Zaba+w+blocie1.jpg

 

    Jedzie, jedzie sobie samochód, kierowany sztuczną inteligencją AI. Jedzie sobie, jedzie i w swojej sztucznej duszy pogwizduje, bo pogoda piękna, droga sucha, każdy kierowca lubi muzykę podczas jazdy. W środku siedzi sobie tata z synami, jadą na ryby albo na wycieczkę w góry. Tymczasem chodnikiem idzie mamusia z małym dzieciątkiem.

    Nagle trrrach! Pęka opona! Albo nie, AI się zamyślił. O czym? O elektrycznej owcy się zamyślił AI i go to pochłonęło. Albo nie. AI w środku miał drobny bug. Albo nie, nie miało buga, sytuacja na drodze po prostu była tak wyjątkowa, że AI nie umiała właściwie w tej jednej sytuacji, w tej jednej na miliard, zareagować jak należy. I mamy poślizg. AI gorączkowo sensorami omiata otoczenie, jeszcze 3 milisekundy i albo tata z synami nigdy już nie dojada na ryby albo mamusia z dzieciątkiem zostanie wgnieciona w ścinane. Co robić?

    To co powyżej opisałem, to tak zwany trolley problem, zagadnienie abstrakcyjne z dziedziny etyki, które gwałtownie kilka lat temu uzyskało wpierw z powodów publicystycznych a obecnie z coraz bardziej praktycznych, pewną uwagę. Co prawda sam problem może nie jest bardzo praktyczny – zanim samochód kierowany AI wpadnie w poślizg, musi dojść do całej masy zdarzeń, których wykluczaniem zajmą się inżynierowie w pierwszym rządzie: a więc samochód taki nie będzie łamał przepisów, będzie miał zawsze właściwy bieg wchodząc w zakręt, będzie miał optymalną mieszankę i moc chwilową silnika, będzie zawsze miał dostosowaną prędkość do warunków jazdy, włączone światła, sprawne migacze i tysiąc innych okoliczności będzie w stanie optymalnym zanim dojdzie raz na miliard razy, do zbiegu okoliczności który umożliwi powstanie poślizgu i potencjalnie wypadku drogowego. Inżynierowie w pierwszej kolejności rozwiążą te problemy techniczne związane z optymalnym sposobem kierowania autem, a problemy etyczne z rodzaju nierozwiązywalnych dylematów typu trolley problems będą rzadkimi przypadkami. Jednak…
     W historyjce powyżej końcu AI wybrał którąś z obu złych, alternatyw. Ktoś zginął. Kto?

    Producenci samochodów nie mają tu żadnego wyboru. Już dziś, kiedy samochody AI są dosyć egzotycznym mimo wszystko wynalazkiem, nowinką techniczną, już dziś ich wybór jest określony. Samochód taki będzie zawsze i bezwzględnie chronił pasażerów a nie pieszych czy innych uczestników ruchu drogowego. Nikt i nigdy nie dokona innego wyboru, bo to pasażerowie a nie pieszy sa klientami firm produkujących auta. Nawet bez AI można by sobie wyobrazić całkiem zwykły samochód, Fiat 126P wyposażony w radar z przodu, który, kiedy stwierdzi że przed maską znajduje się człowiek, kieruje samochód 90 stopni w bok, bez względu nam to co tam jest – ściana, słup, czy inne auto. Nikt jednak nigdy takiego rozwiązania nie wprowadził, bo jak to? Kierowca mógłby doznać urazów, a nawet zginąć w takim wypadku, kosztem pieszego? Kto kupiłby taki samochód? Nawet obowiązkowych alkomatów nie udało sie wprowadzić, a Korwin-Mikke symbolicznie spalił się oblewając się benzyną (i to kilka razy!) w proteście przeciwko używaniu pasów podczas jazdy. Tak samo jest w wypadku samochodów kierowanych przez AI. Producenci aut, tak naprawdę nie mają tu żadnego wyboru, tym bardziej że tego typu auta, przynajmniej na początku, będą raczej luksusem, będą dedykowane na rynek premium, rynek bogatych ludzi.

    Co Ci ludzie kupią w pakiecie? Supernowoczesny design, piękny kolor maski, luksusowe wyposażenie i superkomputer pod maska, ale także AI wraz z zapewnieniem że będzie ich ona chronić, oraz odpowiednią licencję zabraniająca deasemblacji kodu AI oraz modyfikowania w sposób nieautoryzowany jej działania. Zupełnie jak właściciel ( są tacy co tak o sobie myślą! )  Windows ;-)
     Czy kierowca może odpowiadać za to że samochód AI go chronił? To nie jest jego decyzja! Jeśli zatem zginęła mama z dzieciątkiem a tata z synami przeżyli wypadek z początku wpisu, to nie sa niczemu winni. „Hola!” – krzyknie tu jednak prokurator Ziober – „mamusia z dzieciątkiem była znajomą mojego sąsiada! ABW – dawać mi tu AI na warsztat.” a na boku dodaje – „Dajcie mi AI a paragraf sam znajdę!” I tu zaczyna sie bardzo zabawna sprawa. Kierowca nie może odpowiadać za poczynania AI zainstalowanej w aucie, bowiem on jest tylko kompletnie nieświadomym użytkownikiem właściwie już nie rzeczy – samochodu, a usługi, usługi wożenia go autem przez oprogramowanie zgodnie z postanowieniami licencji producenta. Czy zatem winny jest producent? Kto to wie? Prokurator Ziobro już, już pochyla sie nad maską samochodu, AI w środku aż zwija się w sobie, uruchamiając garbage collector by zwolnić choć kilka megabajtów. W lewej ręce Ziobra błyszczy klucz dynamometryczny w prawej olejarka – czy będzie wymuszał zeznania za pomocą polewania lodowatym olejem po filtrach ściskanych kluczem? Wtem rozlega się gromkie „Stop!” – do akcji wkracza prawnik koncernu samochodowego: „Ziobrze – nie wolno Ci gmerać pod maską, zaś straszenie AI jest działaniem szkodliwym dla interesów Korporacji” tu prawnik doda – „partia sama przecież popierała CETA, SRETA, PYTA i CIPA – a wszystkie te umowy sygnowane przez rząd USA (USA!) chronią własność intelektualna i każą Ci zdać się na analizy eksperckie do których prawo, z uwagi na tajemnice kodu oprogramowania, ma tylko producent urządzenia i osobisty ojciec AI” – po czym kładąc rękę na masce oszalałej ze strachu AI czule doda szeptem – „ććć, ććć już dobrze moja maleńka, dziadek adwokat jest przy tobie!
      Jak to zatem będzie? Bo mamuśka przeżyła ale dzieciątko ginęło i co teraz? Czy AI ma być skazana na przepięcie na krześle elektrycznym? Kpiny. Pozostaje odszkodowanie. Mamuśce zapłacimy – za dziecko – w zależności od 4.3 $ do kilku milionów dolarów w zależności od przebiegu śledztwa, kraju i warunków ugody prawnej.
     Dokonajmy częściowego podsumowania: kierowca nie odpowiada za błąd AI, błąd trzeba dowieść, AI nie da sie ukarać prawnie np. karą śmierci czy więzienia, czyli jedynym, potencjalnym skutkiem kiedy już ktoś zdoła wygrać z koncernem w sądzie, będzie odszkodowanie czy ugoda prawna. Należy zatem sądzić ze kwoty te będą częścią pakietu który będzie wliczany w koszt auta, lub będzie częścią procedury homologacyjnej i będzie musiał być rezerwowany przez koncerny samochodowe na wypadek ponoszenia odpowiedzialności. Potencjalnej. W której od teoretycznej odpowiedzialności, poprzez sztuczki prawne do wypłat może być daleka droga. I w której kluczowym elementem będą zespoły eksperckie analizujące poprawność kodu, który nie będzie dostępny publicznie. Słabo to wygląda…
     Jeśli zatem dziś kupuje się samochód i jego wyposażenie, w przyszłości będzie się kupowało samochód, jego wyposażenie i ubezpieczenie powodujące de facto zwolnienie z odpowiedzialności prawnej za szkody wyrządzone z użyciem usługi związanej z kierowcą AI. I będzie to coraz powszechniejsza sytuacja, tak jak coraz powszechniejsze będzie użycie AI w życiu codziennym – w pociągach, samochodach, samolotach, w komputerach, w medycynie, w obsłudze masowej. Kto widzi w tym początek idylli niech może dla próby zechce skontaktować się z serwisem Google jak ma problem ;-) Większe szanse będzie miał jak będzie pisał na Berdyczów…

    No i teraz jakiś mądrala powie: „Ale, ale! Przecież AI jest lepsza niż ludzie w tych zadaniach w których udaje się już ja zastosować. Myli się mniej. I nawet jeśli na początku będzie mylić się w 1% przypadków, to w dłuższej perspektywie…” Czy w ubiegłych stuleciach ktoś nie narzekał: parowóz będzie jechał nawet gdy na drodze stanie człowiek, podczas gdy wóz konny, stanie, bo koń nie rozjedzie człowieka nawet jak woźnica pijany… Po pierwsze zwrot „w dłuższej perspektywie”: rozwiązania wprowadza się już dziś, a nie w dłuższej perspektywie. Nalezy o tym pamiętać. Wolałbym by ta perspektywa poprawy działania to było kilka godzin a nie kilka lat. Ale co chyba ważniejsze wołałbym by producent AI ponosił odpowiedzialność, tak jak obecnie producent auta ponosi odpowiedzialność za błędy techniczno/projektowe w jego układzie hamulcowym. Na rynku oprogramowania bynajmniej nie jest to standard! To właściwie nieznane rozwiązanie prawne! A prognozy sa pesymistyczne w tym zakresie – analizy stwierdzają że w przyszłości większość firm będzie zorganizowanych jak firmy produkujące oprogramowanie. I tak będzie tez wyglądała w coraz większym zakresie praca ludzka – będzie tak czy inaczej coraz bardziej podobna do pracy programisty. Czy rozwiązania prawne tez będą coraz bardziej podobne? To wizja prawdziwej dystopii…
     Niedawno okazało się, że to co bierzemy za cud techniki ma całkiem wyraźne ograniczenia, zaś zdumiewająco proste i zdawałoby się niewinne zmiany, potrafią obecnej AI i to tej spod znaku najlepszych, całkowicie popsuć działanie. Na drodze będzie to wyglądać jakby raz na milion godzin jazdy AI popełniała błąd. I nie jest to błąd wynikający z przypadku, a z samej istoty ograniczeń w jej działaniu. Świat jest po prostu zbyt złożony by objąć go istniejącą technologią w pełni. Człowiek także się myli. I ponosi za to odpowiedzialność. Czy producenci będą te informację ujawniać, poprawiać działanie systemów i płacić? Czy też postąpią jak Volgsvagen w sprawie emisji spalin?

