak naiwny że kupiła wcześniej wędkę bez żyłki i haczyków…

    Działania takie odniosły tak wilki sukces, zwłaszcza w tym, ze produkty z Pasmanterii były tańsze niż cokolwiek wyprodukowanego gdziekolwiek na całym świecie, że inne kraje zachęcone przychylnością lokalnych władz, zaczęły inwestować w Pasmanterii swoje fundusze. Pasmanteria urosła do rangi gospodarczego mocarstwa, a to dzięki całkowitej likwidacji jakichkolwiek zobowiązań państwa wobec obywatela, co przyciągnęło rzutki biznes z całego świata, bowiem nic tak nie poprawia zysków w biznesie jak rezygnacja z niepotrzebnych skrupułów. I faktycznie zaprawdę trudno było na całym świecie znaleźć kraj w którym nie noszono by majtek z gumka z pasmanterii czy szalika odciętego z beli szalików Made by Pasmanteria, zaś profesor Balcudowicz osobiście deklarował, że gdyby nie historyczne ograniczenia jakim podlega społeczeństwo ( tzw. (c)hamo robotus) w Kopolsce, już dawno zbudowałby w niej dryga Pasmanterie. Pasmanteria utrzymywała kontakty gospodarcze z całym światem, w tym oczywista także z Kopolska, a nawet jej przedstawiciele zostali zaproszeni na rzeczone obchody Euro 2012 w Kopolsce, zas ich naprędce stworzona drużyna złożona z emerytowanych pracowników fabryki gumki do majtek zdołała pokonać reprezentację gospodarzy w stosunku 5:2 co ciekawe nie strzelając przeciwnikom ani jednej bramki – gdyż tak nakazuje Pasmanteryjny dobry obyczaj! I właśnie wtedy w Pasmanterii specjaliści od Marketingu i Promocji goszczący w Kopolsce, w bliżej nieokreślony sposób wywiedzieli sie prawdy o sytuacji w Instytucie mierniczym Miar i Wag w Sewrkach pod Warszawą i wpadli na iście szatański plan.

    Do każdej beli perkalu, do każdego sznurka z koralikami, do każdej szpuli gumki do majtek, byle tylko eksportowanego do dalekiej Kopalski, zaczęto dołączać gratis – 20-30 metrów krawieckich. Pasmanteria przedukuje jak wiadomo głownie na eksport, zaś Kopalska głównie importuje. Skutek tej genialnej operacji był zaś taki, że cały rynek Kopalski został zalany nie tylko tanią gumka do majtek, ale i spora ilością darmowych metrów krawieckich produkcji Pasmanteryjnej.

    Nie minęło wiele czasu, gdy zatroskani patrioci z Konfederacji Pracodawców Prywatnych podnieśli protest. „Plan Balcudowicza nie działa!” – wołali przedsiębiorcy – „Nie opłaca sie nam zarabiać! Dławią nas bowiem nadmierne koszty!” – konstatowali ze zgrozą – „Dlaczego mamy kupować drogie metry krawieckie z krajów ościennych, skoro do każdej nieledwie zakupionej gumki do majtek, dostajemy Pasmanteryjny metr – za darmo! Dosyć wspierania obcego kapitału! Dosyć kupowania za granica za dewizy – metrów krawieckich.” Tu głos zabrał profesor Balcudowicz, ów wielki nauczyciel narodu, i z uśmiechem powiedział: „A nie mówiłem? Oto jak światło ekonomii rozprasza ciemnotę i gnuśność! Czyż nie powiedziałem Wam, ze Wolny Rynek rozwiążę wszelkie problemy ( w dłuższej perspektywie oczywiście)?” I dalej wyjaśnił że przecież oto widomym znakiem jak efektowna jest gospodarka neoliberalna oparta zasadzie braku zasad, jest to że nie tylko każdego stać na kilometry gumek do majtek, więc pomimo że co chwila pękają, to jeszcze każdy ma teraz własny – metr krawiecki – za darmo! „Hura!” zakrzyknęli Prywatni Przedsiębiorcy oczekujący nadal na zlikwidowanie ZUS „hura!” – w charakterystyczny dla siebie, intelektualnie powściągliwy, sposób zgodził sie profesor i podali sobie ręce. Zaś minister Rozstówski zanotował śliniąc ołówek, w swoim sztambuchu „+0.3 do PKB, z tytułu ograniczenia importu nieracjonalnie drogich metrów krawieckich z państw ościennych opętanych łożeniem na działania socjalne jak nauka i R&D „. „To będzie razem 7.5%” – skonstatował z zadowoleniem patrząc w sufit.

    Jak wiadomo, nawet w naszym realnym świecie, firmy lokalizują produkty. Czekolada, kawa czy środki czystości na rynek polski i niemiecki nie są takie same. Niby kupujemy te same marki, ale za swoje pieniądze, dostajemy jednak jakby nie to samo. Jak widać logistycznie to prosty i wdrożony proces, nawet w naszym całkiem realnym świecie, a co dopiero w fikcyjnej rzeczywistości Kopalski i Pasmanterii!

    Ponieważ Pasmanteria produkuje gumkę do majtek głownie na eksport, a płatności zachodzą „od metra”, jest rzeczą zrozumiałą, że przy obrocie gumami do majtek idącym w milady metrów, „zmniejszenie” metra o 1 milimetr, daje Pasmanterii całkiem pokaźny zysk! I to mieli na uwadze specjaliści z Centralnego Komitetu Marketingu i Promocji Pasmanterii Ludowej. Niepostrzeżenie, tajni pracownicy poumieszczani w przedsiębiorstwach Pasmanterii, przed pakowaniem rzeczonych gratisów – metrów krawieckich – ucinali z każdego po 1 mm. Do spisku włączono oczywiście członków Partii pasmanterii i poniektórych, patriotycznie nastawionych przedsiębiorców. Grono to było całkiem spore, tak jednak oddane sprawie neoliberalizmu na świecie, że przez bodaj 20 czy 30 lat nikt w Kopalsce nie dowiedział się o tych faktach! Każdy transport gumy, jeśli opiewał 10 km nawinięte na szpulkę – czyli 10 000 m – w istocie był krótszy o 10 m. Każdy szalik, długi na 2 m, dawał wymierne oszczędności przędzy jedwabnej, płaszcze były krótsze, buty ciaśniejsze, poradzono sobie jednak zmieniając numeracje tak by każdy dostawał to co chciał – a to mniejszy numer płaszcza, a to większy buta. Skoro poniechano relacji miedzy faktycznym rozmiarem ubrania a numeracją – o numeracji zaczęły decydować potrzeby emocjonalne klienta!

    Pojawiły sie nawet prace ekonomiczne, znanych teoretyków neoliberalizmu, dowodzące że nikt w ten sposób nie doznawał uszczerbku. Rzeczywiście – nikt w Kopolsce nie był w stanie tego sprawdzić – bo i jak, skoro niemal wszystkie metry krawieckie pochodziły z Pasmanterii i były krótsze o 1mm od „the length of the path travelled by light in vacuum during a time interval of 1/299,792,458 of a second.” – czego zresztą i tak nikt w Kopolsce nie rozumiał. Na ekspedycję do Sewrek pod Warwszawą, gdzie może jeszcze jest jaki uczony z dawnego Urzędu Miar i Wag, trzeba by poczekać do 2020 roku więc na razie nic z tego. Skoro zadowolenie klienta jest kategorią subiektywną, czyż można mówić tu o szkodzie? Przecież za taki wzrost kosztów z tytułu większej długości materiałów w ubraniach ktoś musiałby zapłacić – i musiałby być tym kimś właśnie klient, bo któż inny? Czyż alternatywa nie byłoby po prostu podniesienie ceny szalika, majtek czy płaszcza, gdyby miał on obiektywnie mieć długość 1m, a więc o 1mm więcej niż obecnie? Cóż zresztą znaczy słowo obiektywnie, w ekonomii, gdzie jak wiadomo każdy ma własną krzywą użyteczności a wartość dóbr materialnych wynika z popytu? Nie sposób zaprzeczyć że na owe brakujące 1mm szalika nie ma popytu żadnego – nie możemy tedy mówić o kradzieży, bo kradzież oznacza przywłaszczenie rzeczy o jakiejś wartości! 1mm szalika dla klienta wartości nie ma żadnej! Podnoszono nawet głosy że jest to działanie w istocie dobroczynne, bowiem w istocie obniżanie kosztów przynosi zysk producentowi nie przynosząc szkody konsumentowi ( bo i jaka tu szkoda? Czytelniku czy gdybyś dostał krawat krótszy 1 lub 2 atomy doznałbyś szkody?) Grono ekspertów ekonomii przy IMF uznało, że takie działanie to czysty postęp gospodarczy, a przy tym jaki ekologiczny!

    Warto pamiętać, że ekologiczny dobroczynny spisek ów, zorganizowany był i w taki sposób, że w razie wpadki zawsze można powiedzieć że gratis to gratis i że został zmniejszony po to by być tańszy…a w promocjach reklamacji nie uwzględnia się. Zresztą o jakiej wpadce może być tu mowa? O kontroli metrów krawieckich w całek Kopolsce? Przecież po pierwsze kontrole to rzecz kosztowna i z dawna w związku z czym zarzucona, po szczegółowych dowodach profesora Rostówskeigo że przynoszą one więcej szkody gospodarce niż pożytku. Po drugie kto miałby to zrobić? Sanepid w Kopolsce wyznaje zasadę „co cię nie zabije to dozwolone” jak państwo pamiętacie może z „afery solnej” która pokazała że nie liczą się normy przemysłowe i znaki CE, HACAP itp. tylko to czy dodatek do żywności jest szkodliwy czy nie. Cement, gips, tłuczeń kamienny, piasek w soli, kaszy i cukrze – wszystko sa to nieszkodliwe a przez to całkowicie dozwolone dodatki spożywcze, tzw. wypełniacze – orzekł Sanepid w Kopolsce. Oczywiście rzecz cała w proporcjach – 60% tłucznia wapiennego w soli to wartość cokolwiek spora i może wywoływać pewne sensacje żołądkowe – pamiętajmy jednak że ekonomia sama reguluje te sprawy i w soli zamiatanej miotła ze składu na wolnym powietrzu tłucznia nie będzie więcej niż 10-15%. Zaś krytykanckie pomysły malkontentów, że poniektórzy będą dosypywali do soli piasek dla zysku można od razu odrzucić – piasek, zwłaszcza tzw. frakcje płukane, sa surowcem drogim. No i nie zapominajmy że często wina leży po stronie konsumenta, który nie sprawdza dokładnie co je. Ale uciekliśmy w nieistotne dygresje.