    Czy to jest wpis o głupocie AI? O tym że AI to ZŁO? Czy jestem AI Luddystą? Broń boże. Ten wpis jest o tym, że ludzie podejmując swoje decyzje – że nie będzie kasjera tylko AI, że nie będzie kierowcy tylko AI, że nie będzie ochroniarza tylko karabin maszynowy sterowany przez AI, będą w coraz większym stopniu brać pod uwagę nie tylko fakt że AI pracuje 24 na dobę bez praw pracowniczych, szybciej, taniej i często efektywniej. Będą brali pod uwagę, także i to że jej błędy nie będą w prosty i oczywisty sposób prowadzić do bezpośredniej odpowiedzialności karnej czy być może finansowej, osoby korzystającej z działania AI.
     Jakże wygodnym mechanizmem jest zrzucanie winy za wszelkie machloje na „wolny rynek tak chciał”. Za chwilę będziemy słyszeć: „AI popełniła błąd, ale ludzie także je czynią, nic nowego” Tyle że ludzie ponoszą odpowiedzialność, a AI – słusznie – nie. Producenci AI robią wszystko by i im się upiekło. Stąd wróże w tej dystopii czasy kiedy wszystko działa lepiej, prościej, bezpieczniej i piękniej, w 99% wypadków a w pozostałym 1% – nic nie można z tym zrobić, a ten komu urwało rękę, cóż, ma pecha. 1% w czasach supermasowej i kompletnie homogenicznej obsługi to nie jest mało…

W odwiedziny

Ach cóż się Pani stało?
Zaplątała się Pani w krzak róży dzikiej
Prawda jakiś przeciąg

Pozwoli Pani że pomogę,
idę w tym samym kierunku.
Tak, do mnie też wnuki przyjdą,
pewnie przyniosą kwiaty.

Proszę podać rękę,
Słońce już wschodzi, musimy się spieszyć
Jaki tłum dzisiaj idzie, nic nie widać
Słońce nas prześwietli, olśni

Proszę Pani proszę tędy
Ja jeszcze pamiętam drogę,
zmarłem w zeszłym roku.
Tam na wzgórzu, za lasem cmentarz

Jaki tłum dzisiaj, wszyscy idą,
żeby tylko wiatr nas nie rozwiał
zanim dojdziemy do swoich grobów..

Żywiec, 1.11.2012

Solinka-chmury-pasek

ISIS zaatakowało we Francji, dokonując aktów terroryzmu. Nie przekonują mnie stwierdzenia że celem ich działań było sianie postrachu wśród ludności Francji, zemsta za udział wojskowy francuzów w działaniach na bliskim wschodzie, czy że były to działania mające zniszczyć w Europie to co nam najdroższe: wolność podróżowania, wielokulturowość, otwarte społeczeństwo. To tylko frazeologia. Nie rozumiem co osiągnęło lub chciało osiągnąć ISIS.

Logika takich działań jest całkowicie inna i zawsze ma cele polityczne. Nie znam przypadku działań państwa, która nie posiadałaby dalekosiężnych celów politycznych. Czasami działania takie mają na celu jakiegoś rodzaju cele wewnętrzne organizacji – wskazanie zewnętrznego wroga, zwykle rozstrzygnięcie w walce o władzę – nadal jednak ich realizacja dotyczy długofalowej polityki. ISIS nie jest tu ani odrobinę inny, ba, z racji iż kierują nim byli żołnierze Saddama, zaś ich ambicją jest utworzenie państwa – a więc utrzymywanie infrastruktury, administracji, oraz przede wszystkim zwycięstwo militarne w obecnej wojnie którą prowadzą, ich cele są dalekosiężne i rzec należy – ambitne. Antagonizacja Europy tak by mocniej zaangażowała się w konflikt bliskowschodni byłoby z ich strony szalenie krótkowzroczne, zwłaszcza że te działania mogą prowadzić do zacieśnienia sojuszu Zachodu z Rosją ( o ile nie doprowadzą do zaangażowania całego NATO, kiedy to zostanie osiągnięty cel całkowicie przeciwny, to znaczy osłabienie pozycji Rosji i Asada w regionie) .

W wypadku działań Osamy Bin Ladena mieliśmy do czynienia z małą międzynarodową grupą zbrojną ( Al Kaidą) atakującą mocarstwo w imię filozofii, że Ameryka sprzymierzona z Izraelem to szatan. Działania takie miały racjonalne uzasadnienie – walka grupy terrorystycznej niezwiązanej z żadnym konkretnym państwem, nastawiona jest na rozgłos i wzrost siły oddziaływania.

W wypadku ataków na Charlie Hebdo – mieliśmy do czynienia z zemstą za obrazoburcze publikacje. Tego typu działania przeprowadzane są zwykle, i tak było tym razem, przez izolowana grupę fanatycznych aktywistów.

ISIS to nie jest niewielka grupa aktywistów. ISIS to militarny twór mający ambicję stworzenia własnego państwa i prowadzący skuteczne działania militarne wobec dwóch supermocarstw globalnych i kilku lokalnym przeciwnikom o całkiem niemałym potencjale wojskowym.

Wszystkie wyjaśnienia jakie znalazłem w internecie odwołują się do braku racjonalności spowodowanej rzekomym fanatyzmem religijnym czy nienawiścią do zachodu. To może być motywacja żołnierza. Nigdy dowódcy lub sponsora takich działań. Nie kupuję tego.

Kiedy wyszli z magazynu, Maksym zapytał z najwyższym szacunkiem, na jaki go było stać (stary Pandi lubił, kiedy mu się okazywało szacunek):
— Panie Pandi, dlaczego te wyrodki mają takie bóle i to w dodatku wszyscy razem? Jak to jest?
— Ze strachu – odpowiedział Pandi, tajemniczo ściszając głos. – Wyrodki, rozumiesz? Musisz więcej czytać, Mak. Jest taka broszura. Nazywa się „Co to są wyrodki i skąd się wzięły?” Przeczytaj, bo ciągle będziesz taki ciemny… Na samej odwadze daleko nie ujedziesz… – Milczał przez chwilę. – My się na przykład zdenerwujemy albo powiedzmy zestrachamy i nic, najwyżej się spocimy albo nogi nam zmiękną. A oni mają organizm nienormalny, wyrodzony. Zezłoszczą się na ten przykład na kogoś albo, przypuśćmy, stchórzą, albo w ogóle i od razu silne bóle głowy i całego ciała. Do nieprzytomności, rozumiesz? Po tym ich rozpoznajemy i oczywiście zatrzymujemy…
[…]
— No dobrze – powiedział Mak odwracając się ku niemu. – Przecież nie mówimy teraz o brygadierze. Rozmawiamy o wyrodkach. Weźmy na przykład ciebie… Umrzesz za swoją sprawę, jeśli zajdzie potrzeba?
— Umrę —powiedział Gaj. – Ty też umrzesz.
— Racja! Umrzemy. Ale zginiemy za sprawę, nie za komiśniak przecież i nie za pieniądze. Dajcie mi nawet tysiąc milionów waszych papierków, to i tak nie zgodzę się dla nich narażać na niebezpieczeństwo, na śmierć!… Czyżbyś ty się zgodził?
Oczywiście, że nie – odpowiedział Gaj. – Ten dziwak Mak zawsze coś takiego wymyśli…
— No więc?
— Co?
— Jak to co?! – powiedział Maksym niecierpliwie. – Ty nie zgodzisz się umierać za pieniądze. A wyrodki się zgadzają? Co za brednie!…
— Ale to są wyrodki! – powiedział Gaj z przekonaniem. – Dlatego przecież są wyrodkami! Dla nich pieniądze są najważniejsze, dla nich nie ma nic świętego. Potrafią bez zmrużenia oka dziecko udusić, zdarzały się takie wypadki… Zrozum, że jeżeli człowiek stara się zniszczyć system OPB, to nie może być człowiekiem! To wyrafinowany morderca!
— Nie wiem, nie wiem – powiedział Maksym. – Dziś ich sądzono. Gdyby zdradzili kamratów, mogli zachować życie, wykpiliby się katorgą. A oni milczeli! To znaczy, że kamraci są dla nich ważniejsi niż pieniądze? Drożsi niż życie?
— To nie jest takie proste – zaproponował Gaj. – Oni wszyscy w myśl prawa zostają skazani na śmierć. Bez sądu, widziałeś przecież, jak się to odbywa.
Patrzył na Maka i widział, że przyjaciel się waha, jest zdezorientowany. Dobre ma serce, zielony jeszcze, nie rozumie, że z wrogiem trzeba postępować okrutnie. Rąbnąć by pięścią w stół, krzyknąć, żeby się zamknął, nie gadał niepotrzebnie, nie plótł, co ślina na język przyniesie, żeby słuchał starszych, zanim się sam we wszystkim nie nauczy rozeznawać. Ale przecież Mak to nie jakiś tępy ciemniak. Trzeba mu tylko porządnie wytłumaczyć, a sam zrozumie.
— Nie! – powiedział uparcie Mak. – Nie można nienawidzić za pieniądze. A oni nienawidzą… Tak nas nienawidzą, że nie wiedziałem, iż ludzie potrafią tak nienawidzić. Ty ich mniej nienawidzisz niż oni ciebie. Dlatego chciałbym wiedzieć za co?

Powyższy cytat pochodzi z „Przenicowanego świata” Borysa i Arkadija Strugackich. Samą nieracjonalną nienawiścią przeciwników, możemy wzbudzić w sobie animusz wojenny, ale nie wytłumaczymy wojny i nie doprowadzimy do zakończenia przemocy. I nie interesują mnie prostackie odpowiedzi.

ModusPoens

W poprzednim wpisie przedstawiłem dosyć oczywisty fakt dotyczący zasady indukcji na grafie o jednej składowej spójnej. W obecnym, przejdziemy do nieco innej tematyki, wszakże wpis poprzedni nie był całkiem oderwany od dzisiejszego tematu. Mam nadzieję posługiwać się nim w przyszłości, był wiec to rodzaj przygotowania artyleryjskiego przed bitwą. Amunicji użyliśmy niewiele, a kaliber nie był zbyt wielki. Zobaczymy co dalej.

Na początek kilka słów o motywacji. W poprzednich kilku wpisach drapałem po wierzchu temat reprezentacji dowodów matematycznych jako grafu i próbowałem zdefiniować dla takich struktur grupy homologii tak by cechy dowodu ( konkretnie sprzeczność) miały jakieś homologiczne odzwierciedlenie. Niestety analizując temat dokładniej, dochodzę do wniosku ( o czym napiszę w kolejnych wpisach) że homologia nie wypali. Jest tak dlatego, ze struktura „triangulacji dowodów” jak ją nazwałem – nie jest struktura simplicjalną. Znalazłem błąd w swoim rozumowaniu, są kontrprzykłady, i trzeba stwierdzić, że tego typu podejście wygląda na skazane na daleko idące kłopoty ( co nie znaczy że homologia i logika nie dadzą się pożenić. Jestem przekonany że istnieje tu głęboki związek, np. przekonuje mnie do tego koincydencja faktu że istnieje tylko jeden rodzaj nieorientowalności rozmaitości i jeden rodzaj sprzeczności logicznej. )

Czas więc na kolejne podejście, bo sam pomysł „triangulacji dowodu” wydaje się nadal żywotny, kopie i kto wie, może coś sie z tego urodzi.