    Całą operacja zakończyła sie sporym sukcesem – zaś przemysł Pasmanterii zanotował spore oszczędności w relacjach handlowych z Kopolską. Nic jednak nie trwa wiecznie. Rzecz sie przedostała do gazet. Bynajmniej nie w Koplsce, w Kopolsce gazety odmówiły publikacji tekstów tak jawnie godzących w zmysł ekonomiczny narodu. Rzecz rozdmuchały gazety zagraniczne państw, które hołdowały wydatkom na naukę i utrzymywały własne Urzędy Miar i Wag, miały własne i rzetelnie działające Sanepidy, Sądy i Komisje, i oczywiście oczekiwały od przedsiębiorców i kooperantów obiektywnej zgodności z jednostkami wyznaczonymi przez systemy metryczne. Opublikowano w zagranicznej prasie całą serię artykułów w których przedstawiały powyżej opisaną sytuację jako przykład zgubnego braku zasad kontrolowanych przez silne instytucje rządowe.

    Prawda, rzad w Kopolsce nigdy nie przyznał sie do popełnienia błędu, a to w trosce o morale społeczeństwa. Głos jednak zabrał profesor Bacludowicz, ów wielki nauczyciel narodu, który powiedział „”A nie mówiłem? Oto jak światło ekonomii rozprasza ciemnotę i gnuśność! Czyż nie powiedziałem Wam, ze Wolny Rynek rozwiążę wszelkie problemy ( w dłuższej perspektywie oczywiście)? „. Mimo to sprawy nie pozostawiono samej sobie. Przez krótki czas sytuacja wisiała na włosku kiedy dziennikarze puścili kaczkę, że MSZ Kopolski rozważa wypowiedzenie wojny Pasmanterii. Szybko jednak okazało sie że szefowi MSZ Kopolski chodziło o wojnę w tym znaczeniu  – które MSZ Kopolski czy Pasmanterii – będzie miał więcej lajkujących na na twitterze. Pomimo takiej eskalacji konfliktu, szefowie finansów obu krajów doprowadzili do spotkania. W tajnej rozmowie na najwyższym szczeblu z przedstawicielami Pasmanterii Ludowej, minister Rozstówski zapytał wprost: „A metry krótsze o 1mm? Ładnie to tak?” i pogroził palcem, na co Wysoki szósty sekretarz urzędu ds. kontaktów z krajami trzeciego świata, w randze starszego referenta – przewodniczący delegacji Pasmanterii na bilateralne rozmowy z rządem Kopolski – odparł: „Trzeba było kupować za granica metry, a nie używać gratisów!” a potem szczerze rozłożył ręce i z uśmiechem rzekł: „I co? Wojnę nam wypowiecie? ;-)”

    Na całe szczęście Kopolska zdobyła prawa do organizacji Zimowych Igrzysk Olimpijskich w Zakopconem – Zakopcone 2015. Pasmanteria obiecała udzielić Kopolsce kredyty na ich organizację i dodatkowo dostawy po preferencyjnych cenach materiałów budowlanych w metrażu, o sprawie 1mm dłużej już nie mówiono. Całą rzecz tedy zakończono ugodą i do wojny, na twitterze n alajki, oczywiście, nie doszło więc przyparta do muru Pasmanteria zdołała wyjść z konfliktu  twarzą. Strategia szefa MSZ Kopolski jeszcze raz okazała swą szatańską skuteczność.

    Wszystko dobre co sie dobrze kończy, jak to mówią…

Pieśń głogu

    

    

Pieśń głogu

    

    

Ach, co to za siła mną kołysze… Wzrastam coraz mocniej, przemierzam prezbiterium, arkady, moja gałąź sama kieruje się w stronę gdzie płoniesz. Jeszcze martwa. Ach, pozwól mi! Nim świt nastanie, przebyć tę drogę! Gdy przebiję ziemię która cię skrywa, rozkwitnę setką białych kwiatów. W zieleni zapłonę biało do cna korzenia, okryję twe ciało, oddechem owionę, wydamy owoce, krwistoczerwone i cierpkie. Ach wiem! Czeka nas oboje cierpienie, rankiem przyjdą siepacze! W te noce dopełnia się nasze przeznaczenie. Wschody i zachody, zimy i lata, przez witraże płonące wnętrza, ciągłe czekanie. Wszystkie złudzenia co przeminęły. Korowody postaci. Rycerz twój skonał Izoldo. Twoja miłość, mój ból, kwitnie.

    

    

    

    

Zakończenie historii Tristana i Izoldy.

Przypadkowa matematyka – wpis wtóry

 

 

 

    Znane każdemu rodzicowi sa ciągi pytań „A dlaczego?”. Dlaczego Niebo Jest Niebieskie? Bo rozpraszania przebiega w taki sposób że czerwone promieniowanie rozprasza się mało, a niebieskie dużo. A dlaczego czerwone mało a niebieskie dużo? Bo taka jest charakterystyka związana z prawem Rayleigha. A dlaczego taka charakterystyka? Bo rozpraszanie zależy od odwrotności długości fali w 4-tej potędze. A dlaczego od 4-je potęgi? Bo takie jest rozwiązanie stacjonarne równania rozpraszania dla dużych długości fali. A dlaczego … I tak dalej i tak dalej.

    Wiadomo ze można taką zabawę ciągnąć bez końca. W wypadku wiedzy fizycznej, realnej wiedzy o realnym świecie, ciąg takich pytań nie ma końca. Jak jest w wypadku matematyki?

    Kiedyś pisałem, niezbyt jasno, o przypadkowej matematyce . Ostatnio zaś w necie natrafiłem na ciekawe pytanie jakoś tam związane z tym tematem. Oto Gil Kalai, matematyk z Izraela pracujący także w Stanach Zjednoczonych, i prowadzący bardzo fajnego bloga, zadał pytanie „Dlaczego jest możliwe uprawianie matematyki?”, po czym dodatkowo zwrócił uwagę na komentarz Timothy Gowersa, laureata medalu Fieldsa, na to pytanie. Wydaje sie że obaj panowie starają sie nadać temu pytaniu nieco bardziej techniczny, niż czysto filozoficzny, czy metamatematyczny charakter.

     Odpowiedź Gowersa jest o tyle ciekawa, że przywołuje pojęcia teorii złożoności obliczeniowej i probabilistyki. Gowers stwierdza, że jeśli wszystkim twierdzeniom matematycznym przypisać liczbę, zdefiniowaną jako „długość dowodu”, i potraktować ją jako zmienną losową, to „efektywna możliwość uprawiania matematyki” odpowiada ciekawej własności tej zmiennej. Otóż zmienna owa może przyjmować w zasadzie dowolnie wielkie wartości, wiemy że mogą istnieć twierdzenia posiadające proste, krótkie dowody, ale oczywiście istnieją także twierdzenia matematyczne, posiadające dowody bardzo długie, właściwie to dowolnie długie. Co prawda pojęcie nieskończenie długiego dowodu nie ma za bardzo sensu, jednak całkiem uzasadnione jest przyjąć że wartość zmiennej „długość dowodu” należy do przedziału od zera do nieskończoności. Mimo to – i tu dochodzimy do niebanalnej własności owej zmiennej – matematyka się rozwija przy użyciu relatywnie krótkich dowodów – zatem Gowers spekuluje że wartość spodziewana owej zmiennej „długości dowodu” jest niewielka. Długość dowodu może być bardzo mała lub bardzo duża, ale większość dowodów zdaje się być zdumiewająco krótka. Oczywiście sa to spekulacje, czego autor nie zapomina nadmienić.

     Wróćmy do kwestii „przypadkowej matematyki”. Rozumowanie Gowersa przypomniało mi to że o tym temacie kiedyś myślałem. I rzeczywiście także i tu, może warto do tematu podejść nieco bardziej rzeczowo. Będziemy starali sie rozumować przez analogię. Przypuśćmy że rozważamy inne pytanie. Mam liczbę, powiedzmy 3. Dodam do niej liczbę 2 – uzyskam 5. Pomnożę przez 8 – uzyskam 40. Mogę potęgować, dodawać, mnożyć. Wreszcie na koniec mogę wszystkie te operacje zapisać jako program komputerowy, albo sporych rozmiarów, wzór. Uzyskam przepis pozwalający wyliczać wynik wszystkich tych działań, nie tylko dla owej jednej liczby, ale dla innych liczb także, mówiąc krótko – stworzę pewną procedurę obliczeniową definiującą funkcję. Funkcja owa, złożona z elementarnych działań ( takich jak dodawania, mnożenie itp) może być bardzo wymyślna. mimo to w pewnych bardzo ogólnych warunkach będzie obliczalna. Wielkim osiągnięciem matematyki początków XX wieku było określenie owych warunków a zwłaszcza pokazanie, że funkcje obliczalne w ogóle wszystkich funkcji sa relatywnie niewielkim zbiorem. Budując analogię do rzeczy które chcę tu rozważać, możemy stwierdzić, że cokolwiek zrobimy z kilkoma elementarnymi działaniami, w skończonej ilości kroków, uzyskana w ten sposób operacja będzie funkcją obliczalną.

    Niemniej istnieją funkcje nieobliczalne, to znaczy takie których nie da się w ten sposób zapisać, ani nawet obliczyć. Czytelnikowi zainteresowanemu tym tematem polecam doskonałą monografię Murawskiego, w tym miejscu zwrócę zaś uwagę, że mamy tu do czynienia z fenomenem wielkiej wagi oraz posiadającym kilka ciekawych cech:

1. nieobliczalność jest pewnego rodzaju fenomenem obiektywnym. Do tematu wrócimy poniżej.
2. nieobliczalność nie polega na tym, że nie potrafimy obliczyć wartości funkcji f(x) nieobliczalnej dla pewnego jej argumentu x. To da sie zrobić dla każdego ustalonego argumentu, oczywiście pomijając kwestie techniczne typu rozmiarów pamięci czy wielkości uzyskanych liczb. Natomiast nie jest możliwe podanie „wzoru” czy tez „procedury” – dokładniej algorytmu – który pozwalałby na obliczenie wartości takiej funkcji dla wszystkich możliwych argumentów. Inaczej – nie istnieje pojedyncza procedura obliczeniowa – jedna dla wszystkich elementów dziedziny funkcji nieobliczalnej – która da jej wartość w tych punktach.
3. w zasadzie brak odpowiedzi na pytanie czym charakteryzuje sie nieobliczalność w wypadku „realnie występujących zjawisk fizycznych”. Na pytanie „czy istnieją zjawiska fizyczne opisywane funkcjami nieobliczalnymi” nie znamy odpowiedzi. Z jednej strony obliczalność zdefiniowana jest dla liczb naturalnych ( ew. całkowitych) zaś fizyka używa liczb wymiernych. Jest to niezbyt istotna, ale jednak zawsze przeszkoda. Z drugiej strony wydaje się że nieobliczalność mogłaby manifestować się na dwa sposoby – albo jako bardzo szybki, nadeksponencjalny wzrost ( i przykładem takiego zjawiska jest np. Busy Beaver function), albo jako losowość.

 

    W tym miejscu przejdę do innego nieco zagadnienia. Jak wiadomo dla każdego systemu formalnego, mamy dwa możliwe sposoby opisu – syntaktyczny i semantyczny. Oba systemy wuymagają określenia symboli języka, relacji i funkcji wraz z ich arością, aksjomatów pozalogicznych i logicznych wraz z regułami inferencji ( jeśli tego nie określimy pozostaniemy w klasie systemów dedukcji). W systemie syntaktycznym możmy zapisywać twierdzenia i szukać ich dowodów, przy czym dowód jest ciągiem zdań zaczynającym sie od aksjomatów, a kończącym się twierdzeniem którego dowodzimy. W ciągu zdań o którym mowa albo zdania kolejne są aksjomatami, albo sa wynikiem użycia reguł inferencji do zdań poprzednich. Uzyskany w ten sposób zbiór twierdzeń, nazywamy konsekwencją syntaktyczną zbioru aksjomatów. Konsekwencja syntaktyczna to odpowiednik „rachunku”, „kalkulacji”.

     W obrazie semantycznym mamy pewien zbiór A zdań, zwykle aksjomatów, podobnie jak wyżej pozalogiczncyh i logicznych. Zdania te sa odnoszone do pewnego modelu – zbioru obiektów które spełniają zadania z wybranego zbioru A. Zwykle modeli – a więc „zbiorów przedmiotów spełniających zdania ze zbioru A” jest więcej niż jeden. Jeśli pewne inne zdania, zapisane w tym samym języku co zdania ze zbioru A są także prawdziwe w każdym z modeli zbioru A – wówczas mówimy że zdania te są konsekwencją semantyczną zdań ze zbioru A. Konsekwencja syntaktyczna to współprawdziwość, czy może lepiej „współspełnianie” gdyż omijając kwestię prawdziwości i ograniczając sie do spełnienia ( w sensie wartościowania logicznego), unikamy niebanalnych rozważań o tym czym jest prawda itp.

     Czy kwestia istnienia matematyki, możliwości jej uprawiania, nie przypomina tezy o obliczalności pewnych operacji? Tak jak zestawiając ze sobą działania elementarne uzyskiwaliśmy funkcje obliczalne, tak budując twierdzenia lub zbiory zdań współspełnialnych – budujemy teorie oparte o pewne elementarne operacje logiczne. Składamy rzeczy z jednakowych i wcześniej przygotowanych klocków. Możemy użyć ich jak nam sie podoba, możemy dokładać je z lewej, z góry i z prawej, ale klocki pozostają niezmienne, a możliwości łączenia pozostają ustalone z góry.

 

    W tym miejscu należy wspomnieć o kwestii niezależności i niedowiedlności. Oto jednym z ważnych faktów jest zjawisko niezależności logicznej. Okazuje sie że dla dostatecznie złożonych systemów, o ile pracujemy w logice pierwszego rzędu, istnieje wiele modeli. Fenomen ten oznacza, że nawet budując systemy fromalne, bradzo precyzyjnie i ścisle, nie określamy jednoznacznie obiektów które opisują wybrane przez nas aksjomaty.  Jest więcej „rodzajów liczb naturalnych” a dokładniej struktór spełniających aksjomatyke liczb naturalnych – niż tylko jeden znany nam przykład szkolny. W niektórych z modeli pewne zdania sa spełnione w innych nie. Przypomnijmy że konsekwencją semantyczna zbioru zdań są jedynie te zdania które są współprawdziwe z tym zbiorem, dla wszystkich modeli spełniających aksjomaty. Zdania te są zatem niezależne od zbioru aksjomatów – semantycznie nie są zdaniami współprawdziwymi. Ponieważ jednak istnieją modele w których możliwa jest współprawdziwość z aksjomatami ( choć w innych modelach nasze zdania sa nieprawdziwe a więc niespełnione) to stajemy przed kwestią wyboru. Wybór jest takiego rodzaju – albo możemy przyjąć że owe niezależne zdania należą do zbioru aksjomatów ( i tym samym poszerzyć ów zbiór, zaś zawęzić zbiór modeli), albo możemy osąd o zdaniach niezależnych zawiesić i badać teorie z większą ilością modeli, ewentualnie dodając że pewne „fakty” zależą od zawieszonego rozstrzygnięcia co do prawdziwości owych zdań. Zwykle w praktyce posiłkujemy sie kryterium efektywności – wybieramy ewentualności prowadzące do ciekawszej, efektywniejszej, bardziej estetycznej matematyki. Nie jest to jedak cała historia. Zdania prawdziwe we wszystkich modelach, będące sematyczną konsekwencją aksjomatów, mogą być niedowiedlne w ramach przyjętych metod syntaktycznych. Fenomen ten objawia się w fakcie że z punktu widzenia metod logiki 1-szego rzędu, dowody pewnych twierdzeń muszą przebiegać „inaczej” dla każdej liczby n która spełnia warunki takich twierdzeń. Każda liczba może być „przypadkiem szczególnym” zaś ogólne rozumowanie dowodzące twierdzenia we wszystkich takich przypadkach możliwe jest dopiero w logice wyższego rzędu lub w mocniejszej teorii ( np. w teorii mnogości)

     Pytając „dlaczego?” dostatecznie długo, w fizyce, nie uzyskujemy ostatecznej odpowiedzi. W matematyce jest inaczej. W końcu ostateczną odpowiedzią zawsze jest aksjomat. „Dlaczego to twierdzenie jest prawdziwe? Bo tak wynika logicznie z aksjomatów.” Zauważmy że w przypadku opisanym powyżej mamy do czynienia z niezależnością od zadanego zbioru aksjomatów. Tym samym fenomen niezależności logicznej jest fenomenem relatywnym. Obiektywnym faktem jest fakt istnienie zdań niezależnych – dla każdego skończonego zbioru aksjomatów ( a nawet dla zbiorów nieskończonych, przeliczalnych, pewnych określonych własnościach) istnieją zdania niezależne. Zdania których prawdziwość w modelach nie jest jednakowo określona. Sama niezależność konkretnego zdania nie wydaje sie jednak być obiektywnym faktem. Zmieniając układ aksjomatów ( w ramach zbiotu zdań pozostających swoimi konsekwencjami semantycznymi), uzyskamy inne zdania niezależne i inne „moce teorii”. Zdania wcześniej niezależne moga stać sie dowodliwe ( jeśli któryś z „nowych aksjomatów” był wcześnij zdaniem współprawdziwym lecz niedowiednlnym). Wreszcie rozszerzenie zbioru aksjomatów o zdania niezależne ( a więc niewspółprawdziwe) prowadzi do innych – mocniejszych teorii. Jest to zupełnie inna sytuacja niż w wypadku fenomenu nieobliczalności. Jak nadmieniłem w punkcie 1 powyżej – fenomen obliczalności funkcji ma znaczenie obiektywne. Być może jest tak, gdyż elementarne operacje jakie wykonujemy na funkcjach – tak zostały zdefiniowane funkcje obliczalne – są określone w sposób obiektywny i ustalony. Dysponujemy tu operacjami arytetycznymi, ograniczonym kwantyfikatorem i efektywnym minimum, oraz operacją składania funkcji ( rekurencja). Nie mamy tu wolności wyboru. Nie umiemy jako „bazy funkcji elementarnych” wybrać operacji nieobliczalnych co być może pozwoliłoby zapisywać złożone funkcje nieobliczalne jako „złożenie” prostszych klocków.

     W tym miejscu mogę wreszcie zadać pytanie o „przypadkową matematykę” w nieco bardziej techniczny sposób. Pytanie to mogłoby brzmieć mniej więcej tak: czy istnieją fakty matematyczne których prawdziwość nie zależy od przyjętego zbioru aksjomatów, pomimo że są spełnione w każdym z modeli? Na przykład – logika 2-giego rzędu pozwala na usunięcie problemów niezależności zdań dla arytmetyki Peano (PA). Fenomen ten polega na tym, iż w logice 2-giego rzędu istnieje tylko jeden model liczb naturalnych, nie ma modeli niestandardowych. Każde twierdzenie takiej teorii albo jest spełnione albo nie. Płacimy za to pewną cenę, teoria taka ma w zasadzie patologiczne własności ( np. niektóre dowody stają sie nieskończenie długie). Jednak przypuśćmy że w takiej teorii występuje pewna własność liczb, powiedzmy „twierdzenie X”, które stwierdza że liczba X o pewnej własności istnieje. Można sobie wyobrazić sytuację w której owa liczba istnieje także w każdym z modeli PA w logice 1-szego rzędu. I że brak jest dowodu tego faktu, bowiem dowód taki wymaga narzędzi dostępnych jedynie w logice 2-giego rzędu, powiedzmy indukcji pozaskończonej ( takie przykłady istnieją). Możemy wówczas stwierdzić, że choć istnienie liczby X nie ma wyjaśnienia na gruncie PA, to przecież nie jest przypadkiem. Jest to „prawdziwa” własność liczb naturalnych, wszakże niezależna od aksjomatów PA w teorii 1-szego rzędu.