Zamierzamy pracować z dowodem matematycznym. Poniżej przedstawię ścisłą definicję tego co będę rozumiał pod tym pojęciem. Będzie ona oczywiście całkowicie klasyczna, zostanie jednak wypowiedziana w pewnej specyficznej terminologii. Aby ją wprowadzić musimy określić pewien obraz czym jest zbiór wyrażeń których ozywamy podczas dowodzenia twierdzenia matematycznego. Po pierwsze dowody powstają w ramach sformalizowanego rozumowania. Każdy dowód powstaje w ramach określonej teorii ta zaś posiada zwykle aksjomaty, operuje pewnego rodzaju obiektami pierwotnymi ( „rzeczy” o których mówi teoria, a których cechy definiują aksjomaty) oraz intensywnie czerpie z logiki określonego rodzaju ( np. logiki pierwszego rzędu FOL). Aksjomaty są relacjami które nakładamy na obiekty będące przedmiotem naszego rozumowania dowodowego, i zwykle w dowodzie nie używamy ich wszystkich, a tylko pewien podzbiór. Sytuacja ta ma prozaiczny powód – większość użytecznych teorii matematycznych posiada nieskończenie wiele aksjomatów. Jako przykład może posłużyć aksjomat indukcji, a używając prawidłowej terminologii: schemat aksjomatów indukcji. Jest to wyrażenie ( lub zdanie, wszakże w zapisie stosowanym zwykle, jest to zdanie wypowiedziane w logice wyższego rzędu niż FOL) które stwierdza, że „dla każdego zdania {T(n)} dotyczącego liczby naturalnej {n}, jeśli prawdziwe jest zdanie {T(0)} oraz {T(n) \Rightarrow T(n+1)} to prawdziwe jest {T(n)}„. Proszę zwrócić uwagę, ze schemat ów – rozwija sie na nieskończenie wiele aksjomatów, po jednym dla każdego zdania T o ile posiada ono cechy wymienione w owym schemacie aksjomatu. Oznacza to, że teoria korzystająca z owego schematu aksjomatów, w istocie posiada przeliczalną ilość aksjomatów. Rzecz jest znana i omówiona w każdym podręczniku podstaw matematyki.

W jaki sposób z schematu aksjomatów dostajemy konkretny aksjomat? Jakie jeszcze mogą lub są schematy aksjomatów?

Sprawa zwykle nie jest szczególnie drążona, wszakże stosowanie schematów aksjomatów jest powszechne. Dlaczego? W języku FOL nie jesteśmy w stanie wypowiedzieć treści kwantyfikowanej po zdaniach. Teoria matematyczna posługująca się językiem logiki pierwszego rzędu zawiera wyłącznie kwantyfikacje po obiektach, to jest po „rzeczach”. Np. w ramach teorii mnogości wypowiadamy zdania o zbiorach i elementach, ale nie o „twierdzeniach na temat zbiorów”. Tymczasem użycie tak prostej reguły jak

\displaystyle \phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi )

wymaga byśmy za {\phi} i {\psi} mogli podstawić dowolne zdania. Zwykle zapisuje się ów schemat aksjomatów systemu Hilberta, za pomocą zmiennych {\phi} i {\psi}, rozumiejąc przez to, że mamy do czynienia z nieskończenie wieloma aksjomatami, a {\phi} i {\psi} reprezentują każde możliwe zdanie. Stąd zapis takiego schematu zawiera zwykle kwantyfikator ogólny „dla każdego zdania {\phi} teorii T” {\phi \Rightarrow(\psi \Rightarrow \phi )} i można by wyobrażać sobie że mamy tu w istocie nieskończoną listę aksjomatów, po jednym dla każdego możliwego podstawienia zmiennych. W realnym rozumowaniu istnieje potrzeba użycia stosownej reguły dedukcji, pozwalającej zrealizować owo podstawienie, zasygnalizować je czytelnikowi dowodu. Zwykle ma ono postać zapisu „{\phi = q}” gdzie {q} jest juz zdaniem teorii, dotyczącym „rzeczy” i zapisanym w języku FOL.Jednak wyrażenie „{\phi=q}” nie jest prawidłowym wyrażeniem języka FOL. jest sztuczką syntaktyczną, zapisem mnemotechnicznym, odwołaniem sie do „indeksu w bazie danych aksjomatów” umyślnie oznaczonej „{\phi \Rightarrow(\psi \Rightarrow \phi )}” po to by z owej listy, wyfiltrować stosowny aksjomat dotyczący zdania „{q}„. Regułą taka, opisująca „podstawienie, oznaczmy ją chwilowo {P}, mogłaby mieć postać

\displaystyle P("\phi=q", "\phi\Rightarrow\phi") = " q \Rightarrow(\psi \Rightarrow q )"

Odczytalibyśmy ją jako „w schemacie „{\phi \Rightarrow(\psi \Rightarrow \phi )}” podstaw za {\phi} zdanie „{q}„. Zauważmy że sam symbol równości „{=}” użyty w nawiasach, nie oznacza że owo {\phi} staje się równe „{q}” na stałe a tylko mamy na myśli pewną konkretną realizację, selekcję, ze zbioru opisanego schematem aksjomatów. W terminologii informatycznej powiedzielibyśmy że zasięg leksykalny owego znaku „=” ograniczony jest wyłącznie do zapisu powyżej. Co więcej. wynik takiej operacji podstawienia nie jest zdaniem, a zaledwie kolejnym schematem który może zawierać, i zawiera w naszym przykładzie inne zmienne! Dopiero sekwencja podstawień eliminująca ze schematu wszystkie występujące w nim zmienne, daje w wyniku określone jednoznacznie przez użyte podstawienia, zdanie używanego w ramach teorii języka. Oczywiście jest wiele symbolik opisujących powyższą operację podstawienia. Wydaje mi sie jednak że zaproponowana jest w miarę wygodna i przejrzysta. Co więcej – wyrażenie „{\phi = q}” – choć nie jest zdaniem teorii ( a nawet nie jest zdaniem), będzie wprost występowało na liście wyrażeń używanych w dowodzie, podobnie jak schematy aksjomatów. Ale o tym poniżej.

Kolejnym obiektem który jest używany w procesie dowodowym sa tautologie. Przywołuje sie je czasami wprost – stwierdzając, że pewne zdanie jest prawdziwe niezależnie od prawdziwości występujących w nim zdań, a czasami jako schemat aksjomatów, z zmienną, jak opisano powyżej ( bo też i tautologie są nieprzebranym zbiorem „potencjalnych aksjomatów” zaś ich użycie w taki czy inny sposób jest zwykle kwestią estetyki i optymalizacji środków dowodowych). Ponieważ u podstaw prawdziwości tautologii leży sama logika, a w jej ramach najprostsza metoda sprawdzania prawdziwości – tabela wartościowania prawdy i fałszu, stwierdza sie zwykle że tautologie logiczne są konsekwencją zbioru pustego. Czyli że ich prawdziwość nie wymaga czynienia żadnych specyficznych założeń. Można by rzec, że posiadamy pewną regułę dedukcyjną T, od słowa tautologia, która pozwala nam wprowadzić do dowodu dowolne wyrażenie będące tautologią, a to poprzez wskazanie, ze jest owo wyrażenie konsekwencją zbioru pustego. Zapis wyglądałby następująco:

\displaystyle T(\emptyset ,t) \Rightarrow t

gdzie {\emptyset} to zbiór pusty zaś {t} to tautologia.

Widzimy że w takim zapisie, ze zbioru tautologii wybraliśmy zdanie {t}. Zapis ten jest w pewnym sensie patologiczny, gdyż reguła dedukcyjna dotycząca tautologii {T}, zawiera po obu stronach wyrażenia to samo zdanie {t}. Dlatego zapis ten, choć formalnie prawdziwy i zgodny z resztą terminologii ( o czym poniżej) nie będzie używany dalej zaś osiągniemy to kosztem dodania do naszego zapisu wszystkich tautologii jako dodatkowego, wyróżnionego zbioru tautologii o tym samym statusie co schematy aksjomatów. Nie musi być to od razu zbiór wszystkich tautologii używanej logiki. Wystarczy by zbiór ten zawierał te tautologie które są użyte w dowodzie który będziemy analizować.

Rozważyliśmy zatem trzy zbiory – zbiór aksjomatów A, zbiór tautologii T, oraz zbiór „indeksów”, wyrażeń postaci „{\phi=q}” oraz symbol {\emptyset}, które będę dalej nazywał zbiorem filtrów. Tutaj drobny komentarz, sygnalizujący rzecz nad którą sie zastanawiam, jednak nie umiem jej rozstrzygnąć. Zgodnie z teorią mnogości, zbiór pusty jest częścią każdego zbioru, tym samym należy też do zbiorów {T} i {A}. Być może rozsądniej byłoby rozważyć specjalny symbol na określenie tego rodzaju elementu którego konsekwencją sa tautologie, ale który sam nie jest konsekwencją żadnego rozumowania. Warto dodatkowo pamiętać, że w sensie ogólnym konsekwencją sprzecznego zbioru zdań ( np. teorii o sprzecznych aksjomatach) jest dowolne zdanie, a więc zbiór pełny zdań, a nie zbiór pusty.

Zacznijmy od formalnego przedstawienia opisanego powyżej budulca.

Mamy dany:

 

  • zbiór schematów aksjomatów {A},
  • zbiór tautologii {T},
  • zbiór filtrów {F}, który zawiera wyrażenia postaci „zmienna = zdanie”, oraz zbiór pusty {\emptyset}
  • zbiór L poprawnych syntaktycznie wyrażeń teorii

 

Definicja Zbioru Selektorów: Zbiór selektorów {S} to zbiór zawierający aksjomaty, tautologie i filtry.

Zbiór {Z = A \cup T} nazwiemy zbiorem zdań pierwotnych teorii. Element należący do zbioru selektorów {S} nazwiemy selektorem.

Chcielibyśmy nad zbiorem selektorów i zdań logiki bazowej zbudować mechanizmy umożliwiające rozumowanie dedukcyjne. Należy w tym celu zdefiniować reguły dedukcji, które w niezawodny sposób prowadzą od aksjomatów do poprawnych syntaktycznie wniosków. Pojawia się tu jednak pewien problem. Reguła dedukcji {R}, to funkcja, o 2 argumentach, która odwzorowuje zbiór selektorów {S} i zbiór zdań pierwotnych {Z} teorii, w zbiór poprawnych wyrażeń pewnego rodzaju. Nie są to jednak zdania, a jak widzieliśmy wyżej, schematy zdań, lub listy zdań, w zależności od przyjętego podejścia. Mamy zatem następującą definicję:

Reguły dedukcji: Regułą dedukcji jest to funkcja 2 argumentowa taka że, jeśli {x \in L}, {y \in S} to istnieje takie ( jednoznacznie wyznaczone) {z \in L} że

\displaystyle R(x,y) = z

Wyrażenie {x} nazywamy przesłanką, wyrażenie {y} nazwiemy selektorem, wyrażenie {z} to wniosek.