     Pytam więc o istnienie takich cech obiektów teorii które są niezależne od aksjomatów – obiektywnie – a więc w dowolnym rzędzie logiki i w dowolnej aksjomatyzacji. Cech których istnienie jest całkowicie przypadkowe, i nie wynika z niczego co jawnie założyliśmy. Być może odwołując sie do kwestii obiektywności obliczalności funkcji, można by napisać że owa „przypadkowa cecha” nie tyle jest przypadkowa, co raczej wynika z pewnych określonych i niemożliwych do zmiany cech naszych rozumowań, tak jak nieobliczalność, nierelatywnych do wygodnych konwencji, lecz związanych z samą naturą języka i konsekwencji logicznej. Byłyby to zdania, twierdzenia czy własności, których istnienie byłoby konsekwencją np. skończoności zapisu elementów języka, związane z elementarnymi koncepcjami logicznymi jak kwantyfikacja czy negacja. Cechy czy własności takie byłyby obecne we wszystkich modelach jednak nie znajdywałyby syntaktycznego dowodu. Istnienie takich własności jest łatwe do przeoczenia, głównie dlatego że praktyka matematyczna, to przede wszystkim nieformalna praktyka syntaktyczna. Wydaje sie że praktykujący matematyk częściej buduje sobie określony model badanych pojęć a następnie szuka dowodu spostrzeżonych cech, niż szuka zdań wspólprawdziwych w jednym z wielu modeli

Bardzo luźne skojarzenia

 

 

    „The film is about the essence of art and the importance of faith and shows an artist who tries to find the appropriate response to the tragedies of his time. The film is also about artistic freedom and the possibility and necessity of making art for, and in the face of, a repressive authority and its hypocrisy, technology and empiricism, by which knowledge is acquired on one’s own without reliance on authority, and the role of the individual, community, and government in the making of both spiritual and epic art.”

     Za Wikipedia – artykuł o filmie Tarkowskiego „Andriei Rublev”

    [1]”Jednym z istotniejszych zdarzeń kształtujących zbiorową tożsamość napisowców, był sygnalizowany już w raporcie atak przypuszczony na to środowisko przez firmę dystrybucyjną [filmy] [słowo filmy – przypis mój] Gutek Film na przełomie 2005 i 2006 roku. Atak ten pociągnął za sobą nie tylko zawieszenie jednego z dwu największych portali dystrybuujących listy dialogowe (napisy.info), ale też późniejsze (2007) aresztowanie osób prowadzących drugi z portali (napisy.org).”

   [2] „W 2007 r. działania organów ścigania nakierowane teoretycznie na właścicieli serwisu napisy.org, zaczęły zataczać szersze kręgi obejmując również samych *tłumaczy.* Były naloty policji o szóstej rano, rekwirowanie komputerów, zatrzymania. Anna wspomina o strachu, jaki jej wówczas towarzyszył – twierdzi zresztą, że odczuwa go do dziś. W reakcji na informacje o działaniach policji, sformatowała dysk twardy, część płyt z filmami wyrzuciła, a co fajniejsze elementy zbioru wywiozła na działkę i ukryła w piwnicy. „Przycichła” na jakiś czas, podobnie jak większość tłumaczy. Po czym wróciła do tłumaczenia „pirata” i wrzucania napisów do sieci – bo jak twierdzi, nie wyobraża sobie już życia bez tego. Co zrobiłaby, gdyby w obliczu konsekwencji prawnych musiała przestać? Na pewno nie robiłaby tłumaczeń „do szuflady”. „Prędzej bym poszła na takie portale, gdzie  się poezję tłumaczy. Wtedy jest bardziej legalnie, może nikt cię nie będzie ścigał, bo już dawno wszyscy nie żyją.””

    Za: „TAJNI KULTURALNI. Obiegi kultury z perspektywy twórców sieciowych węzłów wymiany treści.”  Raport na licencji CC, dofinansowany z funduszy Ministerstwa kultury i Dziedzictwa Narodowego, można pobrać TU.  Warta uwagi lektura, rzecz w naszym kraju niezwykła – rząd sfinansował próbę poznania i zrozumienia postaw innych ludzi. Powyższe cytaty pochodzą z tekstów zamieszczonych w tym opracowaniu, autorstwa Marka Krajewskiego (cytat [1])  i autorów raportu – Mirosław Filiciak, Michał Danielewicz, Anna Buchner, Katarzyna Zaniewska ( cytat [2])

    Na obrazku powyżej, otwierającym ten wpis na blogu, jest fragment psałterza, przedstawia on: „Khludov Psalter (detail), 9th century. The image represents the Iconoclast theologian, John the Grammarian, and an iconoclast bishop destroying an image of Christ. (State Historical Museum, Moscow)” Obraz pochodzi z artykułu Wikipedii na temat Ikonoklazmu.

    Ikonoklazm polegał na egzekwowaniu zakazu czczenia ikon – czyli wałczono z Ikonodulią. Aby zakaz uczynić obowiązującym zakazano malowania ikon i niszczono te, które istniały. Historycy nie znają faktycznych powodów dla których wprowadzono Ikonoklazm. Po okresie zakazów, władzę polityczną objęli ludzie, którzy przezwyciężyli zakaz, i wszystko co o nim wiemy, pochodzi z ideologicznie przeciwnych Ikonoklazmowi źródeł. Spekuluje isę że Ikonoklazm mógł mieć związek z próba pomniejszenia ekonomicznych i politycznych wpływów  monastyrskich ( klasztornych), bowiem to monastyry były głównymi wytwórcami czczonych ikon, co często było podstawa ekonomiczną ich funkcjonowania. Podobno znane są przypadki ludzi którzy pomimo zakazu malowali w ukryciu, ryzykując śmierć.

    Nie twierdze że jedno ( Rublov ), drugie ( naloty policji na tłumaczy na wezwanie Gutek Film ) i trzecie ( Ikonoklazm) są tym samym, czy nawet podobnym zjawiskiem. Ale jest coś niepokojąco podobnego w dystrybutorze filmów i biskupie niszczącym wytwory kultury którą starają się chronić czy wręcz budować. I w zawłaszczaniu pola kultury przez władzę, jak u Rublova,  nawet jeśli jest to tylko władza pieniądza i „rynku”…

Przypadkowa matematyka – wpis odgrzewany

 

 

    Jakiś czas temu na blogspocie, gdzie blog ów miał swoją pierwszą inkarnację, która została zmieniona na wordpress z uwagi na obsługę LaTeX ( tak tak google, LaTeX jest ważny) popełniłem wpis o tytule „Przypadkowa matematyka”. Poniżej znajduje się właściwie jego treść, z tym że po przeglądnięciu nieco zmodyfikowana.

     Zaczniemy od prostego przykładu. Każdy chyba powinien znać wzór na wyznacznik delta ( chyba współcześnie w szkole mówią na to wyróżnik?) równania kwadratowego :

        (1)

    Z jakiego faktu wynika, że współczynnik przy iloczynie jest równy 4? Można to wykazać bezpośrednim rachunkiem. A z jakich faktów wynika, że jest to liczba parzysta?

    Przyznam szczerze nie umiem wyjaśnić tej koincydencji. najprościej uznać że to oczywiste i nieistotne  – skoro czynnik przed wynosi 4 to i cały wyraz musi być liczbą parzystą. Ot, banał. Czy jednak jest to fakt przypadkowy?  Zachodzi  pytanie, czy niektóre fakty matematyczne, mogą być przypadkowe? Oczywiście 4-ka równaniu powyżej, tym na deltę, nie może być inną liczbą. Czy istnieją jednak takie wyrażenia/równania/wielkości które z punktu widzenia struktury matematycznej w której się pojawiają są czysto przypadkowe? Może istnieją głębokie i niebanalne twierdzenia które odkryte w przyszłości ujawnią że w wzorze an wyróżnik równania kwadratowego parzystość wyrazu jest przejawem fenomenu którego rozpoznanie jest kluczowe dla dowodu Hipotezy Riemanna?

    Całe pokolenia znały i patrzyły na wzory Viete. W wypadku algebry szkolnej ich wersja dla równania kwadratowego, takeigo jak wyrażenie (1) bywa zmorą uczniów, nikt nie przedstawia jej jako szcególnie ważkiego zagadnienia, choć niewątpliwie zasługują na uwagę choćby przez wzgląd na zwykłą estetykę.

    Tymczasem właśnie te wzory mogą być użyte w dowodzie że krzywa eliptyczna nad ciałem liczb wymiernych jest grupą ( a w szczególności że działanie grupowe na takiej krzywej jest łączne oraz że nie wychodzi poza zbiór liczb wymiernych). Prosty szkolny fakt – staje się ważnym krokiem w stronę pięknej i poważnej matematyki.

    Czasami przypadkowe własności są odbiciem jakichś ukrytych symetrii, wpływów innych teorii które w danym, na ogół niespodziewanym punkcie, się z rozważaną teorią przecinają. W tym sensie fakt, że obroty niezgodne z ruchem wskazówek zegara,mają w macierzowej reprezentacji -sin(fi) w prawym górnym rogu, jest przecięciem się tej teorii z teorią liczb zespolonych ( i wynika wprost z praw mnożenia dla modułu jednostki urojonej i). W pewnym sensie dla teorii rzeczywistych obrotów płaszczyzny czy nawet przestrzeni 3 wymiarowej euklidesowej, jest to fakt przypadkowy.

    

    Omówmy jeden przykład wnikliweij. Euklides budował swoją geometrię. Wymyślił cztery proste aksjomaty, ale kiedy chciał dowodzić znanych sobie twierdzeń – potrzebował także piątego aksjomatu. Pewnie starał sie jakiś czas dowieść go jako twierdzenie, a może w jego czasach byłą jakaś historyczna już wtedy, dyskusja na ten temat, dosyć że w koncu zaniechał dowodów i dodał go tak jak jest znany nam obecnie. Z punktu widzenia Euklidesa, z czysto psychologicznego punktu widzenia – fakt że V-tego aksjomatu nie daje sie dowieść mógł być zaskakujący, niepokojący, moze nawet nieestetyczny ( bo aksjomat jest inny iż reszta, skomplikowany). No ale trudno – „taka jest geometria” westchnął Euklides. W pewnym sensie można powiedzieć żę fakt iż trzeba V-tego aksjomatu by dowodzić twierdzen geometrii – był w tym sensie błachym ale drażliwym szczegółem. Dzisiaj wiemy że ów V-ty aksjomat i jego komplikacja stanowi ślad z jednej strony możliwości budowy geometrii nieeuklidesowych. a z drugiej jego opuszczenie daje ciekawy świat geometrii absolutnej .
    Inny przykład – powiedzmy fakt że aby wyliczać pierwiastki równania stopnia 3 trzeba użyć liczb zespolonych. Psychologicznie bylo to strasznie ciężkie aby zaakceptować że to konieczne. Na tyle że od tej konieczności uciekano niemal kilkaset lat utwierdzając się w przekonaniu że to sa nieistotne i czysto techniczne kroki pośrednie!
    Podobnych przykładów – jest więcej – coś co jest błahym szczegółem na pewnym etapie rozwoju matematyki, uzyskuje ciekawą i niebanalną interpretację na innym.
    Czy każda „błaha okoliczność”, albo „kroki techniczne” prowadzą do ważnych albo chociaż ciekawych nowych dziedzin rozwoju matematyki, czy też istnieją takie „błahe fakty” które sa faktycznie błahe, przypadkowe. Jeśli matematyka jest odkrywaniem (1) – to być może nie ma błahych faktów – bo zawsze niosą za sobą one jakąś wiedzę o realnych bytach która zasługuje na uwagę.

    Jeśli jest tworzeniem (2) – fakty sa błahe wtedy gdy nikt się imi nie zajmuje i nie rozwija jakiejś możliwej do stworzenia, stojącej za nimi teorii. Pogląd (2) współgra z stanowiskiem że matematyka to tylko formalna zabawa symbolami ( z którym sie nie zgadzam), rodzaj gry słownej.  W takim wypadku, jeśli matematyka to rodzaj „intelektualnych szachów”, to znaczenie granej partii nie może tkwić w sposobie jej realizacji, a jedynie „w oku grającego” – w estetyce, w praktycznym stosowaniu poza szachownicą, we wpływie na inne rozegrane partie.
    Warto zauważyć że nie jest to jedyna możliwa interpretacja stanowiska (2) gdyż matematyka może być tworzona ( a nie odkrywana) a mimo to nie być „grą słowna” ale na przykłąd można ją rozumieć jako dzieło sztuki ( skłaniam sie właśnie ku temu poglądowi ), albo być twórcza emanacją potencji ludzkiego umysłu  ;-) ( to znaczy nie zawierać w sobie elementów oceny estetycznej i psychologii, jak w sztuce, ale mieć inne niż czysto formalne w sensie syntaktycznym znaczenia). 

    Wszystko to co wymieniono powyżej a także wiele wiele innych nawet znacznie bardziej ważkich faktów ( związek teorii funkcji analitycznych z teorią pola i funkcjami harmonicznymi, całkowe twierdzenie Stokesa i piękna teoria form zewnętrznych, niezwykłe zależności między teorią całkowalności równań a teorią symetrii, czy wreszcie związek pomiędzy rozwiązywalnością równań algebraicznych a teorią grup odkryty przez Galois) skłaniają nas ku poglądowi że fakty które jawią się nam jako przypadkowe, w innym świetle staja się ważnymi zjawiskami pozbawionymi krzty przypadkowości.

    Czy zatem istnieją przypadkowe twierdzenia matematyczne, takie które są przypadkowe z fundamentalnych powodów, to znaczy takie które nie wynikają z żadnego przecięcia się dowolnych teorii? Czy istnieją ciekawe twierdzenia przypadkowe?

    Każde twierdzenie to zdanie które ma dowód ( jeśli prawdziwe) lub istnieje dowód jego zaprzeczania ( jeśli fałszywe), lub zdanie niedowiedlne w danej teorii aksjomatycznej ( ale może wówczas awansować do aksjomatu teorii poszerzonej) co nie wyklucza bycia twierdzeniem w innej teorii. Z tego punktu widzenia dla ustalonego schematu aksjomatów ( spełniających tw, Goedla) zdanie przypadkowe to zdanie niedowiedlne. To jednak istotne ograniczenie: niedowiedlność ma się nijak do prawdziwości. A chodzi mi o zdania prawdziwe: 4-ka z powyższego przykładu jest parzysta, jednak nie znana mi jest teoria która dowodziłaby że podobne współczynniki w jakiejś klasie równań muszą być parzyste ( mniejsze od 10-ciu, być kwadratem liczby całkowitej i co tam jeszcze można o czwórce napisać – nieskończenie wiele prawdziwych zdań….Czy mam oczekiwać że taka teoria istnieje, choć jej nie znam ( nikt jej nie zna?) ).
Badając własności systemów aksjomatycznych używa się modelu teorii. Model to dokładnie to co rozumiemy pod pojęciem modelu: istotne własności te same co obiekt oryginalny ( spełnia aksjomaty) ale z obiektem oryginalnym tożsamości nie ma choćby dlatego, że oryginał nie określa wszystkich cech modelu. Model samochodu ma inne własności niż samochód: jest mniejszy, lżejszy, wykonany z innych materiałów, często nie w pełni funkcjonalny ( do czego już w matematyce nie możemy dopuścić). Niemniej widząc model auta możemy rozpoznać samochód. Podobnie w matematyce, model teorii to jej „implementacja” w konkretnej strukturze matematycznej. niektóre cechy modelu sa jednak „niepotrzebne”. Model samochodu może być wykonany z wosku, a tym samym nie tonąć w wodzie. Auto nie ma tej cechy. Podobnie w matematyce: czy zatem kandydatami na przypadkowe twierdzenia matematyczne są te zdania, które są własnościami modeli a nie własnościami teorii których modele rozważamy?

    Zwykle dana teoria aksjomatyczna ma wiele modeli – często jeden klasyczny i kilka nieklasycznych – tak jest np. z liczbami naturalnymi. Czy zdania przypadkowe pojawiają się gdy dany, ten sam model, jest modelem wielu teorii?

    A może niektóre cechy nie wynikają z żadnej z teorii której modelem potencjalnie może być dana struktura? Zwykle teoria modeli mówi o modelach ustalonej struktury aksjomatycznej – w tym sensie paradoksalnie powinna być raczej nazwana teorią modelowania, a teoria modeli powinna rozważać rzecz odwrotną: mamy strukturę ( model) – pytanie – jakie zestawy aksjomatów do niej pasują. Nic podobnego nie widziałem.
    Twierdzenie Tarskiego o definiowalności prawdy stwierdza że nie ma syntaktycznego mechanizmu jej definiowania w ramach danej teorii. Słowem prawdziwości twierdzeń nie można wyliczać posługując się pojęciami teorii w ramach której je badamy. Czy zatem prawdziwość twierdzeń matematycznych (zdanie o prawdziwości twierdzenia) jest przykładem zdania przypadkowego z punktu widzenia danej teorii?

    Czy da się całe to pytanie: czy są przypadkowe prawdy matematyczne, zadać bez określania ram teorii aksjomatycznej, odnieść do matematyki jako całej? Cy da się to precyzyjnie zdefiniować ( fakt bez dowodu? cecha bez uzasadnienia? Twierdzenie nie mające konsekwencji?). Czy ma to jakiś związek z pracami Chaitina? Czy to są echa mojej niepamięci o tym co u niego przeczytałem i zapomniałem?
Ciekawe…

Paradoks Yablo

 

Motto:

    “W książce Stephena Hawkinga z 1988 Krótka historia czasu (ang. A Brief History of Time) na początku pierwszego rozdziału jest opisana następująca anegdota, wymiana zdań pomiędzy naukowcem i starszą panią:

Znany naukowiec (być może filozof Bertrand Russell) wykładał astronomię dla ogólnej publiczności. Opisywał, że Ziemia porusza się wokół słońca, słońce porusza się wokół centrum galaktyki.
Pod koniec wykładu starsza pani siedząca w końcu sali wstała : “Wszystko to co pan nam powiedział to są doprawdy głupoty. W rzeczywistości świat jest wielką płytą podtrzymywaną na grzbiecie wielkiego żółwia”
Naukowiec uśmiechnął się i z przekąsem zapytał “A na czym stoi żółw”?
“Jest pan bardzo sprytny młody człowieku”, odpowiedziała starsza pani, “Po prostu tam są żółwie aż do samego końca”.”

    Zakładam że czytelnik wie na czym polega pojęcie antynomii. W wielu znanych antynomiach, jak antynomii kłamcy czy antynomii Rusella klas samozwrotnych mamy do czynienia z sytuacją w której nie jesteśmy w stanie przypisać w niesprzeczny sposób wartości logicznej zdaniom związanym z tymi paradoksami. Sprawa jest omawiana przez wszystkie podręczniki teorii mnogości, logiki itp.W popularnej kulturze szczególnie głęboko zapisało sie zdanie „Ja kłamię” zwane antynomią kłamcy. Jeśli osoba wypowiadająca to zdanie mówi prawdę, czyli zdanie P=”ja kłamię” jest prawdziwe, to stwierdza że kłamie czyli wypowiada fałszywe zdanie co oznacza że kłamie mówiąc ze kłamie więc mi prawdę. Ogólnie przyjętym rozwiązaniem jest eliminacja z języka zdań samozwrotnych a więc wypowiadających treści na swój własny temat.

    Rozwiązanie takie jest kosztowne. Z języka zostają wyeliminowane nie tylko antynomie jak antynomia kłamcy, ale i zupełnie nieszkodliwe zdania jak „ja mówię prawdę”.