Ponieważ „nowe” zdania w teorii powstają wyłącznie w wyniku realizacji pewnej reguły dedukcji, a w powyższym wyrażeniu symbol „{=}” oznacza zwykłą równość, możemy każde wystąpienie zdania z zastąpić równoważnym wyrażeniem {R(x,y)}. Tym samym pojecie „zbiór zdań logiki bazowej” staje się czysto mnemotechnicznym wybiegiem, zaś każde zdanie teorii to po prostu odpowiednio zagnieżdżony ciąg reguł dedukcyjnych operujących na selektorach ( w pierwszym argumencie) oraz aksjomatach i tautologiach ( w drugim). Tym samym możemy stwierdzić, że zbiór zdań {L} jest zbyt duży dla naszych rozważań, zaś w tym co nastąpi będziemy rozważali wyłącznie wyniki iteracji reguł dedukcji na zbiorze {A \cup T}.

Zamiarem moim jest zbudowanie graficznej reprezentacji takich struktur, co ma też i taką zaletę, że choć wypowiadam wszystkie zdania poniżej w języku aksjomatów, dowodów itp. te same narzędzia powinny nadać sie do analiz systemów matematycznych gdzie zachodzi iteracja funkcji 2 argumentowych.

Podkreślmy w tym miejscu, że istotne cechy reguł dedukcyjnych:

 

  • reguły dedukcyjne są operacjami czysto syntaktycznymi
  • reguła dedukcyjna jest funkcją.
  • Zachodzą relacje jednoznaczności:
  • ( {R(a,b) =c} i {R(a,d) = c ) \Rightarrow b=d}
  • ( {R(a,b) =c} i {R(d,b) = c ) \Rightarrow a=d}
  • ( {R(a,b) =c} i {R(a,b) = d ) \Rightarrow c =d}
  • wynik działania reguły dedukcyjnej jest prawidłowym zdaniem języka L. Wolę jednak określić tą cechę w innych sposób. Zachodzi cecha przeniesienia typu zmiennej. Reguła dedukcyjna „przy użyciu selektora” przenosi typ z przesłanki na wniosek. Własność ta jest spełniona dla wszelkich reguł postaci modus ponens ( modus tollens itp.), zachodzi też dla wielu reguł rachunku sekwentów.

 

Uwaga – ostatnia cecha to pewnego rodzaju nadużycie. Niestety ściśle rzecz biorąc nie jest spełniona dla reguł polegających na podstawianiu czy też „filtrowaniu” jak wolałbym ten proces nazwać. W takim bowiem przypadku jako pierwszy argument występuje schemat aksjomatów, czyli lista zdań, zaś na etapie wyeliminowania wszystkich zmiennych, ostatni selektor wybiera z niej jedno zdanie, które zostaje zwrócone jako wniosek. Nie jest wykluczone, że jest to ślad czegoś ważniejszego, np. że reguły dedukcyjne powinny być odwzorowaniami zwracającymi nie tyle zdania, co całe listy zdań, zaś teoria powinna posiadać kanoniczne odwzorowanie pomiędzy jednoelementową listą zawierającą zdanie bez zmiennych a zbiorem zdań ( czyli pomiędzy jednoelementową listą i jej elementem) . Definicja taka dodałaby do teorii miłej symetrii, i miałaby sens, bowiem w wypadku podstawiania za jedną zmienną w schemacie w którym występuje ich kilka, wynik podstawienia nadal jest schematem a nie zdaniem.

W ogólności w teorii może występować więcej niż jedna reguła dedukcji, co będziemy sygnalizować przez ich ponumerowanie. Tym samym będziemy mówili o k-tej regule dedukcji {R_k}. Typowym przykładem może być tu system Hilberta gdzie mamy dwie reguły dedukcji: modus ponens i regułę podstawiania za zmienną. Istnieją systemy rachunków zdań gdzie reguł jest więcej ( lub mniej). W dalszych rozważaniach modus ponens ( zapisywana jako „mp”) i reguła podstawiania będą traktowane przeze mnie jako modelowy przykład takich reguł.

Zdefiniujmy co mamy na myśli operując pojeciem dowodu:

Definicja Dowodu: Dowód P twierdzenia t, to ciąg zdań {a_1,a_2 \cdots a_N =t}, o tej własności że dla każdego zdania {a_i} zachodzi jeden z elementów alternatywy:

  • {a_i \in A}, {a_i} jest schematem aksjomatu
  • {a_i \in T}, {a_i} jest tautologią,
  • {a_i \in F}, {a_i} jest elementem zbioru filtrów
  • ogólniej moglibyśmy napisać że {a_i \in S} – jest selektorem lub
  • istnieje liczba {p} oraz {j,k<i} takie że {a_i = R_p(a_j,a_k)} gdzie {R_p} to {p}-ta reguła dedukcji.
  • {a_N = t} nie jest filtrem.

wyrażenie t jest zdaniem ( bo nie jest filtrem) i nazywamy je tezą dowodu.

W ramach takiej definicji w dowodzie zostają zapisane jawnie wszystkie wyrażenia użyte w krokach dowodowych ( a nie tylko te które są zdaniami). Przez długość N dowodu P, rozumiemy ilość selektorów, czyli po prostu wyrażeń, które sie na niego składają.

Z powyższej definicji wynika, że dla każdego dowodu P, mamy ciąg wyrażeń będący jego reprezentacją. Każdemu wyrażeniu {a_i} w dowodzie P przyporządkujmy liczbę naturalną { \#(P,a_i)} – numer miejsca na którym wyrażenie to występuje w dowodzie P. Każdy dowód to skończony ciąg wyrażeń, więc { \#(P,a_i)} jest dobrze zdefiniowane i przybiera wartości od 1 ( dla pierwszego wyrażenia dowodu) aż po { \#(P,t) =N} gdzie {t} to teza dowodu zaś {N} to jego długość.

Dla wygody, kiedy dowód jest ustalony, opuścimy symbol P w powyższym zapisie, czyli będziemy używać wyrażeń postaci { \#(a_i) = n}. Jeśli zdanie q nie występuje w dowodzie, napiszemy \#(q) = 0 . Czasami pewnie opuścimy nawiasy pisząc sam symbol \#a_i =n

W dalszym ciągu będę używał słowa „zdania” w znaczeniu – schematy aksjomatów, tautologie lub zdania właściwe logiki bazowej teorii. Tym samym nie będziemy pedantycznie analizować zagadnień sygnalizowanych w pt. 4 cech reguł dedukcji. Proszę pamiętać jednak że zdanie może oznaczać zarówno poprawne twierdzenie teorii jak i cały schemat zdań ( a więc wyrażenie zawierające zmienne).

Dowód składa się z wyrażeń, ale nowe zdania pojawiają sie w dowodzie wyłącznie jako wynik działania reguł dedukcyjnych. Jeśli w wyniku działania {R_k(q_i,q_j) = q_s} to wykonaniu reguły dedukcyjnej {R_k} przypiszemy taki sam numer jak zdaniu {q_s}. Mamy zatem {\#(P, R_k(q_i,q_j)=q_s) = \#(P,q_s)} i definicja numeru miejsca w dowodzie {\#} zostaje rozszerzona na realizacje ( wystąpienia) reguł dedukcyjnych. O ile w wypadku wyrażeń numeracja jest ciągła, od 1 do N o tyle numeracja wystąpień reguł dedukcyjnych może zawierać luki. Prawdziwe jest jednak poniższe, oczywiste stwierdzenie:

Stwierdzenie: dla danego dowodu P, numeracja użycia reguł dedukcyjnych jest cięgiem ściśle monotonicznym.

Jest to wniosek z faktu, że numeracja zdań w dowodzie jest ściśle monotoniczna, zaś reguły dedukcyjne otrzymują te same numery co zdania, z pominięciem wyrażeń ze zbioru filtrów oraz bezpośredniego użycia aksjomatów i tautologii.

Wydaje sie że wyposażeni w takie narzędzia możemy wypisać podstawowe pojecie jakim będziemy sie zajmować w dalszym ciągu wpisów:

Definicja Triangulacji dowodu:

Triangulacja dowodu P to odwzorowanie {\mathcal{F}} dowodu P w graf skierowany G. Każde wystąpienie reguły dedukcyjnej {R(p,q)=s} jest odwzorowane na trójkąt skierowany {(pqs) = (pq) \cup (qs) \cup (ps)}

W odwzorowaniu tym każdemu zdaniu dowodu {a_i} przypisany jest wierzchołek grafu G. Różnym zdaniom przypisujemy rożne wierzchołki, tym samym zdaniom przypisujemy te same wierzchołki.

Będziemy zajmowali sie własnościami grafów które sa obrazami dowodów w odwzorowaniu {\mathcal{F}}. W następnym wpisie podam przykłady triangulacji, oraz zastanowimy się na jakie sposoby łączą się trójkąty w owej triangulacji.

 

MathTextOntology-pasek

Rozważmy abstrakcyjny graf G. Nieformalnie abstrakcyjny graf matematyczny to obiekt złożony ze zbioru wierzchołków oraz zbioru krawędzi łączących wierzchołki. Wierzchołki połączone wspólną krawędzią nazwiemy sąsiadującymi.

W zastosowaniach zwykle wierzchołki posiadają jakieś konkretne cechy ( i zwykle mają etykietki ), zaś fakt łączenia wierzchołków krawędzią, zwykle ma jakąś interpretację. W ramach rozlicznych interpretacji, możemy mówić o posiadaniu przez wierzchołek określonej własności X. X będziemy tu traktowali jako predykat o dziedzinie w zbiorze wierzchołków, a wartościach w zbiorze {T,F} reprezentującym prawdę i fałsz. Tym samym jeśli wybierzemy pewien wierzchołek v grafu G, to możemy zapytać jaka jest wartość X(v), oraz powiemy że v ma własność X jeśli X(v) = T lub krócej będziemy pisać że X(v).

Przy takiej dosyć prostej terminologii, możemy sformułować w miarę oczywistą zasadę indukcji na grafie.

    Zasada indukcji na grafie.

Dany jest graf nieskierowany G, z jedna składową spójną. Załóżmy że zachodzą następujące własności:

  1. dla każdego wierzchołka v grafu G z tego że X(v) wynika, że X zachodzi dla każdego wierzchołka sąsiadującego z v.
  2. dla pewnego wierzchołka a zachodzi własność X

    Teza: X jest prawdziwe dla wszystkich wierzchołków grafu G.

Dowód ( niewprost):

Załóżmy że spełnione jest założenie (2), to znaczy istnieje wierzchołek a dla którego zachodzi X, oraz spełniona jest zasada (1), że z faktu że X zachodzi dla pewnego wierzchołka wynika ze zachodzi dla wszystkich połączonych z nim wierzchołków.  Mimo to twierdzimy że twierdzenie nie jest prawdziwe, to znaczy że  istnieje pewien wierzchołek d dla którego X nie jest prawdziwe.