    Powstaje pytanie na ile rozwiązanie to jest skuteczne. Powszechnie uważa się że jest. Nic jednak dziwnego że pojawiają się próby wynajdywania antynomii bez samozwrotności. Przykładem właśnie takiej wynalazczości jest paradoks Yablo. Ma on postać następującego, nieskończonego, przeliczalnego, ciągu zdań (dalej będę ów ciąg oznaczał przez (Y)):

(Y0) dla każdego n>0 zdanie Yn jest fałszywe
(Y1) dla każdego n>1 zdanie Yn jest fałszywe
(Y2) dla każdego n>2 zdanie …..
.
.
itp.

    Zanim zaczniemy analizować (Y) rozpatrzmy prostsze przykłady.

    Pierwszym niech będzie tzw. koło kłamców. Jest to ciąg k>1 zdań, o następującej konstrukcji. Pierwsze zdanie K0 stwierdza że zdanie K1 jest fałszywe (lub że osoba K kłamie). Zdanie K1 stwierdza że zdanie K2 jest fałszywe. … Ostatnie zdanie Kk stwierdza że K0 jest prawdziwe Dla tak zadanego ciąg zdań nie jesteśmy w stanie przypisać wartościowania, które zdania są prawdziwe a które fałszywe, w konsystentny sposób. Proszę by czytelnik zabawił się tym ciągiem dla 2 zdań P i Q, następującej treści P=”~Q” Q=”P”.

    Powyższy przykład jest o tyle ważny, że samozwrotność jest w nim wmontowana w pośredni sposób. Żadne ze zdań Ki nie jest samozwrotne, ale dzięki konstrukcji całego ich zbioru ( ostatnie zdanie wypowiada treść na temat prawdziwości pierwszego ) uzyskujemy sprzeczność. Czyli wykluczenie zdań samozwrotnych „atomowo” nie rozwiązuje problemu. W celu likwidacji antynomii związanych z samozwrotnością, należy wykluczać cale zbiory zdań samozwrotnych. W wypadku zbiorów skończonych sprawa wydaje sie dosyć dobrze określona.

    W wypadku nieskończonych ciągów zdań, rzeczy mają sie jednak inaczej. Rozpatrzmy jako drugi przykład następujący zbiór zdań ( dobrany tak by przypominał nieco sekwencję Yablo (Y)):

(P0) ~P1 ^ ~P2
(P1) ~P2 ^ ~P3
(P2) ~P3 ^ ~P4
(P3) ~P4 ^ ~P5
.
.
itd

    Zdanie P0 stwierdza że P1 i P2 są fałszywe. Zdanie P1 nie odnosi się w żaden sposób do treści zdania P0, i żadne z wypisanych ( i możliwych do wypisania) zdań tego zbioru nie wypowie żadnej treści o zdaniu P0. Wygląda na to że nie ma tu żadnej samozwrotności. Czy możemy ustalić jaka jest prawdziwość zdań tego systemu? Załóżmy że zdanie P0 jest prawdziwe. Oznacza to że fałszywe są zdania P1 i P2. Skoro zdanie P1 jest fałszywe, to prawdziwe jest następujące zdanie ~P1 = ~(~P2 ^ ~P3) = P2 v P3 gdzie użyliśmy prawa de Morgana dla negacji koniunkcji. Ale zdanie P2 jest fałszywe ( bo stwierdza to zdanie P0) zatem zdanie P3 musi być prawdziwe ( a zdanie P2 fałszywe). Wypisując uzyskany ciąg wartości prawdziwości zdań ( P0P1P2 itp.) uzyskujemy następujący ciąg (0-fałsz, 1-prawda): 1001

    Zauważmy że w wypadku zdania P3 uzyskaliśmy orzeczenie że jest ono prawdziwe. Ponieważ konstrukcja zdań P4 i następnych jest taka sama jak zdań poprzednich, wartościowanie zdania P4 przy uzyskanej prawdziwości zdania P3 odbędzie sie wg. tych samych zasad ( tego samego rozumowania) co w wypadku zdania P1 przy założonej prawdziwości zdania P0. Udało nam sie tym samym ustalić wartościowanie pełnego ciągu zdań,w postaci:
1001001001001001…

    Wynik ten łatwo uogólnić posługując się następującym rozumowaniem. Jeśli mamy ciąg zdań jak powyżej to zakładając że pierwsze zdanie P0 jest prawdziwe uzyskujemy następującą treść dla zdania ~P1: „spośród dwóch następnych zdań co najmniej jedno jest prawdziwe”. Jednak zdanie P0 stwierdza że fałszywe są zdania P1 i P2 więc prawdziwe musi być zdanie P3. Łatwe uogólnienie ma następującą postać.

    Niech będzie dany nieskończony ciąg zdań (P) = {P0,P1…Pk,…} o następującej konstrukcji:

(P0) ~P1 ^ ~P2 ^ ~P3 ^ … ^ ~Pk
(P1) ~P2 ^ ~P3 ^ ~P4 ^ … ^ ~P(k+1)
.
.
(Ps) ~P(s+1) ^ ~P(s+2) ^ … ^ ~P(s+k)

.

.

.

 

    Wówczas wartościowanie w którym P0 jest prawdziwe, po czym następuje k zdań nieprawdziwych, po czym P(K+1) jest prawdziwe i reszta ciągu jest okresowa jest prawidłowym wartościowaniem ciągu zdań (P).

    Tu uwaga na temat drzewka. Wartościowanie dla pierwszego ciągu powyżej, P0 = ~P1 ^ ~P2 itd. można narysować za pomocą drzewa. Każdy węzeł drzewa odpowiada zdaniu Pi dla pewnego i. Wierzchołek drzewa odpowiada zdaniu P0. Kiedy zdanie jest prawdziwe – idziemy do lewego dziecka, kiedy jest fałszywe do prawego. Określenie konsystentnego wartościowania oznacza że zbiór zdań wyznacza pewną ścieżkę na drzewie. Zdania nie są samozwrotne więc nie ma żadnych cykli i cała procedura sprowadza sie do znalezienia właściwej ścieżki. Zdanie P0 oznacza że 2 następne ścieżki po nim muszą być w lewo. Wchodząc na drzewo zakładamy że P0 jest prawdziwe czyli drzewo wisi na gałęzi skierowanej w lewo i zaczepionej w P0 ( która jednak nie jest częścią drzewa) Skoro zdanie P0 jest prawdziwe spośród 2 następnych ścieżek po ) 1 jedna musi być w prawo. Stosowna ścieżka istnieje, a rysunek trzeba sobie zrobić samemu. Bardzo to przypomina drzewo Sterna Brocota które także jest zawieszone na 2 gałęziach które jednak nie reprezentują liczb, a są jedynie generatorami grupy wolnej rozpinającej drzewo…

Podajmy kolejny, bardziej złożony koncepcyjnie przykład. Weźmy nieskończony zbiór zdań (Z) = {Z0,Z1,Z2,…} o następującej konstrukcji:

 

(Z0) ~Z1

(Z1) ~Z2 ^ ~Z3

(Z2) ~Z3 ^ ~Z4 ^ ~Z5

(Z3) ~Z4 ^ ~Z5 ^ ~Z6 ^ ~Z7

.

.

itd

 

    Zdanie Z(n) zawiera n+1 wyrazów każdy będący zaprzeczeniem zdań o kolejnych numerach rozpoczynających się od n+1. Posługując się podobnym rozumowaniem jak w wypadku zdań (P) uzyskamy stosowne, niesprzeczne wartościowanie zdań (Z). W szczególności jeśli zdanie Z0 jest prawdziwe, to co najmniej jedno ze zdań Z2 i Z3 musi być prawdziwe. Może być to zdanie Z2 ale wówczas zdanie Z3 musi być fałszywe. czyli ciąg może zaczynać się tak: Z0-Z1-Z2-Z3 = 1010 itp. Jeśli założymy że zdanie Z3 jest prawdziwe, Zdanie Z2 ma dowolne wartościowanie. Jak widać system Z jest mniej sztywny niż system P który dla założenia wartości logicznej zdania P0 określał jednoznacznie wartości logiczne pozostałych zdań.

    Jesteśmy gotowi do rozważenia paradoksu Yablo. Temat ten ma bogatą literaturę. Paradoks ogłoszono w 1993 roku, w pracy „Paradox without Self-Reference”. Większość dyskusji wokół tego tematu dotyczy oświadczenia autora że paradoks nie zawiera zdań samozwrotnych. I rzeczywiście trudno się ich w zbiorze zdań (Y) dopatrzyć. Pojawiają się jednak analizy które starają się zapisać cały ów zbiór jako jedno zdanie z dodatkowym kwantyfikatorem po numerze zdania. Oczywiście tak powstałe zdanie jest samozwrotne ale nie jest paradoksem ogłoszonym przez Yablo. Inne próby obalenia paradoksu dotyczą dowodzenia że teoria typów zbudowana na zbiorze (Y) nie jest dobrze ufundowana ( nie spełnia aksjomatu ufundowania Teorii Mnogości), co może oznaczać że teorie w których da sie zapisać paradoks Yablo ( a które tym samym mogą być niebezpiecznie bliskie sprzeczności!) nie mają typów zgodnych z aksjomatyką teorii mnogości co jest zdecydowanie patologią. Nie czuję sie na siłach komentować tych wielu prac, a w większości przypadków nawet nie rozumiem dowodu że zdania (Y) prowadzą do paradoksu. Spójrzmy na przykład do tekstu rzetelnego źródła – Bolander, Thomas, „Self-Reference”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.) Autor widzi sprawę tak:

„We can then derive a contradiction as follows:

First we prove that none of the sentences Si can be true. Assume to obtain a contradiction that Si is true for some i. Then it is true that “for all j>i, Sj is not true”. Thus none of the sentences Sj for j>i are true. In particular, Si+1 is not true. Si+1 is the sentence “for all j>i+1, Sj is not true”. Since this sentence is not true, there must be some k>i+1 for which Sk is true. However, this contradicts that none of the sentences Sj with j>i are true.

We have now proved that none of the sentences Si are true. Then, in particular, we have that for all j>0, Sj is not true. This is exactly what is expressed by S0, so S0 must be true. This is again a contradiction.”