Załóżmy że istnieje pewien wierzchołek s sąsiadujący z d dla którego X(s). Wówczas z (1) wynika że d ma cechę X podczas gdy w poprzednik kroku założyliśmy że d nie posiada cechy X. Sprzeczność. Wynika z tego że żaden wierzchołek sąsiadujący z d nie może posiadać cechy X.

Wierzchołki sąsiadujące z nimi także itp, itd.

Oznaczmy przez U zbiór wierzchołków które nie posiadają cechy X. Zbiór U jest niepusty bo zawiera co najmniej wierzchołek d, a także  wierzchołki sąsiadujące z d, wierzchołki sąsiadujące z tymi wierzchołkami itd. Innymi słowy zbiór U to składowa spójna grafu zawierająca d.

Jednak z założenia graf jest grafem spójnym, posiada więc jedna składową spójna.

W takim razie A należy do U.

Ale dla A zachodzi X.
Sprzeczność.
Co prawda zasada wydaje się w miarę oczywista, ale nie znalazłem jej w google ;-)

Po drugie, oczywista to ona pewnie jest dla grafów skończonych, ale z dowodu wydaje się wynikać, ze dla nieskończonych także, co więcej, prosty dowód nie narzuca jakichś ograniczeń na moce zbiorów wierzchołków…

krasiczyn.jpg

    „Symbolicznym aktem ponownego połączenia dwóch zwasnionych brzegów Sano było przerzucenie nad jego nurtem sześciu linowych kładek. Stalo się to pomiędzy Sanokiem a Przetnyślem w latach 60. i 70. XX w. Na tym odcinku rzeki, prócz mostów w obu tych miastach, był jeszcze tylko jeden — w Iskani. Symbolika ta była o tyle mocniejsza, że nie dokonały tego władze, a sami mieszkańcy nadsańskich wsi z pomocą inżyniera Kazimierza Gałajdy pochodzącego z Siedlisk kolo Dynowa. Jako chłopiec chodził do szkoły w Nozdrzcu za Sanem. Gdy na rzece nie było lodu dzieci przewożono łódką — o ile nie było powodzi. Jednak przez 5-6 miesięcy San jest zamarznięty lub plynie po nim kra, albo jest wiosenna powódź i przeprawa łodzią jest niemożliwa. Oczywiście chodzono po lodzie, ale to było niebezpieczne i rokrocznie dochodziło do utonięć. Pomiędzy Sanokiem a Przemyślem nad Sanem leży ponad 50 wsi i niemal wszystkie miały ten sam problem jeśli nie leżały blisko jednego z trzech mostów w tym rejonie.
    Kazimierz Gałajda ukończył Akademię Górniczo-Hutniczą w Krakowie i trafił do pracy w Zakładzie Budowy Kopalń Miedzi w Lubiniu. Dość szybko zajął jedno z kierowniczych stanowisk. Pamiętał o niedoli swoich ziomków, szczególne że odwiedzał rodzinne Siedliska. Postanowił zbudować nad Sanem kładkę linową. Materiał będzie pochodził z kopalnianego złomu, prace ziemne wykonają mieszkańcy wsi, a prace przy konstrukcji kładki młodzi górnicy podczas urlopów nad Sanem. Wieś karmiła górników, organizowała im noclegi a oni pracowali za darmo. I tak powstała pierwsza kładka wsi Wara, leżącej po sąsiedzku z Siedliskami i Nozdrzcem. Mieszkańcy nadsańskich wsi dowiedziawszy się o inicjatywie inżyniera Gałajdy prosili o następne kładki, deklarując pomoc w ich powstaniu. Lokalne władze były zadowolone bo nie musiały finansować tych przedsięwzięć.  Inżynier Gałajda uległ namowom i w kolejnych latach powstały kładki w Mrzygłodzie, Dobrej Szlacheckiej, Witryłowie, Słonnem, Ruskiej Wsi (zwanej obecnie Wybrzeże). Były one przeznaczone wyłącznie do ruchu pieszego i ich konstrukcja składała się lin przewieszonych przez podpory znajdujące siç na brzegach. W efekcie czego miała formę luźno zwisającej wstęgi, której część środkowa znajdowała się najniżej nurtu rzeki. Wszystkie one miały powyżej sto metrów długości, a kładka w Witryłowie nawet 220. Były i są wielką atrakcją turystyczną, bo nie tylko łączą brzegi Sanu umożliwiając wędrówkę raz jednym raz drugim brzegiem, ale dają radość oglądania przepięknej doliny Sanu znad nurtu tej rzeki. Nie wspomnę już o dreszczyku emocji, jaki daje przejście po bujającej się kładce o szerokości półtora metra i świadomość, że pod trzeszczącymi deskami, po których stąpamy jest tylko powietrze i nurt Sanu.
    Kładki budowane później dzięki pomocy inż. Kazimierza Gałajdy, w latach 80, XX w. były bardziej zaawansowane technologicznie. Wymagały także wkładu finansowego miejscowych władz. Tak zbudowano kładki pieszo-jezdne w Bachowie, Krasicach i Krasiczynie. Ich pomost o szerokości około pięciu metrów został usztywniony za pomocą wieszaków i lin nośnych, przerzuconych przez podpory. Pieszym turystom nie dają już takiej frajdy jak bujające się kładki wstęgowe, ale umożliwiają przejazd samochodów co jest ważne dla mieszkańców. Kładka, a właściwie już most w Krasiczynie powstał w 1986 r. i byl ostatnim dziełem inżyniera Gałajdy na Pogórzu Przemyskim. Dzięki jego inicjatywie kładki na Sanie stały się charakterystycznym elementem tego regionu i sporą atrakcją turystczną, Z czasem kładki w Mrzygłodzie i Dobrej Szlacheckiej zastąpiono mostami, a w Witryłowie zbudowano zupełnie nową kładkę podwieszoną na linach nośnych. Oddano ją do użytku latem 2011 r.”

Stanisław Kryciński

„Bieszczady. Tam gdzie diabły, hucuły, Ukraińce”

Wydawnictwo Libra PL, www.libra.pl, Rzeszów 2014

    Wpis jest adresowany do ludzi młodych, wychowanych na odkłamanej historii przywracającej wreszcie proporcje dotyczące Prawdy, Honoru i Męstwa. Pokazuje on jak PRL wykorzystywał naiwna ludność wiejską, by kosztem darmowej ich pracy, realizować swoje cele propagandowe, lub wręcz wyręczać się od wykonywania obowiązków jakie piastowanie władzy nakłada na rządzących. Wierchuszce PZPR mogło się wydawać że władza to niekończące sie darmowe obiadki z owoców morza i drogie wina jako aperitify. Nawet kelnerzy, zwykle jadący na jednym wózku z obsługiwanymi elitami komunistycznej władzy, mieli tego dosyć. Jeśli komuna upadła to przede wszystkim dlatego, ze w dziadostwie jakie tolerowała, a czasami nawet wymuszała, nie było miejsca na systemowe rozwiązanie najprostszych problemów ludzi, jak brak sznurka do snopowiązałek czy budowa nowej szkoły.

    Wpis ma charakter incydentalny, bowiem jest reakcją na działanie naszych władz które całkowicie zerwały z tą niechlubną praktyką przeszłości, jaką były czyny społeczne, i przywrócił normalny kierunek stanu rzeczy – mianowicie że 2+2 =4 zać osoba która nie posiadając stosownej koncesji starałaby sie skonstruować haczyki do wędki zamiast kupować oryginalne, chronione prawem autorskim, podlega karze grzywny lub więzienia do lat trzech.

Mieszkańcy wsi Kije (Lubuskie) własnymi rękami i z własnej inicjatywy wyremontowali niewielki most, bez którego byliby odcięci od świata. Problem logistyczny mają z głowy, ale zamiast niego pojawił się problem z prawem. Zarząd dróg twierdzi, że to samowola budowlana. Sprawą już zajmuje się prokuratura.

„Sami zbudowali most, odpowiedzą za samowolę? Prokurator: uwzględnimy wartość czynu społecznego”

za: tvn24.pl

jak-dzieci.jpg
Wielkanoc Klimka

Wielkanoc trwa w najlepszą noc.
A ja zasnę. Dobranoc!
Koc zasuwam
Wesołych Świat życzę Wam!

Wstaję i pędem do stolika gnam
jej wstałem sam!
Biorę trąbkę na niej gram
Ram ta tam!
Wszyscy się budzą!
Czemu na trąbce gram?
Zdradzę Wam:
Bo to przecież Wielkanoc!

Biorę koszyk w ręce
Pakuję baranka, flagę
Ubrać zajączka pomogę
A jeszcze bułeczka,
kromeczka,
a do środka szyneczka
i jajo, nie to Jaja
Jedną namalowałem ja
i hop do kościoła!

Bez redakcji.
Autor: Klimek Kurz, lat 9

krasiczyn.jpg

Niedawno z Programu 2 Polskiego Radia z Rozmów o Sztuce od pani Bożeny Fabiani dowiedziałem się że *archimimus* – to sobowtór zmarłego, wynajmowany na pogrzeb w trakcie tzw. pompa funebris w Rzeczpospolitej szlacheckiej. Niektórzy archimimusi byli niebywale podobni do zmarłych, starano sie oczywiście by podobieństwo było jak największe. Jego rolą było uczestnictwo w pogrzebie tak by przybyli uczestnicy mieli wrażenie namacalnej obecności zmarłego, zaś kulminacją tych działań mógł być wjazd konny takiej osoby do kościoła i spektakularny upadek z konia przed trumną.

Generalnie pogrzeby szlachty i bogatszego mieszczaństwa w barokowej Polsce, celebrowano w niezwykle huczny sposób. Sama ceremonia, podczas której rodzina zjeżdżała sie z całej Rzeczpospolitej by nawiedzić zmarłego, trwała z powodu dużych odległości, nieraz kilka miesięcy a uczestniczyło w nich nieraz kilka tysięcy osób. Bogato zdobiono zmarłego, trumnę, budowano zdobny katafalk, urządzano przedstawienie pogrzebowe podczas którego łamana o o trumnę broń ( co było zwykle źródłem okaleczeń i wypadków). Kolorami żałoby były czarny i czerwony, i tak przyozdabiano trumnę, wóz na którym ją wieziono w trakcie pogrzebu, katafalk, a nawet konie.

Na szczególną uwagę zasługuje konterfekt – portret trumienny będący swoistym elementem kultury sarmackiej, szczególnie rozwiniętym i powszechnym na terenach  Rzeczpospolitej.  Pierwszym takim portretem był kontrefekt Stefana Batorego , niewielkich rozmiarów, być może namalowany przez Marcina Kobera. W kolejnych latach pomysł chwycił, i portret trumienny zrobił w dawnej Polsce niezwykłą karierę. Początkowo niewielkich rozmiarów ( ten na obrazku ma tylko 10 cm średnicy) rozrósł sie do 70 cm i kształtów odpowiadających przekrojowi trumny. Znacząco wzrosła także jego powszechność. Z początku będący zwyczajem magnackim, przekształcił sie w ogólnoszlachecki a pod koniec XVIII wieku portrety takie masowo fundowali sobie wszyscy bogatsi ludzie, w tym mieszczaństwo i protestanci. Masowość szła w parze z całkowitą anonimowością twórców. Jak to już pisałem na blogu, w Polsce ważniejszą postacią jest twórca wychodka niż artysta malujący portrety, bo faktura dla cieśli opiewa na więcej pieniędzy i dotyczy pracy zespołu ludzi, zaś artysta, zwłaszcza użytkowy pracował zwykle sam i nikt raczej nie poważał jego pracy.

Na portrecie trumiennym nieboszczyka zwykle przedstawiono w portrecie en face 3/4 z oczami utkwionymi w widza. Postać zmarłego ukazywano w pysznym, paradnym, strojnym ubraniu.  Na ogół był to strój w którym chowano zmarłego, pełen ozdób, bogato wykończony, z futrem itp. Zwyczaje pogrzebowe były pod tym względem tak niezwykłe, że jeden z odwiedzających kraj francuzów zanotował, że bardziej przypominają one święcenie triumfu czy zwycięstwa w bitwie, niż złożenie do grobu.  Co niezwykłe, choć inne elementy pogrzebu, jak przedstawienia czy mowy, pełne były przesady i zmierzały w kierunku gigantycznego pochlebstwa w stosunku do nieboszczyka, portret zmarłego zwykle był realistyczny. Powszechne są realistyczne przedstawienia osób brzydkich, portrety o sporych walorach psychologicznych ( jak choćby ten na obrazku), przedstawiające nieboszczyka bez upiększeń.

Niektóre osoby nie życzyły sobie hucznego pogrzebu, a przykład matka Jana Sobieskiego, zawarła taką klauzulę w testamencie. Aby uczynić za dość woli zmarłej, dokonano zatem 2 pogrzebów. Pierwszy odbył sie w sposób _nader skromny_ to znaczy uczestniczyło w nim 200-300 osób, zaś ceremonię pogrzebową celebrowało około 30 szeregowych księży. Po takim wykonaniu testamentu, dokonano bardziej oficjalnego pochówku z udziałem kilku biskupów, paradnym konduktem, biciem w dzwony, muzyką i kilkoma tysiącami gości….

hierarchiaKanonicznej

Na marginesie moich rozważań na temat homologii budowanych na przestrzeniach zdań logicznych, opisze poniżej pewien ogólny pomysł dotyczący postaci kanonicznych obiektów. Postać kanoniczna obiektu matematycznego to pojecie natury właściwie estetyczno -praktycznej i mam wrażenie że jego istnienie zostało nieco przeoczone przez główny nurt matematyki, co nie znaczy że jest niedocenione. Po prostu nie spotkałem sie z jakąś systemową jego analiza, może poza jednym przypadkiem jego książki Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger „A=B”. Książka choć zdecydowanie dotyczy kombinatoryki to jednak w kilku zdaniach dyskutuje zagadnienie formy kanonicznej wyrażenia. W szczególności autorzy piszą „A canonical form is a clear-cut way of describing every object in the class, in a one-to-one way. So in order to find out whether object A equals object B, all we have to do is find their canonical forms, c(A) and c(B), and check whether or not c(A) equals c(B).” Widać wyraźnie że autorzy książki doceniają znaczenie postaci kanonicznej – w ich ujęciu jest to fundamentalna postać syntaktyczna pozwalająca na rozstrzyganie o równości czy równoważności obiektów. Z drugiej strony postacie kanoniczne nie wydają się ( poza aspektem praktycznym) być systemowo analizowane na gruncie matematyki w aspekcie syntaktycznym. Oczywiście szeroko opisywane i głęboko badane sa ich własności wewnętrzne, ilość parametrów związana z bardzo ważnym pojęciem przestrzeni moduli i inne tego typu, matematyczne własności. Zarazem własności czysto syntaktyczne, związane z przekształceniami „napisów” nie są o ile wiem, systemowe analizowane. Właściwie wydaje sie to być rzeczą trywialną, analizować taki aspekt sprawy, ale z jednej strony moje zainteresowania odnoszą sie bardziej do systemów logicznych, a w nich syntaktyka ma wiele do powiedzenia. Z drugiej zaś strony, z wykształcenia jestem fizykiem, zaś obszar moich zainteresowań obejmował kiedyś technikę grupy renormalizacji. Można bez przesady stwierdzić, ze pewne formy grupy renormalziacji to w istocie systemowe badanie symetrii wyrażeń algebraicznych pod wpływem odwzorowania iteracji – o czym kiedyś chciałem napisać, i kto wie, może jeszcze napiszę… Tym samym zagadnienie jest osadzone całkiem konkretnie.

Zdefiniujmy aktorów:

Mamy zbiór obiektów {A = \{ a_1,a_2, \cdots \}} Standardowe odwzorowanie D ze zbioru A w grupę przemienną G polega na rozpatrywaniu formalnych obiektów

\displaystyle S = \Sigma_i g_i a_i

które można oczywiście sumować, wypadku grupy addytywnej:

\displaystyle g_1 a_1 + g_2a_1 = (g_1+g_2)a_1

Stosowne przekształcenie może być także zdefiniowane dla grupy przemiennej multiplikatywnej:

\displaystyle P = \Pi_i g_i a_i

i można je mnożyć:

\displaystyle (g_1 a_1) (g_2 a_1) = (g_1 g_2) a_1

I oczywiście pojawia się problem czy można mnożyć elementy {a_1} i {a_2} tak by nadać sens wyrażeniom {a_1 a_2} – czasami jest to możliwe, przykład poniżej.

Jeśli istnieje zbiór {B = \{ b_1,b_2, \cdots \}} oraz rodzina odwzorowań {f: A \mapsto B} o stosownych własnościach ( łączność, element neutralny, generalnie odwzorowania muszą być monoidem) to możemy mówić o kategorii zbiorów „A” i wszystkich konsekwencjach wynikających z faktu że zbiory A,B… tworzą wraz z odwzorowaniami kategorię. Poniżej mówimy o przypadkach w których B jest podzbiorem zbioru A i prosiłbym czytelnika o takie właśnie nastrojenie umysłu ;-).

Jeśli odwzorowanie D „jest zgodne” z całą maszynerią kategorii, to przeprowadza elementy zbioru A i zbioru {B=f(A)} w elementy grupy G, zachowując „funkcyjność” czyli stosowne diagramy kategorii są zgodne. Tym samym D staje sie funktorem z kategorii zbiorów A,B… w kategorię grup.

O ile czegoś nie pokićkałem to standardowy obrazek ( a jak pokićkałem, łatwo to naprawić…) a przynajmniej taki był mój zamiar ( niczego nowego tu nie opisałem).

Lepiej się myśli na przykładach, więc załóżmy teraz że zbiory A czy B to coś w rodzaju rodziny wielomianów, albo zdań logiki, reprezentowanych w rozmaitym zapisie, zaś odwzorowania f pomiędzy nimi to jakiegoś rodzaju przekształcenia tych obiektów ( dodawanie wielomianów, mnożenie, łączenie zdań logiki za pomocą operatorów negacji, alternatywy, koniunkcji itp.). Przekształcenia sa rozmaite, a wśród nich istnieje arcyciekawa rodzina przekształceń: przekształcenia do postaci kanonicznej.

Postać kanoniczna to specyficzna forma „syntaktyczna” obiektów, określona przez jakiegoś rodzaju wymóg „wygody”, „jednoznaczności”, „urody” – pojecie w zasadzie tyle estetyczne co praktyczne. Ma ona jednak tą cechę, że:

  • postać kanoniczna jest pojęciem syntaktycznym ( chodzi o formę graficzną, powiedzmy przedstawienie {(x - x_0)(x - x_2)...(x - x_k)} w wypadku wielomianów).
  • każdy obraz obiektu ze zbioru A pod wpływem przekształcenia do postaci kanonicznej – nadal jest obiektem zbioru A ( czyli postać kanoniczna wielomianu, lub zdania logicznego, nadal jest wielomianem lub zdaniem logicznym). Tym samy jest to rodzina przekształceń z zbioru A do A.
  • przekształcenie kanoniczne {K:A \mapsto A} ma własność, że jeśli wyróżnimy elementy w postaci kanonicznej jako zbiór C, to są oczywiście są podzbiorem elementów A. Teraz {K:A \mapsto C} jest suriekcją na C ( ale nie na A! ).
  • postać kanoniczna nie jest pojęciem syntaktycznie jednoznacznym, i choć w praktyce jest zwykle jasne z jaką postacią kanoniczną mamy do czynienia, to dany zbiór obiektów może mieć kilka „przedstawień kanonicznych” użytecznych w rożnych kontekstach.
  • jeśli mamy rozmaite formy kanoniczne dla obiektów z zbioru A, powiedzmy {C_1, C_2} ( z uwagi na rozmaite potrzeby, np. wielomian raz możemy prezentować w postaci iloczynowej {( x - x_0)(x - x_1)...(x - x_k)} a raz jako sumę {\Sigma x^k a_k}. Dla zdań logiki raz możemy je prezentować w postaci alternatywo-koniunkcyjnej a raz – jak w przykładzie poniżej z mojego bloga gdzie wprowadzałem grupę oczepioną homologii – interesowała nas forma kanoniczna zdania {a} lub { \neq a} z całkowitym pominięciem bardziej złożonej struktury wewnętrznej ) to istnieje odpowiedniość pomiędzy tak powstałymi zbiorami {C_1} i {C_2} ( gdyż reprezentują te same obiekty w rozmaitych postaciach normalnych. )
  • Nawet jeśli postać kanoniczna została określona, zwykle miewamy do czynienia z pewną dozą dowolności związaną z przedstawieniem z dokładnością do pewnego zbioru przekształceń, jak uporządkowanie zmiennych, permutacje itp.  ( na przykład w wypadku wielomianów w dziedzinie rzeczywistej, możemy wymagać by pierwiastki {x_0,...x_k} w wyrażeniu {(x - x_0)(x - x_2)...(x - x_k)} były uporządkowane w sposób rosnący. W wypadku liczb zespolonych wymóg taki nie występuje i mamy pewną dowolność/niejednoznaczność syntaktyczną. Proszę zwrócić uwagę że jest to cecha wewnętrzna przestrzeni nad którą budujemy wielomiany a nie jest to bynajmniej kwestia konwencji! )

Mamy zatem strukturę zbioru wraz z przekształceniami jego elementów do postaci kanonicznej i zapytamy: czy możliwe jest prawidłowe zdefiniowanie funktora D z kategorii takich obiektów do kategorii grup?