    Dalej zaś następują następujące, cokolwiek zagadkowe słowa: „Yablo’s paradox demonstrates that we can have logical paradoxes without self-reference – only a certain kind of non-wellfoundedness is needed to obtain a contradiction. There are obviously structural differences between the ordinary paradoxes of self-reference and Yablo’s paradox: the ordinary paradoxes of self-reference involve a cyclic structure of reference, whereas Yablo’s paradox involve an acyclic, but non-wellfounded, structure of reference. More precisely, the referential structure in self-referential paradoxes such as the liar is a reflexive relation on a singleton set, whereas the referential structure in Yablo’s paradox is isomorphic to the usual less-than ordering on the natural numbers, which is an irreflexive relation. Even though there is this difference, Yablo’s paradox still share most properties with the ordinary paradoxes of self-reference. When solving paradoxes we might thus choose to consider them all under one, and refer to them as paradoxes of non-wellfoundedness. In the following we will however stick to the term paradoxes of self-reference, even though most of what we say will apply to Yablo’s paradox and related paradoxes of non-wellfoundedness as well.”

    Jak zatem rozumieć sprzeczność w paradoksie Yablo? Może wcale nie mamy tu paradoksu skoro to jest złe ufundowanie? Co znaczy to bliżej nieokreślone pojęcie? Najwyraźniej autor hasła w zacytowanej encyklopedii ma problemy z określeniem co ono znaczy, choć oczywiście jakaś analogia z aksjomatem ufundowania wydaje się tu narzucać. Wydaje się że nie jest to przypadek, a w poprzednim, niezbyt udanym wpisie, pojawił się przykład eksploatujący układ teorii które być może, wymagają do konstrukcji, obiektów źle ufundowanych w sensie teorii mnogości ( czy tak jest pozostaje dla mnie otwartym problemem) .

    Moim zdaniem należy patrzeć na tą kwestię w następujący sposób.

    Początkowe zdania (Y) stwierdzają pewną treść o pozostałych zdaniach systemu. W szczególności zdanie Y0, stwierdza że każde zdanie w zbiorze zdań (Y1) = {Y1,Y2,…} jest fałszywe. Co mówi zdanie Y1? Zdanie Y1 stwierdza, że każde zdanie w zbiorze (Y2) = {Y2,Y3…} jest fałszywe. Wynika z tego, że oba te zdania stwierdzają, że zdania zbioru będącego częścią wspólną zbiorów (Y0) i (Y1) są fałszywe. Jednak jednocześnie zdanie Y0 stwierdza także że zdanie Y1 jest fałszywe. Innymi słowy nie mamy tu do czynienia z samozwrotnością, jak błędnie moim zdaniem twierdzą rozmaici autorzy, ale wprost z dwoma ( nieskończoną ilością) zdań zwyczajnie sprzecznych. Aby zobaczyć to jaśniej, zapiszmy nasze zdania w następującej postaci:

Y0= ~Y1 ^ ~(U)
Y1= ~(U)

    Gdzie przez (U) rozumiemy pewien zbiór zdań ( dokładnie {Y2,Y3,Y4,…} ) zaś ~(U) należy rozumieć jako koniunkcję zaprzeczenia wszystkich zdań składowych (U). Wynika z tego że Y0 i Y1 nie moga być jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe. Oczywiście dla skończonej ilości zdań ( gdyby w przykładzie powyżej rozumieć (U) jako zdanie a nie zbiór zdań), stosowne wartościowanie istnieje – możemy przyjąć że zdania Y0 i Y1 są fałszywe, zaś „zdanie” (U) prawdziwe i jest to możliwe dla dowolnej skończonej ilości zdań o konstrukcji podobnej jak zdania powyżej. Jednak (U) nie jest tu zdaniem a całym zbiorem zdań. Widać wyraźnie że paradoks nie pojawia się tu na skutek samozwrotności ale w wyniku pewnych własności nieskończonego zbioru zdań.

    I w tym miejscu pojawia się pewien pomysł. Jak wiadomo w arytmetyce wyrażenia postaci 1/0 nie mają określonego sensu ( ba! są jawnie niepoprawne lub niezdefiniowane). Niemniej istnieje możliwość określenia ich wartości w pewnego rodzaju warunkach, i właściwe używanie symbolu nieskończoności wraz z definicjami uzupełniającymi reguły arytmetyki mnożenia i dodawania, pozwala pewne rachunki prowadzić w sposób konsystentny. Nasze postępowanie mogłoby zatem polegać tu na zdefiniowaniu logicznych praw operowania nieskończonym zbiorem zdań (U) w rozumowaniach jak powyżej i na wykazaniu że tak zdefiniowany element pozwala na zapisanie paradoksu Yablo.

    Załóżmy zatem że obowiązują następujące zasady:

1. nie wolno nam orzekać o prawdziwości zdania (U) – prawdziwość tego zdania jest tematem tabu;
2. wszelkie rachunki logiczne przeprowadzamy w sposób klasyczny ale z końcowego wyniku, na każdym kroku wymazujemy (U)
3. jeśli musimy w trakcie rozumowania rozpatrywać alternatywę przypadków, musimy dokonać założeń na temat zdań o największej nieokreśloności w stosunku do (U) czyli na przykład w wypadku dwu zdań t=~(U) oraz s = ~x ^ ~ (U) jeśli rozpatrujemy alternatywę t v s musimy przyjąć przypadek że s jest prawdziwe ( bo podobne założenie co do prawdziwości/fałszu t przenosiłoby się bezpośrednio na zdanie (U), w wypadku zdania s pozostaje/pozostają inne mozliwści )

    Punkt 3 stanie się jaśniejszy po rozpatrzeniu poniższych rachunków.

    Postępując w taki sposób rozpatrzmy zespół zdań:
Y0= ~Y1 ^ ~Y2 ^ ~ Y3 ^ ~(U)
Y1= ~Y2 ^ ~ Y3 ^ ~(U)
Y2= ~ Y3 ^ ~(U)
Y3 = ~(U)

    Załóżmy że zdanie Y0 jest prawdziwe, dostaniemy w ten sposób następujące rozumowanie ( każda następna linia wynika z poprzedniej):
Y0 =>
~Y1 ^ ~Y2 ^ ~ Y3 ^ ~(U) => ( wymażemy (U) – patrz reguła 2 )
~Y1 ^ ~Y2 ^ ~ Y3 => ( skoro koniunkcja to możemy wziąć jako zdanie prawdziwe ~Y1)
~Y1 =>
~( ~Y2 ^ ~ Y3 ^ ~(U) ) => (zastosujemy prawa de Morgana dla koniunkcji)
Y2 v Y3 v (U) => ( dalej wymażemy (U) – patrz reguła 2 )
Y2 v Y3 =>
sprzeczność z założeniem że Y0 jest prawdziwe.

    Czyli Y0 nie możę być prawdziwe.

    Odwrotnie załóżmy że Y0 jest fałszywe.
~Y0 =>
~(~Y1 ^ ~Y2 ^ ~ Y3 ^ ~(U)) => (stosujemy prawo de Morgana dla koniunkcji)
Y1 v Y2 v Y3 v (U) => ( wymażemy (U) – patrz reguła 2 )
Y1 v Y2 v Y3 => ( tu użyjemy reguły 3 i założymy że z tej alternatywy wynika że prawdziwe musi koniecznie być zdanie Y1 – bo w najmniej sztywny sposób określa warunki dla prawdziwości zdania (U)) ***
Y1 =>
~Y2 ^ ~ Y3 ^ ~(U) => ( dalej wymażemy (U) – patrz reguła 2 )
~Y2 ^ ~ Y3 =>
~Y2 =>
~ (~ Y3 ^ ~(U) ) => (prawa de Morgana)
Y3 v (U) => ( dalej wymażemy (U) – patrz reguła 2 )
Y3 =>
sprzeczność z linią stwierdzającą prawdziwość Y1 ( która wynikała z fałszywości Y0).

    Czyli Y0 nie może być fałszywe.

    Widać że rozumowanie powyższe od miejsca oznaczonego *** działa dokładnie tak jak pierwsza część dowodu ( dotycząca przypadku kiedy Y0 jest prawdziwe). Oczywiście rozumowanie to jest niepoprawne logicznie. nie mam także żadnej pewności że wprowadzenie reguł 1,2,3 nie prowadzi do jawnej sprzeczności w systemie „zwykła logika” + 1,2,3. Zapewne prowadzi. Celem przedstawionego rachunku nie było „udowodnienie” że paradoks Yablo jest paradoksem, bo to łatwo jest dowieść bez „sztucznych reguł”. Moim celem było zwrócenie uwagi na to, że realizacja tego paradoksu nie wymaga samozwrotności a jedyne istnienia „elementu tabu” który oczywiści imituje działanie „nieskończonego zbioru zdań” co samo w sobie pozwala na zapisanie paradoksu. Oczywiście najwięcej kontrowersji budzi skomplikowana reguła 3 która pozwala nam w dowodzie związanym z założeniem ~Y0 odtworzyć postępowanie dowodowe z części z opcją Y0. Jest to cena jaką płacimy za skończoną ilość wypisanych wyrażeń i rezygnację z użycia kwantyfikatorów. Jeśli czyta to wypracowanie zawodowy logik lub matematyk, uprzejmie proszę o zastanowienie się nad eksploatowaną tu analogią miedzy postulatami 1,2,3, a powodem wprowadzenia wartości dla symboli nieoznaczonych jak 1/0. W szczególności sensem wprowadzania 1,2,3 w moim wypadku miałoby być ich użycie w odniesieniu do predykatu prawdy Tarskiego, zwłaszcza w kontekście hierarchii języków-metajęzyków. W tym sensie 1,2,3 wypisane powyżej nalezy traktować jako hipotezę roboczą, nie twierdzę że sa one szczególnie szczęśliwie dobrane. To propozycja. Proszę podać własną!