Wydaje sie oczywiście że jest to możliwe. Na przykład:

  • dla zdań logicznych postać kanoniczna to powiedzmy postać alternatywo-koniunkcyjna. Każdy jednoznacznie określony przez zdania {p_{i_{k}}} ciąg koniunkcyjny {a_i = p_{i_{1}} \land p_{i_{2}} \land p_{i_{3}} \land \cdots \land p_{i_{k}} } odwzorujemy pod wpływem funktora D w pewien obiekt {g_i a_i} zaś elementy alternatywy mapujemy jako „sumy”. Teraz każdemu zdaniu w postaci {a_1 \lor a_2} itp. ( gdzie {a_i} jest w postaci czysto koniunkcyjnej) przypiszemy element {g_1 a_1 + g_2 a_2}. Elementy odwrotne to oczywiście negacje. Jak widać odwzorowaliśmy postać alternatywo-koniunkcyjną zdania logicznego w grupę addytywną. Proszę zwrócić uwagę, że struktura wewnętrzna części koniunkcyjnej nie została określona. Nie założyliśmy np. żadnej formy uporządkowania zdań {p_{i_{k}}} ( i prawdę mówiąc dla ogólnego zbioru zdań logiki taki porządek właściwie nie istnieje, choć oczywiście można by postulować jakieś półśrodki, jak złożoność syntaktyczna mierzona np. głębokością drzewa syntaktycznego, albo ilością znaków albo na inne, nierównoważne zresztą, sposoby). Analizując ten przykład dalej widzimy że wynikowa grupa jest grupa przemienna generowana przez „grupy zdań” w postaci czysto koniunkcyjnej ( a więc {a_i = p_{i_{1}} \land p_{i_{2}} \land p_{i_{3}} \land \cdots \land p_{i_{k}} }). Gdybyśmy ograniczyli się do obiektów o maksymalnie N elementach, grupa ta będzie miała skończoną liczbę generatorów, przy czym każdy możliwy ciąg koniunkcyjny zdań będzie generatorem. W następnym kroku możemy „zejść głębiej” i narzucić w takiej przestrzeni kolejną postać kanoniczną wyższego rzędu, np. wprowadzając porządek w kolejności zdań w postaci koniunkcyjnej itp.
  • dla wielomianów ustalmy że postać kanoniczna to zaprezentowanie wielomianu jako iloczynu {(x - x_0)^{s_0} (x - x_1)^{s_1} ...(x - x_k)^{s_k} }. W zbiorze C wielomianów w postaci kanonicznej operacja iloczynu nie wyprowadza poza zbiór C ( a operacja sumy – syntaktycznie wyprowadza). Zatem wielomian w postaci kanonicznej {w_1} odwzorujemy w obiekt {g_1 w_1} wielomian {w_2} w wielomian {g_2 w_2} zaś wielomian {(g_1 g_2) w_1 w_2} nadal będzie w postaci kanonicznej. Właściwie nie mamy tu elementów odwrotnych – tym samym odwzorowanie wprowadza monoid a nie grupę. Rozpatrzmy ten przykład nieco szerzej. Ogólny wielomian zwykle przestawiany jest jako suma monomianów {\Sigma a_k x^k}. W naszym przypadku dokonamy oszustwa i będziemy rozważać wyrażenia w postaci iloczynowej, o krok bliższej pełnej formie kanonicznej, jak {(x-x_4) (x-x_0) (x-x_0) (x - x_1)(x-x_0)}. Zwróćmy uwagę że wyrażenia {(x-x_0) (x-x_0) (x-x_0) = (x-x_0)^2 (x-x_0) = (x-x_0) (x-x_0)^2} to trzy rożne zapisy tego samego wielomianu w postaci kanonicznej {(x-x_0)^3}. Widzimy tutaj że „ogólny wielomian w postaci iloczynowej ma znacznie więcej „swobody syntaktycznej” niż wyrażenie kanoniczne {(x-x_0)^3}. Właśnie o tego typu rozróżnieniach rozmawiamy.
  • rozważmy jeszcze raz przestrzeń wielomianów nad liczbami rzeczywistymi, tym razem o ustalonych ( i uporządkowanych!) pierwiastkach {x_0 \cdots x_k }. Wszystkie tego typu wielomiany mają kanoniczną postać {(x - x_0)^{s_0} (x - x_1)^{s_1} \cdots (x - x_k)^{s_k} }. Wielomian w takiej przestrzeni jest jednoznacznie zadany przez podanie stopni pierwiastków czyli przez ciąg liczb { s_0 , s_1 , s_2 , \cdots s_k }. Przekształcenie D mapuje wielomian {w} na obiekt {g w} przemiennej grupy multiplikatywnej. Mnożenie wielomianów w tym wypadku polega na dodawaniu stopni stosownych pierwiastków. Tym samym przestrzeń taka, wielomianów w postaci kanonicznej o ustalonych pierwiastkach rzeczywistych, jest równoważna k-wymiarowemu monoidowi {Z_{+}^{k}} liczb dodatnich z operacją dodawania. Wydaje sie możliwe uogólnienie tej konstrukcji by uwzględnić ujemne „krotności” pierwiastków i tym samym w miejsce monoidu wprowadzić grupę. A pełna przestrzeń wielomianów o ustalonych k pierwiastkach( oszukujemy jak poprzednio, wszystkie niech będą w postaci iloczynowej, oszukujmy dalej, pierwiastki są uporządkowane! )? Ponieważ wyrażenia {(x-x_0)^2 (x-x_0)} i {(x-x_0) (x-x_0)^2} uważamy tym razem za różne, ma ona znacznie bardziej złożoną strukturę!

Jak widać mamy zatem sytuację że D odwzorowuje obiekty zbioru A na elementy grupy (monoidu) G, a zarazem elementy podzbioru A – te elementy które sa w postaci kanonicznej – na elementy podgrupy G.

Mamy obraz całego zbioru A pod wpływem funktora D, oraz obraz całego zbioru A pod wpływem złożenia {D( K (A \mapsto C ) ) \mapsto Sub(G)} gdzie {Sub(G)} oznacza podgrupę G. Inaczej { img(DK) \subseteq img(D)} – elementy złożenia odwzorowań {DK} są podzbiorem elementów D – gdzie wszystkie odwzorowania działają na zbiorze A.

Jeśli mamy podgrupę to zachodzi pytanie: *Jak wygląda iloraz grupy G przez podgrupę związaną z elementami w postaci kanonicznej?*

\displaystyle H_x \stackrel{?}{=} img(D) / img(DK)

I tu mamy jakąś analogię z homologią….

W przykładzie ze zdaniami logicznymi powyżej wspomniałem o postaci kanonicznej zdefiniowanej głębiej, na kolejnym poziomie syntaktycznym. Analogia do grup homologii jest tu tym wyraźniej widoczna, bowiem mamy kolejne odwzorowanie, kolejne grupy ilorazowe itp. Właściwie być może należałoby całą konstrukcję oprzeć na pojęciu ogólnej postaci syntaktycznej, następnie zdefiniować drzewo syntaktyczne i na każdym jego szczeblu definiować stosowne odwzorowania i grupy ilorazowe. Zagadnienie zaczyna w ten sposób być bliższe tematom z jakimi mają do czynienia informatycy podczas konstrukcji parserów…

Z mojego wpisu na blogu wynika, że w pewnych przypadkach dla zbiorów zdań logiki grupa ilorazowa jest nietrywialna. Sytuacja taka miała miejsce dla pewnych szczególnych postaci odwzorowania D – badałem strukturę związaną z regułą modus ponens – co dla tego co tu opisano jest bez znaczenia, zaś postać kanoniczna którą rozważałem była *związana z negacją* czyli z formą zdania {a} lub {\neg a} . Przypadek taki oznacza że zbiór zdań jest ( syntaktycznie!) sprzeczny. W przypadku homologii odczepionej grupa ta może być trywialna ( w zbiorze zdań nie występują zdania {a} i {\neg a}, zbiór zdań jest niesprzeczny). Może ona jednak być także złożona z 2 elementów ( występuje zdanie {a} i {\neg a}, teoria jest syntaktycznie sprzeczna), albo z n elementów ( czego nie pokazałem ale przypuszczam że tak jest w wypadku zdań w paradoksie „koła kłamców” gdzie pierwszy z kłamców mówi: „następny kłamie!”, następny mówi to samo… i tak n – 1 osób, zaś ostatnia osoba mówi „następny mówi prawdę!” ). Widać więc że dla pewnych form kanonicznych i pewnych zbiorów – grupa ilorazowa może być nietrywialna, a zdarzenie to jest związane z ważną cechą zbioru A – w wypadku logiki była to sprzeczność ( syntaktyczna).

Jak to jest w wypadku innych zbiorów obiektów i innych postaci kanonicznych?

 PS. Przypomniałem sobie że jednak temat postaci kanonicznej, kanoniczności przekształcenia itp. padł w pewnym konkretnym kontekście. I szukając w głowie gdzie i kiedy to było przypomniałem sobie dawną batalię z zawodowymi matematykami jaką stoczyłem przy okazji pytania jakie zadałem na mathoverflow, Miało ono postać: Jakie pojęcia nie są ściśle zdefiniowane we współczesnej matematyce?”  Jak sie okazuje są profesjonalni ( i świetni!)  matematycy którzy nie są w stanie zrozumieć takiego pytania! Tak czy śmak, pytanie odniosło wielki sukces, udzielono na nie ( wbrew opinii grupy „nierozumiejących” ale trzymających władzę…) 29 odpowiedzi, a obejrzano je ponad 9 tysięcy razy! Jedna z odpowiedzi dotyczyła pojęcia kanoniczności. Nie jest wykluczone jednak że popełniam tu błąd ekwiwokacji

Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?

Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky, zdobędziemy władze nad światem!

woda.jpg

W poprzednim wpisie opisałem sposób wyliczania odczepionej grupy homologii dla prostego ( ale już nie trywialnego) przykładu dowodu sprzecznego. Przypomnijmy że dla grup kompleksów łańcuchowych tego obiektu geometrycznego tworzymy ciąg grup homologii {H_n} za pomocą schematu pomocniczego:

\displaystyle 0 \overset{\partial_3}{\longrightarrow} C_{2} \overset{\partial_2}{\longrightarrow} C_{1} \overset{\partial_1}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_0 = 0 }{\longrightarrow} 0

n-ta grupa homologii to grupa ilorazowa:

\displaystyle H_n = ker(\partial_n)/img(\partial_{n+1})

W przypadku grupy odczepionej {H_a} postąpiliśmy nieco inaczej. Zdefiniowałem mianowicie dodatkowe mapowanie {\partial_a} który przyporządkowywał wierzchołkom grafu obiekty geometryczne ( dla wierzchołka {a} taki obiekt geometryczny oznaczałem{|a|} ) wraz z informacja o ich wewnętrznej strukturze. W naszym przypadku, a stale mówimy o obiektach geometrycznych będących odwzorowaniem obiektów logicznych – ciagów dowodowych w systemie formalnym z regułą modus ponens -mapowanie {\partial_a} miało następującą własność:

\displaystyle \partial_a(\neg q) = - \partial_a(q)

gdzie {q} w poyższym wyrażeniu jest zdaniem logicznym. W następnym kroku definiowałem odszczepioną grupę homologii {H_a} jako:

\displaystyle H_n = ker(\partial_a)/img(\partial_{1})

Przyglądnijmy się bliżej mapowaniu {\partial_a}.