    Czy przedstawiony powyżej rachunek jest użyteczny? Być może. Zrezygnujmy z założenia że (U) to zbiór zdań. W opisanym powyżej „dowodzie” nie używamy nigdzie tego założenia ( poza milczącym zakładaniem że wyrażenie postaci (x ^ (U)), (x v (U) ), ~(U) itp. mają sens, oraz że prawa logiki jak np. prawo de Morgana obowiązuje dla wyrażeń utworzonych z użyciem (U). W istocie (U) może być jakimkolwiek obiektem logicznym którego struktura wewnętrzna jest nam całkowicie obojętna, może być na przykład predykatem ( funkcją zdaniową) itp.

    Gdyby przyjąć że przedstawione tu podejście ma inne niż czysto heurystyczny sens, na przykład, że zasady 1,2,3 nie prowadzą do sprzeczności jeśli dodać je do klasycznego rachunku predykatów, moglibyśmy uzyskać dwie korzyści, jedną spodziewaną i pożądaną, druga zaskakująca ale niepożądaną.

    Korzyść pożądana to oczywiście wyjaśnienie pochodzenia paradoksu Yablo. Paradoks ten w myśl mojego pomysłu powstaje nie w wyniku samozwrotności ( co jest bardzo dyskusyjne, zapisanie wszystkich zdań paradoksu Yablo w jakiejś (meta)teorii jako predykat zależny od rozmaitych zmiennych, nie jest tym samym co możliwość wypisania wszystkich tych zdań jedno po drugim), ale w wyniku zwykłej sprzeczności, takiej samej jak w wypadku dwu zdań: „śnieg jest czarny”, „śnieg jest biały”. Powtórzmy – zdania Y0 i Y1 paradoksu Yablo stwierdzają coś o innych obiektach teorii – zdanie Y0 o Y1 i (U) zaś Y1 o (U) i treść tego stwierdzenia przeczą sobie wzajemnie. Wobec własności obiektu (U) ustalenie prawdziwości ich układu Y0, Y1… wymaga ustalenia prawdziwości na pewnym skończonym zbiorze zdań co jest niemożliwe bo zdania te przeczą sobie wzajemnie.

    „Korzyść niepożądana” dotyczy przykładu z poprzedniego, nieudanego wpisu na blogu. Niech Y0 będzie zdaniem pewnej teorii T, zbudowanym z użyciem predykatu prawdy dla podteorii T1 owej teorii. Wówczas obiekt (U) może być predykatem prawdy jaki teoria T’ buduje dla swoich podteorii T2 itd. W szczególności obiekt taki nie ma określonej prawdziwości ale chcąc łatać pod(pod…)teorie budowane w T możemy stosując zasady 1,2,3 ratować nasza koncepcję prawdy przed sprzecznością. Obiekt (U) może mieć postać ( w teorii T) „Teoria T1 mówi nieprawdę kiedy używa swojego predykatu prawdy w stosunku do predykatu prawdy teorii T2 kiedy ten orzeka o predykacie prawdy T3 kiedy ten orzeka o predykacie prawdy T4….” Widać wyraźnie że jest to bardzo źle zdefiniowany obiekt.

    Oczywiście z bzdur wynikają bzdury i być może status tych wszystkich rozważań jest bzdurą. Całość powyżej jest niewątpliwie szalenie wątpliwa ;-)

    Rozważmy jednak następujący, tym razem już ostatni, przykład. Weźmy bardzo rozwlekły i ogólny język programowania – nazwijmy go dla zachowania analogii Asemblerem. Rozpatrzmy w tym języku programowania rozmaite programy, niech wszystkie one mają nazwę która jest liczbą naturalną ( np. Program nr 18 a Asemblerze nazywa sie „A18” ) a w wyniku działania niech zwraca liczbę. Niech każdy z tych programów zawsze kończy obliczenia. Inne programy ( na przykład takie które nie kończą swoich obliczeń) nas nie interesują. Załóżmy ze dysponujemy Maszyną która uruchamia programy w Asemblerze więc możemy dla każdego z rozważanych programów poznać wynik jego działania. Co więcej Maszyna owa pozwala na porównanie wyników takich programów ( czyli sprawdzenie czy A19 =?= A20 ). Kluczowa własność w tym co piszę poniżej to właśnie owo porównywanie.

    Na bazie Asemblera zdefiniujemy język wyższego poziomu. Budowa owego języka ma wyłącznie postać makr ( a więc nietwórczych definicji). Nazwijmy ów język Basemblerem. Basembler ma swoje własne programy ( które rozwijają się oczywiście do Asemblera, to kluczowa własnośc która imituje właność językowej relacji teoria-metateoria, w tym pojecie przekłądu, a pośrednio prawdy), które mają własne nazwy, na przykład B18. Maszyna która uruchamia Asembler oczywiście potrafi uruchamiać Basembler ( wystarczy w tym celu rozkodować makra). Ale w niektórych wypadkach będzie używać maszyny Basemblerowej, która nie wie jak wyliczać wyrażenia w Asemblerze. Liczenie w Basemblerze idzie jej jednak znakomicie.

    Na bazie Basemblera, zdefiniujemy Casembler, za pomocą tych samych nietwórczych konstrukcji ( a więc znowu makra) i zbudujemy Casemblerową maszynę.

    Na bazie Casemblera, Dasembler i jego maszynę itd.

    Oczywiście powstanie w ten sposób pewna hierarchia makr i maszyn możliwa do ciągnięcia w nieskończoność. Na przykład w praktycznej realizacji makra Basemblera mogą wyliczać wyłącznie liczby parzyste – czyli postaci 2n i być nazywane za pomocą liczby n. Casembler może wyliczać wyłącznie liczby 4n i być nazywany n itp.

    Programy coś muszą liczyć. Cecha jaką chcemy wyliczyć jest całkowicie obojętna, ważne by jej wyliczanie było proste, łatwe, szybkie i przyjemne, oraz by nie ulegało żadnych wątpliwości że maszyna Asemblerowa, Basemblerowa i następne potrafią stosowne obliczenia wykonać, wraz ze stosownymi porównaniami. Nie budujemy żadnego dowodu przez diagonalizację, więc zbieżność N i XN w dalszych rozważaniach jest całkowicie nieistotna. Załóżmy ze chodziło o sprawdzenie że N = BN. Chcemy wyodrębnić wszystkie programy których wynik działania – liczba N jest taka sama jak numer programu w stosownym języku BN ( na przykład kiedy program A18 daje w wyniku 18, a program D20 daje w wyniku 20). Maszyna Asemblerowa jest w stanie sprawdzać programy w Basemblerze. Stworzono w tym celu specjalny program Asemblera, który wyliczał N, a następnie badał czy wynik programu Basemblera, BN jest jej równy. Uzyskano pewne wyniki, poprawne o tyle o ile poprawne jest wyliczanie N w Asemblerze ( można by rzec że wyniki sa zrelatywizowane do poprawności Asemblera co w istocie pozostaje poza tematem dyskusji). Sprawdzono tym sposobem wszystkie programy zbudowane w Basemblerze, Casemblerze, Dasemblerze i następnych językach. Niestety wynik wzbudzał wątpliwości. Dla kontroli chciano wykonać stosowne badania dla Casemblera. Oczywiście najprościej było stworzyć stosowny program w Basemblerze, który wyliczał N a następnie CN i sprawdzał zgodność uzyskanych liczb. Konstrukcję powtórzono dla Dasemblera i następnych języków. Z powodu nawału prac prace developerskie prowadzono jednocześnie, rozpisane one były na wiele zespołów, każdy zajmował się jednym językiem programowania i zatrudniał specjalistów z tej dziedziny. Programowano w technologii zwinnego programowania kowbojskiego i szczegóły implementacji zaginęły, a programiści zostali zwolnieni po zakończeniu testów. Do porównania wyników zatrudniono konsultantów Bardzo Drogiej Firmy Konsultingowej Arbiter Arythmeticsen Polska sp. z o.o

    Konsultanci wcale sie nie zdziwili. Wiadomo od dawna że programiści pracujący w Asemblerze nie maja zbyt dobrego zdania o specjalistach z Basemblerze. Wyniki zespołu Asemblerowego całkowicie potwierdziły ta opinie. testy zespołu Asemblerowego jasno pokazały że wszystkie porównania wyliczane w Basemblerze, także i te które dotyczyły programów Casemblerowych, Daemblerowych i następnych – były błędne! Lider zespołu Asemblerowego napisał nawet na marginesie: „ten margines jest zbyt krótki by wypisać wszystkie bugi jakie znaleźliśmy w Baseblmerze!” Arbiter Arythmeticsen znało zjawisko flame wars i nie był im obcy fakt że opinie wyrażane w takiej atmosferze bywają przejaskrawione.

    Rozpoczęto więc kolejny etap integracji wyników. Tym razem zajęto się Basemblerem. Zespół Basemblerowy przyjął jako aksjomat – czyli oczywistą prawdę – że Basembler pozwala na bezbłędne wyliczanie wartości N, o ile ktoś postępuje zgodnie ze składnią języka oczywiście. Zbudowani takim założeniem bardzo dokładnie przetestowali programy w Casemblerze, Dasemblerze i następnych językach. Wyniki nie napawały optymizmem. ‚Kim sa ci co tworzą te wszystkie „języki atrapy” zamiast używać sprawdzonych – jak Basembler – narzędzi” napisał Lider Zespołu Basemblera na marginesie raportu, który stwierdzał że każde porównanie jakiego dokonywali programiści języków wyższego rzędu było nieprawdziwe.

    Specjaliści Arythmeticsen Polska sp. z o.o. sprawdzili także kolejne raporty. Każdy stwierdzał to samo co poprzednie – zakładając poprawność konstrukcji języka programowania jakiego używali, specjaliści nie zostawiali suchej nitki na wszystkich językach wyższego poziomu stworzonych na jego bazie.

    Pomóż sporządzić konsultantom Arbiter Arythmeticsen Polska sp. z o.o końcowy raport.

    Drogi czytelniku który dotarłeś az do tego miejsca. Oto treść którą chciałbym abyś zapamiętał: istnieje możliwość że koncepcja prawdy ( zdefiniowanej jako predykat, według metody Tarskiego) ma sens wyłącznie lokalnie, to znaczy nie prowadzi do sprzeczności wyłącznie dla skończonego ciągu teorii, metateorii, metametateorii, … . chciałbym byś rozważył a może zapamiętał w tym zdaniu słowo lokalnie.