Obecny wpis zacznijmy może od tego że przypomnę miejsce odwzorowania {\partial_a} w diagramie grup kompleksów łańcuchowych:

HomologiaOdczepiona

Widzimy wyraźnie że zdefiniowałem nowy kompleks łańcuchowy {C_a} który jest dziedziną odwzorowania {\partial_a}. Zbiór ten jest obrazem grupy cykli krawędziowych {C_1} pod działaniem odwzorowania {\partial_1} Jego elementami nie są jednak wierzchołki, a obiekty posiadające wewnętrzną strukturę. Z jednej strony bowiem spełniają one zależności wynikające z faktu bycia brzegiem grupy cykli krawędziowych {C_1}, czyli w wypadku tych obiektów, ich struktura niesie dodatkową informację o fakcie że są one spięte w pętle simpleksów reprezentujących reguły modus ponens. I faktycznie, jak czytelnik może pamięta, pisałem że: { img (\partial_1) = <b-a,c-b,c-a> } oraz, że dodatkowo {x+y-z=0} gdzie {x,y,z} reprezentowały wierzchołki złożone w krawędzie simpleksu reprezentującego {MP(a,b)=c}. Innymi słowy działanie mapowania {\partial_1} jest identyczne jak w wypadku normalnej definicji grup homologii. Operator {\partial_a} działa na grupie cykli wierzchołków. Formalnie rzecz biorąc, grupa ta to {C_0} i na diagramie grupa taka znajduje sie w „ciągu głównym” grup łańcuchów. W naszym jednak przypadku mapowanie {\partial_a} działa na tym zbiorze wyciągając z niego dodatkową informację, stąd właściwym jest odróżnienie go od zwykłego zbioru {C_0} który zawiera przecież tylko wierzchołki. Co więcej, obrazem {\partial_a} w działaniu na zbiór {C_a} nie jest bynajmniej 0, pomimo iż tak właśnie narysowałem na diagramie powyżej. Czytelnik wybaczy to oszustwo, w istocie w miejscu 0 powinna znajdować sie grupa ( powiedzmy) {C_{0a}} która zawiera punkty geometryczne wierzchołków uzupełnione o informację o ich strukturze wewnętrznej. Nie jest to jednak grupa łańcuchowa równoważna {C_0} gdyż w obiekcie tym nie leży żaden obraz {\partial_1}. Jest tak, gdyż działanie operatora {\partial_a} skutecznie usuwa z tej struktury informacje o spięciu w krawędzie. Przyznam że spędziłem jakiś czas usiłując „włożyć” grupę {C_a} pomiędzy {C_1} i {C_0} ale nie widzę za bardzo takiej możliwości ( chyba ze kosztem znacznego skomplikowania). Prawdziwy diagram grup łańcuchowych powinien wiec wyglądać tak:

HomologiaOdczepionaPoprawnie

Przyglądnijmy sie teraz działaniu odwzorowania {\partial_a}. Odwzorowanie to przypisuje elementowi grupy łańcuchów 0-wymiarowych, element w grupie abelowej {C_0a}. W grupie tej różnym elementom {C_a} przypisywane są różne elementy, poza sytuacją kiedy elementy {C_a} związane sa relacją:

\displaystyle p = \neg q

dla pewnych zdań {p} i {q}. Widać wyraźnie ze tego typu odwzorowanie uwzględnia dodatkową informację o negacji zdań logicznych.

Być może czytelnikowi umknęła jeszcze jedna subtelność, którą chciałbym tu wyciągnąć na światło dzienne. Mianowicie w pierwszym dowodzie mieliśmy następująca sytuację: w grafie złożonym z zdań {a="a",b="a\rightarrow a",c="a"} zdania {a} i {c} zostały potraktowane jako różne. Właściwie to jest to błąd. Zdania te to w istocie jedno i to samo zdanie, którego obrazem w grupie {C_a} jest jeden element. Gdyby było inaczej, w grupie tej istniałby nietrywialny cykl (postaci {a-b} gdzie a i b byłyby dwoma obrazami tego samego zdania {q} ) i grupa homologiczna odczepiona dla dowodu niesprzecznego byłaby nietrywialna, czego wolelibyśmy uniknąć. Takie „sklejenie” zdań w obrazie {\partial_a} pozwala uniknąć nietrywialnych pętli występujących z powodu powtarzania sie zdań w dowodzie. Jednocześnie zdania zanegowane przekształcane są na rożne ( przeciwne!) elementy grupy {C_a} co pozwala nam nietrywialnie reprezentować sprzeczność dowodu.

Możemy podsumować. Odwzorowanie {\partial_a} działa w następujący sposób:

  • jego dziedziną jest zbiór  {C_a} wierzchołków grafu reprezentującego dowód
  • jego obrazem jest grupa przemienna {C_{0a}} łańcuchów 0-wymiarowych z uwzględnieniem struktury wewnętrznej zdań z poprzedniego punktu
  • na obecnym etapie uwzględniamy wyłącznie negację. Obrazami zdań {p} i {\neg p} są elementy wzajemnie odwrotne grupy {C_a} tak, że {\partial_{a} (p) + \partial_{a} (\neg p) =0}.
  • obrazami wierzchołków {p}  i {q = "p"}  w których mamy zdania syntaktycznie tożsamych jest ten sam element {|p|}  grupy  {C_a}

Grupa homologii jest {H_a} zdefiniowana jako grupa ilorazowa jądra przekształcenia {\partial_a} przez obraz {\partial_1} operatora brzegów jednowymiarowych na zbiorze krawędzi {C_1}. Właściwie to całe zagadnienie tym samym sprowadza sie do zdefiniowania {H_a} i do pojęcia grup homologii odnosi sie w zapewne dosyć odległy, a a na pewno nie jakiś szczególnie nietrywialny sposób. Z drugiej strony starałem sie złapań jakieś intuicje związane z pojęciem sprzeczności, i chyba całkiem nieźle sie to udało, biorąc pod uwagę, że w ramach przedstawionych rozważań jest w miarę oczywiste że skończone zbiory sprzeczne będą miały nietrywialne ( i skończone!) grupy {H_a} zaś zbiory niesprzeczne – grupy trywialne.

Dlaczego jest to interesujący fakt sam w sobie? Otóż od dłuższego czasu zastanawiało mnie, dlaczego sprzeczności logiczne, mają tak prostą postać syntaktyczną. Proszę porównać najprostszy ze znanych paradoksów w teorii zbiorów, paradoks Russella z aksjomatyką tej teorii ( na przykład w wersji naiwnej, albo ZFC). W każdym wypadku paradoks jest prostszy niż sama teoria! A paradoks kłamcy? Czy nie jest tak, że „każdy głupi go zrozumie”? A rozwiązanie? ło, doktoraty można robić… Tarski całą teorię modeli na tym zbudował. Mamy zatem paradoksy, a ich reprezentantami wydają się być niewielkie, a czasami nawet znaczeniowo, koncepcyjnie proste, zbiory zdań. Tymczasem okazuje sie że przy zastosowaniu odczepionej grupy topologii, sprzeczność ma odpowiednik w prostej postaci takiej grupy! Kontekst geometryczny nie jest tu całkiem od rzeczy. Widać że relatywnie proste rozumowanie ( dowód sprzeczny jaki podałem jako przykład odpowiada paradoksowi kłamcy) ma nietrywialna reprezentację geometryczną, w postaci simpleksu w którym grupa odczepiona jest nietrywialna. Dlaczego zatem paradoksy są tak proste? Chciałoby się odwrócić całe rozumowanie: „Bo struktury geometryczne proste są same w sobie”. Czy istnieją „skomplikowane paradoksu”? Oczywiście istnieją takie które wymagają wielu zdań by je zapisać, i zapewne odwzorują się w skomplikowaną strukturę geometryczną. Ale z tego co napisałem/zdefiniowałem wydaje się że nadal nie będziemy mieli w takich paradoksach niczego istotnie innego niż w tych prostych. Zapewne będą im odpowiadały bardziej złożone grupy odczepione, ale należy przypuszczać że nadal będą to sumy proste grup {Z_2}( po jednej grupie dla każdej pary zdań sprzecznych, lub wy wypadku paradoksów typu „koło kłamców” grupy cykliczne rozmiaru n, co będziemy zapewne analizować w jednym z przyszłych wpisów) a ta występuje już w bardzo prostym przypadku rozumowania sprzecznego. I to jest coś co wydaje mi się ciekawe…

A co dalej? Kolejne działania powinny polegać na analizie struktur coraz bardziej złożonych, a na koniec nieskończonych zbiorów zdań związanych relacją konsekwencji syntaktycznej modus ponens.I zapewne będę o tym jeszcze pisał.

Wymieńmy możliwe uogólnienia:

  • moglibyśmy analizować bardziej złożoną strukturę wewnętrzną zdań w wierzchołkach. W miejsce operatora {\partial_a} można by wprowadzić inny, który byłby czuły na występowanie alternatywy, koniunkcji lub jeszcze bardziej złożonych struktur. Pewne przekształcenia syntaktyczne mają całkiem ładną strukturę wewnętrzną, powiedzmy prawa de Morgana odznaczają sie sporą dozą (syntaktycznej) symetrii, co pozwalałoby odwzorowywać wierzchołki w grupy o niebanalnej strukturze. Marzy mi sie coś w rodzaju teorii Galois dla logiki, budowanej w języku algebry homologicznej…
  • można sobie wyobrazić cały ciąg grup odczepionych, który gubiłby informację o geometrii triangulacji dowodu ( właściwie nie jest ona jak na razie szczególnie ciekawa…) ale wyciągałby na światło dzienne, informacje o wewnętrznej strukturze zdań. Być może to jest najbardziej obiecujące uogólnienie/droga rozwoju tego pomysłu?
  • od strony teorii homologii, pomysł wydaje sie być dosyć oryginalny ( ale nie wiem czy interesujący). Operacje odczepienia można bowiem wykonać nie tylko dla wierzchołków! Możliwe jest przecież obdarzenie krawędzi simpleksów, ich elementów 2-wymiarowych i w ogólności n-wymiarowych, w jakąś dodatkową strukturę. Na każdym etapie n, można „coś odczepić” definiując odpowiednie operatory {\partial^n_a} analizujące strukturę symetrii takich obiektów w relacji do ich „umieszczenia” w całym kompleksie, która jest zadana przez klasyczny operator {\partial_n}. To czego nie widać ( i co nieco rozczarowuje) to fakt, iż nie bardzo mam pomysł jak powiązać ( i czy w ogóle istnieje takie powiązanie!) grupy odczepione na różnym poziomie n. A priori, w strukturze abstrakcyjnej można oczywiście budować tu jakieś abstrakcyjne obiekty, mnie wszakże interesowałoby podanie jakiegoś modelu takiego zjawiska. Modelu – czyli struktury która by niosła ciekawą informację w grupach odczepionych a jednocześnie pozwalała je definiować dla kilku poziomów struktur….

I to na tyle dziś.

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Dołącz do 254 obserwujących.

%d bloggers like this: