Solinka-chmury-pasek

ISIS zaatakowało we Francji, dokonując aktów terroryzmu. Nie przekonują mnie stwierdzenia że celem ich działań było sianie postrachu wśród ludności Francji, zemsta za udział wojskowy francuzów w działaniach na bliskim wschodzie, czy że były to działania mające zniszczyć w Europie to co nam najdroższe: wolność podróżowania, wielokulturowość, otwarte społeczeństwo. To tylko frazeologia. Nie rozumiem co osiągnęło lub chciało osiągnąć ISIS.

Logika takich działań jest całkowicie inna i zawsze ma cele polityczne. Nie znam przypadku działań państwa, która nie posiadałaby dalekosiężnych celów politycznych. Czasami działania takie mają na celu jakiegoś rodzaju cele wewnętrzne organizacji – wskazanie zewnętrznego wroga, zwykle rozstrzygnięcie w walce o władzę – nadal jednak ich realizacja dotyczy długofalowej polityki. ISIS nie jest tu ani odrobinę inny, ba, z racji iż kierują nim byli żołnierze Saddama, zaś ich ambicją jest utworzenie państwa – a więc utrzymywanie infrastruktury, administracji, oraz przede wszystkim zwycięstwo militarne w obecnej wojnie którą prowadzą, ich cele są dalekosiężne i rzec należy – ambitne. Antagonizacja Europy tak by mocniej zaangażowała się w konflikt bliskowschodni byłoby z ich strony szalenie krótkowzroczne, zwłaszcza że te działania mogą prowadzić do zacieśnienia sojuszu Zachodu z Rosją ( o ile nie doprowadzą do zaangażowania całego NATO, kiedy to zostanie osiągnięty cel całkowicie przeciwny, to znaczy osłabienie pozycji Rosji i Asada w regionie) .

W wypadku działań Osamy Bin Ladena mieliśmy do czynienia z małą międzynarodową grupą zbrojną ( Al Kaidą) atakującą mocarstwo w imię filozofii, że Ameryka sprzymierzona z Izraelem to szatan. Działania takie miały racjonalne uzasadnienie – walka grupy terrorystycznej niezwiązanej z żadnym konkretnym państwem, nastawiona jest na rozgłos i wzrost siły oddziaływania.

W wypadku ataków na Charlie Hebdo – mieliśmy do czynienia z zemstą za obrazoburcze publikacje. Tego typu działania przeprowadzane są zwykle, i tak było tym razem, przez izolowana grupę fanatycznych aktywistów.

ISIS to nie jest niewielka grupa aktywistów. ISIS to militarny twór mający ambicję stworzenia własnego państwa i prowadzący skuteczne działania militarne wobec dwóch supermocarstw globalnych i kilku lokalnym przeciwnikom o całkiem niemałym potencjale wojskowym.

Wszystkie wyjaśnienia jakie znalazłem w internecie odwołują się do braku racjonalności spowodowanej rzekomym fanatyzmem religijnym czy nienawiścią do zachodu. To może być motywacja żołnierza. Nigdy dowódcy lub sponsora takich działań. Nie kupuję tego.

Kiedy wyszli z magazynu, Maksym zapytał z najwyższym szacunkiem, na jaki go było stać (stary Pandi lubił, kiedy mu się okazywało szacunek):
— Panie Pandi, dlaczego te wyrodki mają takie bóle i to w dodatku wszyscy razem? Jak to jest?
— Ze strachu – odpowiedział Pandi, tajemniczo ściszając głos. – Wyrodki, rozumiesz? Musisz więcej czytać, Mak. Jest taka broszura. Nazywa się „Co to są wyrodki i skąd się wzięły?” Przeczytaj, bo ciągle będziesz taki ciemny… Na samej odwadze daleko nie ujedziesz… – Milczał przez chwilę. – My się na przykład zdenerwujemy albo powiedzmy zestrachamy i nic, najwyżej się spocimy albo nogi nam zmiękną. A oni mają organizm nienormalny, wyrodzony. Zezłoszczą się na ten przykład na kogoś albo, przypuśćmy, stchórzą, albo w ogóle i od razu silne bóle głowy i całego ciała. Do nieprzytomności, rozumiesz? Po tym ich rozpoznajemy i oczywiście zatrzymujemy…
[…]
— No dobrze – powiedział Mak odwracając się ku niemu. – Przecież nie mówimy teraz o brygadierze. Rozmawiamy o wyrodkach. Weźmy na przykład ciebie… Umrzesz za swoją sprawę, jeśli zajdzie potrzeba?
— Umrę —powiedział Gaj. – Ty też umrzesz.
— Racja! Umrzemy. Ale zginiemy za sprawę, nie za komiśniak przecież i nie za pieniądze. Dajcie mi nawet tysiąc milionów waszych papierków, to i tak nie zgodzę się dla nich narażać na niebezpieczeństwo, na śmierć!… Czyżbyś ty się zgodził?
Oczywiście, że nie – odpowiedział Gaj. – Ten dziwak Mak zawsze coś takiego wymyśli…
— No więc?
— Co?
— Jak to co?! – powiedział Maksym niecierpliwie. – Ty nie zgodzisz się umierać za pieniądze. A wyrodki się zgadzają? Co za brednie!…
— Ale to są wyrodki! – powiedział Gaj z przekonaniem. – Dlatego przecież są wyrodkami! Dla nich pieniądze są najważniejsze, dla nich nie ma nic świętego. Potrafią bez zmrużenia oka dziecko udusić, zdarzały się takie wypadki… Zrozum, że jeżeli człowiek stara się zniszczyć system OPB, to nie może być człowiekiem! To wyrafinowany morderca!
— Nie wiem, nie wiem – powiedział Maksym. – Dziś ich sądzono. Gdyby zdradzili kamratów, mogli zachować życie, wykpiliby się katorgą. A oni milczeli! To znaczy, że kamraci są dla nich ważniejsi niż pieniądze? Drożsi niż życie?
— To nie jest takie proste – zaproponował Gaj. – Oni wszyscy w myśl prawa zostają skazani na śmierć. Bez sądu, widziałeś przecież, jak się to odbywa.
Patrzył na Maka i widział, że przyjaciel się waha, jest zdezorientowany. Dobre ma serce, zielony jeszcze, nie rozumie, że z wrogiem trzeba postępować okrutnie. Rąbnąć by pięścią w stół, krzyknąć, żeby się zamknął, nie gadał niepotrzebnie, nie plótł, co ślina na język przyniesie, żeby słuchał starszych, zanim się sam we wszystkim nie nauczy rozeznawać. Ale przecież Mak to nie jakiś tępy ciemniak. Trzeba mu tylko porządnie wytłumaczyć, a sam zrozumie.
— Nie! – powiedział uparcie Mak. – Nie można nienawidzić za pieniądze. A oni nienawidzą… Tak nas nienawidzą, że nie wiedziałem, iż ludzie potrafią tak nienawidzić. Ty ich mniej nienawidzisz niż oni ciebie. Dlatego chciałbym wiedzieć za co?

Powyższy cytat pochodzi z „Przenicowanego świata” Borysa i Arkadija Strugackich. Samą nieracjonalną nienawiścią przeciwników, możemy wzbudzić w sobie animusz wojenny, ale nie wytłumaczymy wojny i nie doprowadzimy do zakończenia przemocy. I nie interesują mnie prostackie odpowiedzi.

ModusPoens

W poprzednim wpisie przedstawiłem dosyć oczywisty fakt dotyczący zasady indukcji na grafie o jednej składowej spójnej. W obecnym, przejdziemy do nieco innej tematyki, wszakże wpis poprzedni nie był całkiem oderwany od dzisiejszego tematu. Mam nadzieję posługiwać się nim w przyszłości, był wiec to rodzaj przygotowania artyleryjskiego przed bitwą. Amunicji użyliśmy niewiele, a kaliber nie był zbyt wielki. Zobaczymy co dalej.

Na początek kilka słów o motywacji. W poprzednich kilku wpisach drapałem po wierzchu temat reprezentacji dowodów matematycznych jako grafu i próbowałem zdefiniować dla takich struktur grupy homologii tak by cechy dowodu ( konkretnie sprzeczność) miały jakieś homologiczne odzwierciedlenie. Niestety analizując temat dokładniej, dochodzę do wniosku ( o czym napiszę w kolejnych wpisach) że homologia nie wypali. Jest tak dlatego, ze struktura „triangulacji dowodów” jak ją nazwałem – nie jest struktura simplicjalną. Znalazłem błąd w swoim rozumowaniu, są kontrprzykłady, i trzeba stwierdzić, że tego typu podejście wygląda na skazane na daleko idące kłopoty ( co nie znaczy że homologia i logika nie dadzą się pożenić. Jestem przekonany że istnieje tu głęboki związek, np. przekonuje mnie do tego koincydencja faktu że istnieje tylko jeden rodzaj nieorientowalności rozmaitości i jeden rodzaj sprzeczności logicznej. )

Czas więc na kolejne podejście, bo sam pomysł „triangulacji dowodu” wydaje się nadal żywotny, kopie i kto wie, może coś sie z tego urodzi.

Zamierzamy pracować z dowodem matematycznym. Poniżej przedstawię ścisłą definicję tego co będę rozumiał pod tym pojęciem. Będzie ona oczywiście całkowicie klasyczna, zostanie jednak wypowiedziana w pewnej specyficznej terminologii. Aby ją wprowadzić musimy określić pewien obraz czym jest zbiór wyrażeń których ozywamy podczas dowodzenia twierdzenia matematycznego. Po pierwsze dowody powstają w ramach sformalizowanego rozumowania. Każdy dowód powstaje w ramach określonej teorii ta zaś posiada zwykle aksjomaty, operuje pewnego rodzaju obiektami pierwotnymi ( „rzeczy” o których mówi teoria, a których cechy definiują aksjomaty) oraz intensywnie czerpie z logiki określonego rodzaju ( np. logiki pierwszego rzędu FOL). Aksjomaty są relacjami które nakładamy na obiekty będące przedmiotem naszego rozumowania dowodowego, i zwykle w dowodzie nie używamy ich wszystkich, a tylko pewien podzbiór. Sytuacja ta ma prozaiczny powód – większość użytecznych teorii matematycznych posiada nieskończenie wiele aksjomatów. Jako przykład może posłużyć aksjomat indukcji, a używając prawidłowej terminologii: schemat aksjomatów indukcji. Jest to wyrażenie ( lub zdanie, wszakże w zapisie stosowanym zwykle, jest to zdanie wypowiedziane w logice wyższego rzędu niż FOL) które stwierdza, że „dla każdego zdania {T(n)} dotyczącego liczby naturalnej {n}, jeśli prawdziwe jest zdanie {T(0)} oraz {T(n) \Rightarrow T(n+1)} to prawdziwe jest {T(n)}„. Proszę zwrócić uwagę, ze schemat ów – rozwija sie na nieskończenie wiele aksjomatów, po jednym dla każdego zdania T o ile posiada ono cechy wymienione w owym schemacie aksjomatu. Oznacza to, że teoria korzystająca z owego schematu aksjomatów, w istocie posiada przeliczalną ilość aksjomatów. Rzecz jest znana i omówiona w każdym podręczniku podstaw matematyki.

W jaki sposób z schematu aksjomatów dostajemy konkretny aksjomat? Jakie jeszcze mogą lub są schematy aksjomatów?

Sprawa zwykle nie jest szczególnie drążona, wszakże stosowanie schematów aksjomatów jest powszechne. Dlaczego? W języku FOL nie jesteśmy w stanie wypowiedzieć treści kwantyfikowanej po zdaniach. Teoria matematyczna posługująca się językiem logiki pierwszego rzędu zawiera wyłącznie kwantyfikacje po obiektach, to jest po „rzeczach”. Np. w ramach teorii mnogości wypowiadamy zdania o zbiorach i elementach, ale nie o „twierdzeniach na temat zbiorów”. Tymczasem użycie tak prostej reguły jak

\displaystyle \phi \Rightarrow (\psi \Rightarrow \phi )

wymaga byśmy za {\phi} i {\psi} mogli podstawić dowolne zdania. Zwykle zapisuje się ów schemat aksjomatów systemu Hilberta, za pomocą zmiennych {\phi} i {\psi}, rozumiejąc przez to, że mamy do czynienia z nieskończenie wieloma aksjomatami, a {\phi} i {\psi} reprezentują każde możliwe zdanie. Stąd zapis takiego schematu zawiera zwykle kwantyfikator ogólny „dla każdego zdania {\phi} teorii T” {\phi \Rightarrow(\psi \Rightarrow \phi )} i można by wyobrażać sobie że mamy tu w istocie nieskończoną listę aksjomatów, po jednym dla każdego możliwego podstawienia zmiennych. W realnym rozumowaniu istnieje potrzeba użycia stosownej reguły dedukcji, pozwalającej zrealizować owo podstawienie, zasygnalizować je czytelnikowi dowodu. Zwykle ma ono postać zapisu „{\phi = q}” gdzie {q} jest juz zdaniem teorii, dotyczącym „rzeczy” i zapisanym w języku FOL.Jednak wyrażenie „{\phi=q}” nie jest prawidłowym wyrażeniem języka FOL. jest sztuczką syntaktyczną, zapisem mnemotechnicznym, odwołaniem sie do „indeksu w bazie danych aksjomatów” umyślnie oznaczonej „{\phi \Rightarrow(\psi \Rightarrow \phi )}” po to by z owej listy, wyfiltrować stosowny aksjomat dotyczący zdania „{q}„. Regułą taka, opisująca „podstawienie, oznaczmy ją chwilowo {P}, mogłaby mieć postać

\displaystyle P("\phi=q", "\phi\Rightarrow\phi") = " q \Rightarrow(\psi \Rightarrow q )"

Odczytalibyśmy ją jako „w schemacie „{\phi \Rightarrow(\psi \Rightarrow \phi )}” podstaw za {\phi} zdanie „{q}„. Zauważmy że sam symbol równości „{=}” użyty w nawiasach, nie oznacza że owo {\phi} staje się równe „{q}” na stałe a tylko mamy na myśli pewną konkretną realizację, selekcję, ze zbioru opisanego schematem aksjomatów. W terminologii informatycznej powiedzielibyśmy że zasięg leksykalny owego znaku „=” ograniczony jest wyłącznie do zapisu powyżej. Co więcej. wynik takiej operacji podstawienia nie jest zdaniem, a zaledwie kolejnym schematem który może zawierać, i zawiera w naszym przykładzie inne zmienne! Dopiero sekwencja podstawień eliminująca ze schematu wszystkie występujące w nim zmienne, daje w wyniku określone jednoznacznie przez użyte podstawienia, zdanie używanego w ramach teorii języka. Oczywiście jest wiele symbolik opisujących powyższą operację podstawienia. Wydaje mi sie jednak że zaproponowana jest w miarę wygodna i przejrzysta. Co więcej – wyrażenie „{\phi = q}” – choć nie jest zdaniem teorii ( a nawet nie jest zdaniem), będzie wprost występowało na liście wyrażeń używanych w dowodzie, podobnie jak schematy aksjomatów. Ale o tym poniżej.

Kolejnym obiektem który jest używany w procesie dowodowym sa tautologie. Przywołuje sie je czasami wprost – stwierdzając, że pewne zdanie jest prawdziwe niezależnie od prawdziwości występujących w nim zdań, a czasami jako schemat aksjomatów, z zmienną, jak opisano powyżej ( bo też i tautologie są nieprzebranym zbiorem „potencjalnych aksjomatów” zaś ich użycie w taki czy inny sposób jest zwykle kwestią estetyki i optymalizacji środków dowodowych). Ponieważ u podstaw prawdziwości tautologii leży sama logika, a w jej ramach najprostsza metoda sprawdzania prawdziwości – tabela wartościowania prawdy i fałszu, stwierdza sie zwykle że tautologie logiczne są konsekwencją zbioru pustego. Czyli że ich prawdziwość nie wymaga czynienia żadnych specyficznych założeń. Można by rzec, że posiadamy pewną regułę dedukcyjną T, od słowa tautologia, która pozwala nam wprowadzić do dowodu dowolne wyrażenie będące tautologią, a to poprzez wskazanie, ze jest owo wyrażenie konsekwencją zbioru pustego. Zapis wyglądałby następująco:

\displaystyle T(\emptyset ,t) \Rightarrow t

gdzie {\emptyset} to zbiór pusty zaś {t} to tautologia.

Widzimy że w takim zapisie, ze zbioru tautologii wybraliśmy zdanie {t}. Zapis ten jest w pewnym sensie patologiczny, gdyż reguła dedukcyjna dotycząca tautologii {T}, zawiera po obu stronach wyrażenia to samo zdanie {t}. Dlatego zapis ten, choć formalnie prawdziwy i zgodny z resztą terminologii ( o czym poniżej) nie będzie używany dalej zaś osiągniemy to kosztem dodania do naszego zapisu wszystkich tautologii jako dodatkowego, wyróżnionego zbioru tautologii o tym samym statusie co schematy aksjomatów. Nie musi być to od razu zbiór wszystkich tautologii używanej logiki. Wystarczy by zbiór ten zawierał te tautologie które są użyte w dowodzie który będziemy analizować.

Rozważyliśmy zatem trzy zbiory – zbiór aksjomatów A, zbiór tautologii T, oraz zbiór „indeksów”, wyrażeń postaci „{\phi=q}” oraz symbol {\emptyset}, które będę dalej nazywał zbiorem filtrów. Tutaj drobny komentarz, sygnalizujący rzecz nad którą sie zastanawiam, jednak nie umiem jej rozstrzygnąć. Zgodnie z teorią mnogości, zbiór pusty jest częścią każdego zbioru, tym samym należy też do zbiorów {T} i {A}. Być może rozsądniej byłoby rozważyć specjalny symbol na określenie tego rodzaju elementu którego konsekwencją sa tautologie, ale który sam nie jest konsekwencją żadnego rozumowania. Warto dodatkowo pamiętać, że w sensie ogólnym konsekwencją sprzecznego zbioru zdań ( np. teorii o sprzecznych aksjomatach) jest dowolne zdanie, a więc zbiór pełny zdań, a nie zbiór pusty.

Zacznijmy od formalnego przedstawienia opisanego powyżej budulca.

Mamy dany:

 

  • zbiór schematów aksjomatów {A},
  • zbiór tautologii {T},
  • zbiór filtrów {F}, który zawiera wyrażenia postaci „zmienna = zdanie”, oraz zbiór pusty {\emptyset}
  • zbiór L poprawnych syntaktycznie wyrażeń teorii

 

Definicja Zbioru Selektorów: Zbiór selektorów {S} to zbiór zawierający aksjomaty, tautologie i filtry.

Zbiór {Z = A \cup T} nazwiemy zbiorem zdań pierwotnych teorii. Element należący do zbioru selektorów {S} nazwiemy selektorem.

Chcielibyśmy nad zbiorem selektorów i zdań logiki bazowej zbudować mechanizmy umożliwiające rozumowanie dedukcyjne. Należy w tym celu zdefiniować reguły dedukcji, które w niezawodny sposób prowadzą od aksjomatów do poprawnych syntaktycznie wniosków. Pojawia się tu jednak pewien problem. Reguła dedukcji {R}, to funkcja, o 2 argumentach, która odwzorowuje zbiór selektorów {S} i zbiór zdań pierwotnych {Z} teorii, w zbiór poprawnych wyrażeń pewnego rodzaju. Nie są to jednak zdania, a jak widzieliśmy wyżej, schematy zdań, lub listy zdań, w zależności od przyjętego podejścia. Mamy zatem następującą definicję:

Reguły dedukcji: Regułą dedukcji jest to funkcja 2 argumentowa taka że, jeśli {x \in L}, {y \in S} to istnieje takie ( jednoznacznie wyznaczone) {z \in L} że

\displaystyle R(x,y) = z

Wyrażenie {x} nazywamy przesłanką, wyrażenie {y} nazwiemy selektorem, wyrażenie {z} to wniosek.

Ponieważ „nowe” zdania w teorii powstają wyłącznie w wyniku realizacji pewnej reguły dedukcji, a w powyższym wyrażeniu symbol „{=}” oznacza zwykłą równość, możemy każde wystąpienie zdania z zastąpić równoważnym wyrażeniem {R(x,y)}. Tym samym pojecie „zbiór zdań logiki bazowej” staje się czysto mnemotechnicznym wybiegiem, zaś każde zdanie teorii to po prostu odpowiednio zagnieżdżony ciąg reguł dedukcyjnych operujących na selektorach ( w pierwszym argumencie) oraz aksjomatach i tautologiach ( w drugim). Tym samym możemy stwierdzić, że zbiór zdań {L} jest zbyt duży dla naszych rozważań, zaś w tym co nastąpi będziemy rozważali wyłącznie wyniki iteracji reguł dedukcji na zbiorze {A \cup T}.

Zamiarem moim jest zbudowanie graficznej reprezentacji takich struktur, co ma też i taką zaletę, że choć wypowiadam wszystkie zdania poniżej w języku aksjomatów, dowodów itp. te same narzędzia powinny nadać sie do analiz systemów matematycznych gdzie zachodzi iteracja funkcji 2 argumentowych.

Podkreślmy w tym miejscu, że istotne cechy reguł dedukcyjnych:

 

  • reguły dedukcyjne są operacjami czysto syntaktycznymi
  • reguła dedukcyjna jest funkcją.
  • Zachodzą relacje jednoznaczności:
  • ( {R(a,b) =c} i {R(a,d) = c ) \Rightarrow b=d}
  • ( {R(a,b) =c} i {R(d,b) = c ) \Rightarrow a=d}
  • ( {R(a,b) =c} i {R(a,b) = d ) \Rightarrow c =d}
  • wynik działania reguły dedukcyjnej jest prawidłowym zdaniem języka L. Wolę jednak określić tą cechę w innych sposób. Zachodzi cecha przeniesienia typu zmiennej. Reguła dedukcyjna „przy użyciu selektora” przenosi typ z przesłanki na wniosek. Własność ta jest spełniona dla wszelkich reguł postaci modus ponens ( modus tollens itp.), zachodzi też dla wielu reguł rachunku sekwentów.

 

Uwaga – ostatnia cecha to pewnego rodzaju nadużycie. Niestety ściśle rzecz biorąc nie jest spełniona dla reguł polegających na podstawianiu czy też „filtrowaniu” jak wolałbym ten proces nazwać. W takim bowiem przypadku jako pierwszy argument występuje schemat aksjomatów, czyli lista zdań, zaś na etapie wyeliminowania wszystkich zmiennych, ostatni selektor wybiera z niej jedno zdanie, które zostaje zwrócone jako wniosek. Nie jest wykluczone, że jest to ślad czegoś ważniejszego, np. że reguły dedukcyjne powinny być odwzorowaniami zwracającymi nie tyle zdania, co całe listy zdań, zaś teoria powinna posiadać kanoniczne odwzorowanie pomiędzy jednoelementową listą zawierającą zdanie bez zmiennych a zbiorem zdań ( czyli pomiędzy jednoelementową listą i jej elementem) . Definicja taka dodałaby do teorii miłej symetrii, i miałaby sens, bowiem w wypadku podstawiania za jedną zmienną w schemacie w którym występuje ich kilka, wynik podstawienia nadal jest schematem a nie zdaniem.

W ogólności w teorii może występować więcej niż jedna reguła dedukcji, co będziemy sygnalizować przez ich ponumerowanie. Tym samym będziemy mówili o k-tej regule dedukcji {R_k}. Typowym przykładem może być tu system Hilberta gdzie mamy dwie reguły dedukcji: modus ponens i regułę podstawiania za zmienną. Istnieją systemy rachunków zdań gdzie reguł jest więcej ( lub mniej). W dalszych rozważaniach modus ponens ( zapisywana jako „mp”) i reguła podstawiania będą traktowane przeze mnie jako modelowy przykład takich reguł.

Zdefiniujmy co mamy na myśli operując pojeciem dowodu:

Definicja Dowodu: Dowód P twierdzenia t, to ciąg zdań {a_1,a_2 \cdots a_N =t}, o tej własności że dla każdego zdania {a_i} zachodzi jeden z elementów alternatywy:

  • {a_i \in A}, {a_i} jest schematem aksjomatu
  • {a_i \in T}, {a_i} jest tautologią,
  • {a_i \in F}, {a_i} jest elementem zbioru filtrów
  • ogólniej moglibyśmy napisać że {a_i \in S} – jest selektorem lub
  • istnieje liczba {p} oraz {j,k<i} takie że {a_i = R_p(a_j,a_k)} gdzie {R_p} to {p}-ta reguła dedukcji.
  • {a_N = t} nie jest filtrem.

wyrażenie t jest zdaniem ( bo nie jest filtrem) i nazywamy je tezą dowodu.

W ramach takiej definicji w dowodzie zostają zapisane jawnie wszystkie wyrażenia użyte w krokach dowodowych ( a nie tylko te które są zdaniami). Przez długość N dowodu P, rozumiemy ilość selektorów, czyli po prostu wyrażeń, które sie na niego składają.

Z powyższej definicji wynika, że dla każdego dowodu P, mamy ciąg wyrażeń będący jego reprezentacją. Każdemu wyrażeniu {a_i} w dowodzie P przyporządkujmy liczbę naturalną { \#(P,a_i)} – numer miejsca na którym wyrażenie to występuje w dowodzie P. Każdy dowód to skończony ciąg wyrażeń, więc { \#(P,a_i)} jest dobrze zdefiniowane i przybiera wartości od 1 ( dla pierwszego wyrażenia dowodu) aż po { \#(P,t) =N} gdzie {t} to teza dowodu zaś {N} to jego długość.

Dla wygody, kiedy dowód jest ustalony, opuścimy symbol P w powyższym zapisie, czyli będziemy używać wyrażeń postaci { \#(a_i) = n}. Jeśli zdanie q nie występuje w dowodzie, napiszemy \#(q) = 0 . Czasami pewnie opuścimy nawiasy pisząc sam symbol \#a_i =n

W dalszym ciągu będę używał słowa „zdania” w znaczeniu – schematy aksjomatów, tautologie lub zdania właściwe logiki bazowej teorii. Tym samym nie będziemy pedantycznie analizować zagadnień sygnalizowanych w pt. 4 cech reguł dedukcji. Proszę pamiętać jednak że zdanie może oznaczać zarówno poprawne twierdzenie teorii jak i cały schemat zdań ( a więc wyrażenie zawierające zmienne).

Dowód składa się z wyrażeń, ale nowe zdania pojawiają sie w dowodzie wyłącznie jako wynik działania reguł dedukcyjnych. Jeśli w wyniku działania {R_k(q_i,q_j) = q_s} to wykonaniu reguły dedukcyjnej {R_k} przypiszemy taki sam numer jak zdaniu {q_s}. Mamy zatem {\#(P, R_k(q_i,q_j)=q_s) = \#(P,q_s)} i definicja numeru miejsca w dowodzie {\#} zostaje rozszerzona na realizacje ( wystąpienia) reguł dedukcyjnych. O ile w wypadku wyrażeń numeracja jest ciągła, od 1 do N o tyle numeracja wystąpień reguł dedukcyjnych może zawierać luki. Prawdziwe jest jednak poniższe, oczywiste stwierdzenie:

Stwierdzenie: dla danego dowodu P, numeracja użycia reguł dedukcyjnych jest cięgiem ściśle monotonicznym.

Jest to wniosek z faktu, że numeracja zdań w dowodzie jest ściśle monotoniczna, zaś reguły dedukcyjne otrzymują te same numery co zdania, z pominięciem wyrażeń ze zbioru filtrów oraz bezpośredniego użycia aksjomatów i tautologii.

Wydaje sie że wyposażeni w takie narzędzia możemy wypisać podstawowe pojecie jakim będziemy sie zajmować w dalszym ciągu wpisów:

Definicja Triangulacji dowodu:

Triangulacja dowodu P to odwzorowanie {\mathcal{F}} dowodu P w graf skierowany G. Każde wystąpienie reguły dedukcyjnej {R(p,q)=s} jest odwzorowane na trójkąt skierowany {(pqs) = (pq) \cup (qs) \cup (ps)}

W odwzorowaniu tym każdemu zdaniu dowodu {a_i} przypisany jest wierzchołek grafu G. Różnym zdaniom przypisujemy rożne wierzchołki, tym samym zdaniom przypisujemy te same wierzchołki.

Będziemy zajmowali sie własnościami grafów które sa obrazami dowodów w odwzorowaniu {\mathcal{F}}. W następnym wpisie podam przykłady triangulacji, oraz zastanowimy się na jakie sposoby łączą się trójkąty w owej triangulacji.

 

MathTextOntology-pasek

Rozważmy abstrakcyjny graf G. Nieformalnie abstrakcyjny graf matematyczny to obiekt złożony ze zbioru wierzchołków oraz zbioru krawędzi łączących wierzchołki. Wierzchołki połączone wspólną krawędzią nazwiemy sąsiadującymi.

W zastosowaniach zwykle wierzchołki posiadają jakieś konkretne cechy ( i zwykle mają etykietki ), zaś fakt łączenia wierzchołków krawędzią, zwykle ma jakąś interpretację. W ramach rozlicznych interpretacji, możemy mówić o posiadaniu przez wierzchołek określonej własności X. X będziemy tu traktowali jako predykat o dziedzinie w zbiorze wierzchołków, a wartościach w zbiorze {T,F} reprezentującym prawdę i fałsz. Tym samym jeśli wybierzemy pewien wierzchołek v grafu G, to możemy zapytać jaka jest wartość X(v), oraz powiemy że v ma własność X jeśli X(v) = T lub krócej będziemy pisać że X(v).

Przy takiej dosyć prostej terminologii, możemy sformułować w miarę oczywistą zasadę indukcji na grafie.

    Zasada indukcji na grafie.

Dany jest graf nieskierowany G, z jedna składową spójną. Załóżmy że zachodzą następujące własności:

  1. dla każdego wierzchołka v grafu G z tego że X(v) wynika, że X zachodzi dla każdego wierzchołka sąsiadującego z v.
  2. dla pewnego wierzchołka a zachodzi własność X

    Teza: X jest prawdziwe dla wszystkich wierzchołków grafu G.

Dowód ( niewprost):

Załóżmy że spełnione jest założenie (2), to znaczy istnieje wierzchołek a dla którego zachodzi X, oraz spełniona jest zasada (1), że z faktu że X zachodzi dla pewnego wierzchołka wynika ze zachodzi dla wszystkich połączonych z nim wierzchołków.  Mimo to twierdzimy że twierdzenie nie jest prawdziwe, to znaczy że  istnieje pewien wierzchołek d dla którego X nie jest prawdziwe.

Załóżmy że istnieje pewien wierzchołek s sąsiadujący z d dla którego X(s). Wówczas z (1) wynika że d ma cechę X podczas gdy w poprzednik kroku założyliśmy że d nie posiada cechy X. Sprzeczność. Wynika z tego że żaden wierzchołek sąsiadujący z d nie może posiadać cechy X.

Wierzchołki sąsiadujące z nimi także itp, itd.

Oznaczmy przez U zbiór wierzchołków które nie posiadają cechy X. Zbiór U jest niepusty bo zawiera co najmniej wierzchołek d, a także  wierzchołki sąsiadujące z d, wierzchołki sąsiadujące z tymi wierzchołkami itd. Innymi słowy zbiór U to składowa spójna grafu zawierająca d.

Jednak z założenia graf jest grafem spójnym, posiada więc jedna składową spójna.

W takim razie A należy do U.

Ale dla A zachodzi X.
Sprzeczność.
Co prawda zasada wydaje się w miarę oczywista, ale nie znalazłem jej w google ;-)

Po drugie, oczywista to ona pewnie jest dla grafów skończonych, ale z dowodu wydaje się wynikać, ze dla nieskończonych także, co więcej, prosty dowód nie narzuca jakichś ograniczeń na moce zbiorów wierzchołków…

krasiczyn.jpg

    „Symbolicznym aktem ponownego połączenia dwóch zwasnionych brzegów Sano było przerzucenie nad jego nurtem sześciu linowych kładek. Stalo się to pomiędzy Sanokiem a Przetnyślem w latach 60. i 70. XX w. Na tym odcinku rzeki, prócz mostów w obu tych miastach, był jeszcze tylko jeden — w Iskani. Symbolika ta była o tyle mocniejsza, że nie dokonały tego władze, a sami mieszkańcy nadsańskich wsi z pomocą inżyniera Kazimierza Gałajdy pochodzącego z Siedlisk kolo Dynowa. Jako chłopiec chodził do szkoły w Nozdrzcu za Sanem. Gdy na rzece nie było lodu dzieci przewożono łódką — o ile nie było powodzi. Jednak przez 5-6 miesięcy San jest zamarznięty lub plynie po nim kra, albo jest wiosenna powódź i przeprawa łodzią jest niemożliwa. Oczywiście chodzono po lodzie, ale to było niebezpieczne i rokrocznie dochodziło do utonięć. Pomiędzy Sanokiem a Przemyślem nad Sanem leży ponad 50 wsi i niemal wszystkie miały ten sam problem jeśli nie leżały blisko jednego z trzech mostów w tym rejonie.
    Kazimierz Gałajda ukończył Akademię Górniczo-Hutniczą w Krakowie i trafił do pracy w Zakładzie Budowy Kopalń Miedzi w Lubiniu. Dość szybko zajął jedno z kierowniczych stanowisk. Pamiętał o niedoli swoich ziomków, szczególne że odwiedzał rodzinne Siedliska. Postanowił zbudować nad Sanem kładkę linową. Materiał będzie pochodził z kopalnianego złomu, prace ziemne wykonają mieszkańcy wsi, a prace przy konstrukcji kładki młodzi górnicy podczas urlopów nad Sanem. Wieś karmiła górników, organizowała im noclegi a oni pracowali za darmo. I tak powstała pierwsza kładka wsi Wara, leżącej po sąsiedzku z Siedliskami i Nozdrzcem. Mieszkańcy nadsańskich wsi dowiedziawszy się o inicjatywie inżyniera Gałajdy prosili o następne kładki, deklarując pomoc w ich powstaniu. Lokalne władze były zadowolone bo nie musiały finansować tych przedsięwzięć.  Inżynier Gałajda uległ namowom i w kolejnych latach powstały kładki w Mrzygłodzie, Dobrej Szlacheckiej, Witryłowie, Słonnem, Ruskiej Wsi (zwanej obecnie Wybrzeże). Były one przeznaczone wyłącznie do ruchu pieszego i ich konstrukcja składała się lin przewieszonych przez podpory znajdujące siç na brzegach. W efekcie czego miała formę luźno zwisającej wstęgi, której część środkowa znajdowała się najniżej nurtu rzeki. Wszystkie one miały powyżej sto metrów długości, a kładka w Witryłowie nawet 220. Były i są wielką atrakcją turystyczną, bo nie tylko łączą brzegi Sanu umożliwiając wędrówkę raz jednym raz drugim brzegiem, ale dają radość oglądania przepięknej doliny Sanu znad nurtu tej rzeki. Nie wspomnę już o dreszczyku emocji, jaki daje przejście po bujającej się kładce o szerokości półtora metra i świadomość, że pod trzeszczącymi deskami, po których stąpamy jest tylko powietrze i nurt Sanu.
    Kładki budowane później dzięki pomocy inż. Kazimierza Gałajdy, w latach 80, XX w. były bardziej zaawansowane technologicznie. Wymagały także wkładu finansowego miejscowych władz. Tak zbudowano kładki pieszo-jezdne w Bachowie, Krasicach i Krasiczynie. Ich pomost o szerokości około pięciu metrów został usztywniony za pomocą wieszaków i lin nośnych, przerzuconych przez podpory. Pieszym turystom nie dają już takiej frajdy jak bujające się kładki wstęgowe, ale umożliwiają przejazd samochodów co jest ważne dla mieszkańców. Kładka, a właściwie już most w Krasiczynie powstał w 1986 r. i byl ostatnim dziełem inżyniera Gałajdy na Pogórzu Przemyskim. Dzięki jego inicjatywie kładki na Sanie stały się charakterystycznym elementem tego regionu i sporą atrakcją turystczną, Z czasem kładki w Mrzygłodzie i Dobrej Szlacheckiej zastąpiono mostami, a w Witryłowie zbudowano zupełnie nową kładkę podwieszoną na linach nośnych. Oddano ją do użytku latem 2011 r.”

Stanisław Kryciński

„Bieszczady. Tam gdzie diabły, hucuły, Ukraińce”

Wydawnictwo Libra PL, www.libra.pl, Rzeszów 2014

    Wpis jest adresowany do ludzi młodych, wychowanych na odkłamanej historii przywracającej wreszcie proporcje dotyczące Prawdy, Honoru i Męstwa. Pokazuje on jak PRL wykorzystywał naiwna ludność wiejską, by kosztem darmowej ich pracy, realizować swoje cele propagandowe, lub wręcz wyręczać się od wykonywania obowiązków jakie piastowanie władzy nakłada na rządzących. Wierchuszce PZPR mogło się wydawać że władza to niekończące sie darmowe obiadki z owoców morza i drogie wina jako aperitify. Nawet kelnerzy, zwykle jadący na jednym wózku z obsługiwanymi elitami komunistycznej władzy, mieli tego dosyć. Jeśli komuna upadła to przede wszystkim dlatego, ze w dziadostwie jakie tolerowała, a czasami nawet wymuszała, nie było miejsca na systemowe rozwiązanie najprostszych problemów ludzi, jak brak sznurka do snopowiązałek czy budowa nowej szkoły.

    Wpis ma charakter incydentalny, bowiem jest reakcją na działanie naszych władz które całkowicie zerwały z tą niechlubną praktyką przeszłości, jaką były czyny społeczne, i przywrócił normalny kierunek stanu rzeczy – mianowicie że 2+2 =4 zać osoba która nie posiadając stosownej koncesji starałaby sie skonstruować haczyki do wędki zamiast kupować oryginalne, chronione prawem autorskim, podlega karze grzywny lub więzienia do lat trzech.

Mieszkańcy wsi Kije (Lubuskie) własnymi rękami i z własnej inicjatywy wyremontowali niewielki most, bez którego byliby odcięci od świata. Problem logistyczny mają z głowy, ale zamiast niego pojawił się problem z prawem. Zarząd dróg twierdzi, że to samowola budowlana. Sprawą już zajmuje się prokuratura.

„Sami zbudowali most, odpowiedzą za samowolę? Prokurator: uwzględnimy wartość czynu społecznego”

za: tvn24.pl

jak-dzieci.jpg
Wielkanoc Klimka

Wielkanoc trwa w najlepszą noc.
A ja zasnę. Dobranoc!
Koc zasuwam
Wesołych Świat życzę Wam!

Wstaję i pędem do stolika gnam
jej wstałem sam!
Biorę trąbkę na niej gram
Ram ta tam!
Wszyscy się budzą!
Czemu na trąbce gram?
Zdradzę Wam:
Bo to przecież Wielkanoc!

Biorę koszyk w ręce
Pakuję baranka, flagę
Ubrać zajączka pomogę
A jeszcze bułeczka,
kromeczka,
a do środka szyneczka
i jajo, nie to Jaja
Jedną namalowałem ja
i hop do kościoła!

Bez redakcji.
Autor: Klimek Kurz, lat 9

krasiczyn.jpg

Niedawno z Programu 2 Polskiego Radia z Rozmów o Sztuce od pani Bożeny Fabiani dowiedziałem się że *archimimus* – to sobowtór zmarłego, wynajmowany na pogrzeb w trakcie tzw. pompa funebris w Rzeczpospolitej szlacheckiej. Niektórzy archimimusi byli niebywale podobni do zmarłych, starano sie oczywiście by podobieństwo było jak największe. Jego rolą było uczestnictwo w pogrzebie tak by przybyli uczestnicy mieli wrażenie namacalnej obecności zmarłego, zaś kulminacją tych działań mógł być wjazd konny takiej osoby do kościoła i spektakularny upadek z konia przed trumną.

Generalnie pogrzeby szlachty i bogatszego mieszczaństwa w barokowej Polsce, celebrowano w niezwykle huczny sposób. Sama ceremonia, podczas której rodzina zjeżdżała sie z całej Rzeczpospolitej by nawiedzić zmarłego, trwała z powodu dużych odległości, nieraz kilka miesięcy a uczestniczyło w nich nieraz kilka tysięcy osób. Bogato zdobiono zmarłego, trumnę, budowano zdobny katafalk, urządzano przedstawienie pogrzebowe podczas którego łamana o o trumnę broń ( co było zwykle źródłem okaleczeń i wypadków). Kolorami żałoby były czarny i czerwony, i tak przyozdabiano trumnę, wóz na którym ją wieziono w trakcie pogrzebu, katafalk, a nawet konie.

Na szczególną uwagę zasługuje konterfekt – portret trumienny będący swoistym elementem kultury sarmackiej, szczególnie rozwiniętym i powszechnym na terenach  Rzeczpospolitej.  Pierwszym takim portretem był kontrefekt Stefana Batorego , niewielkich rozmiarów, być może namalowany przez Marcina Kobera. W kolejnych latach pomysł chwycił, i portret trumienny zrobił w dawnej Polsce niezwykłą karierę. Początkowo niewielkich rozmiarów ( ten na obrazku ma tylko 10 cm średnicy) rozrósł sie do 70 cm i kształtów odpowiadających przekrojowi trumny. Znacząco wzrosła także jego powszechność. Z początku będący zwyczajem magnackim, przekształcił sie w ogólnoszlachecki a pod koniec XVIII wieku portrety takie masowo fundowali sobie wszyscy bogatsi ludzie, w tym mieszczaństwo i protestanci. Masowość szła w parze z całkowitą anonimowością twórców. Jak to już pisałem na blogu, w Polsce ważniejszą postacią jest twórca wychodka niż artysta malujący portrety, bo faktura dla cieśli opiewa na więcej pieniędzy i dotyczy pracy zespołu ludzi, zaś artysta, zwłaszcza użytkowy pracował zwykle sam i nikt raczej nie poważał jego pracy.

Na portrecie trumiennym nieboszczyka zwykle przedstawiono w portrecie en face 3/4 z oczami utkwionymi w widza. Postać zmarłego ukazywano w pysznym, paradnym, strojnym ubraniu.  Na ogół był to strój w którym chowano zmarłego, pełen ozdób, bogato wykończony, z futrem itp. Zwyczaje pogrzebowe były pod tym względem tak niezwykłe, że jeden z odwiedzających kraj francuzów zanotował, że bardziej przypominają one święcenie triumfu czy zwycięstwa w bitwie, niż złożenie do grobu.  Co niezwykłe, choć inne elementy pogrzebu, jak przedstawienia czy mowy, pełne były przesady i zmierzały w kierunku gigantycznego pochlebstwa w stosunku do nieboszczyka, portret zmarłego zwykle był realistyczny. Powszechne są realistyczne przedstawienia osób brzydkich, portrety o sporych walorach psychologicznych ( jak choćby ten na obrazku), przedstawiające nieboszczyka bez upiększeń.

Niektóre osoby nie życzyły sobie hucznego pogrzebu, a przykład matka Jana Sobieskiego, zawarła taką klauzulę w testamencie. Aby uczynić za dość woli zmarłej, dokonano zatem 2 pogrzebów. Pierwszy odbył sie w sposób _nader skromny_ to znaczy uczestniczyło w nim 200-300 osób, zaś ceremonię pogrzebową celebrowało około 30 szeregowych księży. Po takim wykonaniu testamentu, dokonano bardziej oficjalnego pochówku z udziałem kilku biskupów, paradnym konduktem, biciem w dzwony, muzyką i kilkoma tysiącami gości….

hierarchiaKanonicznej

Na marginesie moich rozważań na temat homologii budowanych na przestrzeniach zdań logicznych, opisze poniżej pewien ogólny pomysł dotyczący postaci kanonicznych obiektów. Postać kanoniczna obiektu matematycznego to pojecie natury właściwie estetyczno -praktycznej i mam wrażenie że jego istnienie zostało nieco przeoczone przez główny nurt matematyki, co nie znaczy że jest niedocenione. Po prostu nie spotkałem sie z jakąś systemową jego analiza, może poza jednym przypadkiem jego książki Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger „A=B”. Książka choć zdecydowanie dotyczy kombinatoryki to jednak w kilku zdaniach dyskutuje zagadnienie formy kanonicznej wyrażenia. W szczególności autorzy piszą „A canonical form is a clear-cut way of describing every object in the class, in a one-to-one way. So in order to find out whether object A equals object B, all we have to do is find their canonical forms, c(A) and c(B), and check whether or not c(A) equals c(B).” Widać wyraźnie że autorzy książki doceniają znaczenie postaci kanonicznej – w ich ujęciu jest to fundamentalna postać syntaktyczna pozwalająca na rozstrzyganie o równości czy równoważności obiektów. Z drugiej strony postacie kanoniczne nie wydają się ( poza aspektem praktycznym) być systemowo analizowane na gruncie matematyki w aspekcie syntaktycznym. Oczywiście szeroko opisywane i głęboko badane sa ich własności wewnętrzne, ilość parametrów związana z bardzo ważnym pojęciem przestrzeni moduli i inne tego typu, matematyczne własności. Zarazem własności czysto syntaktyczne, związane z przekształceniami „napisów” nie są o ile wiem, systemowe analizowane. Właściwie wydaje sie to być rzeczą trywialną, analizować taki aspekt sprawy, ale z jednej strony moje zainteresowania odnoszą sie bardziej do systemów logicznych, a w nich syntaktyka ma wiele do powiedzenia. Z drugiej zaś strony, z wykształcenia jestem fizykiem, zaś obszar moich zainteresowań obejmował kiedyś technikę grupy renormalizacji. Można bez przesady stwierdzić, ze pewne formy grupy renormalziacji to w istocie systemowe badanie symetrii wyrażeń algebraicznych pod wpływem odwzorowania iteracji – o czym kiedyś chciałem napisać, i kto wie, może jeszcze napiszę… Tym samym zagadnienie jest osadzone całkiem konkretnie.

Zdefiniujmy aktorów:

Mamy zbiór obiektów {A = \{ a_1,a_2, \cdots \}} Standardowe odwzorowanie D ze zbioru A w grupę przemienną G polega na rozpatrywaniu formalnych obiektów

\displaystyle S = \Sigma_i g_i a_i

które można oczywiście sumować, wypadku grupy addytywnej:

\displaystyle g_1 a_1 + g_2a_1 = (g_1+g_2)a_1

Stosowne przekształcenie może być także zdefiniowane dla grupy przemiennej multiplikatywnej:

\displaystyle P = \Pi_i g_i a_i

i można je mnożyć:

\displaystyle (g_1 a_1) (g_2 a_1) = (g_1 g_2) a_1

I oczywiście pojawia się problem czy można mnożyć elementy {a_1} i {a_2} tak by nadać sens wyrażeniom {a_1 a_2} – czasami jest to możliwe, przykład poniżej.

Jeśli istnieje zbiór {B = \{ b_1,b_2, \cdots \}} oraz rodzina odwzorowań {f: A \mapsto B} o stosownych własnościach ( łączność, element neutralny, generalnie odwzorowania muszą być monoidem) to możemy mówić o kategorii zbiorów „A” i wszystkich konsekwencjach wynikających z faktu że zbiory A,B… tworzą wraz z odwzorowaniami kategorię. Poniżej mówimy o przypadkach w których B jest podzbiorem zbioru A i prosiłbym czytelnika o takie właśnie nastrojenie umysłu ;-).

Jeśli odwzorowanie D „jest zgodne” z całą maszynerią kategorii, to przeprowadza elementy zbioru A i zbioru {B=f(A)} w elementy grupy G, zachowując „funkcyjność” czyli stosowne diagramy kategorii są zgodne. Tym samym D staje sie funktorem z kategorii zbiorów A,B… w kategorię grup.

O ile czegoś nie pokićkałem to standardowy obrazek ( a jak pokićkałem, łatwo to naprawić…) a przynajmniej taki był mój zamiar ( niczego nowego tu nie opisałem).

Lepiej się myśli na przykładach, więc załóżmy teraz że zbiory A czy B to coś w rodzaju rodziny wielomianów, albo zdań logiki, reprezentowanych w rozmaitym zapisie, zaś odwzorowania f pomiędzy nimi to jakiegoś rodzaju przekształcenia tych obiektów ( dodawanie wielomianów, mnożenie, łączenie zdań logiki za pomocą operatorów negacji, alternatywy, koniunkcji itp.). Przekształcenia sa rozmaite, a wśród nich istnieje arcyciekawa rodzina przekształceń: przekształcenia do postaci kanonicznej.

Postać kanoniczna to specyficzna forma „syntaktyczna” obiektów, określona przez jakiegoś rodzaju wymóg „wygody”, „jednoznaczności”, „urody” – pojecie w zasadzie tyle estetyczne co praktyczne. Ma ona jednak tą cechę, że:

  • postać kanoniczna jest pojęciem syntaktycznym ( chodzi o formę graficzną, powiedzmy przedstawienie {(x - x_0)(x - x_2)...(x - x_k)} w wypadku wielomianów).
  • każdy obraz obiektu ze zbioru A pod wpływem przekształcenia do postaci kanonicznej – nadal jest obiektem zbioru A ( czyli postać kanoniczna wielomianu, lub zdania logicznego, nadal jest wielomianem lub zdaniem logicznym). Tym samy jest to rodzina przekształceń z zbioru A do A.
  • przekształcenie kanoniczne {K:A \mapsto A} ma własność, że jeśli wyróżnimy elementy w postaci kanonicznej jako zbiór C, to są oczywiście są podzbiorem elementów A. Teraz {K:A \mapsto C} jest suriekcją na C ( ale nie na A! ).
  • postać kanoniczna nie jest pojęciem syntaktycznie jednoznacznym, i choć w praktyce jest zwykle jasne z jaką postacią kanoniczną mamy do czynienia, to dany zbiór obiektów może mieć kilka „przedstawień kanonicznych” użytecznych w rożnych kontekstach.
  • jeśli mamy rozmaite formy kanoniczne dla obiektów z zbioru A, powiedzmy {C_1, C_2} ( z uwagi na rozmaite potrzeby, np. wielomian raz możemy prezentować w postaci iloczynowej {( x - x_0)(x - x_1)...(x - x_k)} a raz jako sumę {\Sigma x^k a_k}. Dla zdań logiki raz możemy je prezentować w postaci alternatywo-koniunkcyjnej a raz – jak w przykładzie poniżej z mojego bloga gdzie wprowadzałem grupę oczepioną homologii – interesowała nas forma kanoniczna zdania {a} lub { \neq a} z całkowitym pominięciem bardziej złożonej struktury wewnętrznej ) to istnieje odpowiedniość pomiędzy tak powstałymi zbiorami {C_1} i {C_2} ( gdyż reprezentują te same obiekty w rozmaitych postaciach normalnych. )
  • Nawet jeśli postać kanoniczna została określona, zwykle miewamy do czynienia z pewną dozą dowolności związaną z przedstawieniem z dokładnością do pewnego zbioru przekształceń, jak uporządkowanie zmiennych, permutacje itp.  ( na przykład w wypadku wielomianów w dziedzinie rzeczywistej, możemy wymagać by pierwiastki {x_0,...x_k} w wyrażeniu {(x - x_0)(x - x_2)...(x - x_k)} były uporządkowane w sposób rosnący. W wypadku liczb zespolonych wymóg taki nie występuje i mamy pewną dowolność/niejednoznaczność syntaktyczną. Proszę zwrócić uwagę że jest to cecha wewnętrzna przestrzeni nad którą budujemy wielomiany a nie jest to bynajmniej kwestia konwencji! )

Mamy zatem strukturę zbioru wraz z przekształceniami jego elementów do postaci kanonicznej i zapytamy: czy możliwe jest prawidłowe zdefiniowanie funktora D z kategorii takich obiektów do kategorii grup?

Wydaje sie oczywiście że jest to możliwe. Na przykład:

  • dla zdań logicznych postać kanoniczna to powiedzmy postać alternatywo-koniunkcyjna. Każdy jednoznacznie określony przez zdania {p_{i_{k}}} ciąg koniunkcyjny {a_i = p_{i_{1}} \land p_{i_{2}} \land p_{i_{3}} \land \cdots \land p_{i_{k}} } odwzorujemy pod wpływem funktora D w pewien obiekt {g_i a_i} zaś elementy alternatywy mapujemy jako „sumy”. Teraz każdemu zdaniu w postaci {a_1 \lor a_2} itp. ( gdzie {a_i} jest w postaci czysto koniunkcyjnej) przypiszemy element {g_1 a_1 + g_2 a_2}. Elementy odwrotne to oczywiście negacje. Jak widać odwzorowaliśmy postać alternatywo-koniunkcyjną zdania logicznego w grupę addytywną. Proszę zwrócić uwagę, że struktura wewnętrzna części koniunkcyjnej nie została określona. Nie założyliśmy np. żadnej formy uporządkowania zdań {p_{i_{k}}} ( i prawdę mówiąc dla ogólnego zbioru zdań logiki taki porządek właściwie nie istnieje, choć oczywiście można by postulować jakieś półśrodki, jak złożoność syntaktyczna mierzona np. głębokością drzewa syntaktycznego, albo ilością znaków albo na inne, nierównoważne zresztą, sposoby). Analizując ten przykład dalej widzimy że wynikowa grupa jest grupa przemienna generowana przez „grupy zdań” w postaci czysto koniunkcyjnej ( a więc {a_i = p_{i_{1}} \land p_{i_{2}} \land p_{i_{3}} \land \cdots \land p_{i_{k}} }). Gdybyśmy ograniczyli się do obiektów o maksymalnie N elementach, grupa ta będzie miała skończoną liczbę generatorów, przy czym każdy możliwy ciąg koniunkcyjny zdań będzie generatorem. W następnym kroku możemy „zejść głębiej” i narzucić w takiej przestrzeni kolejną postać kanoniczną wyższego rzędu, np. wprowadzając porządek w kolejności zdań w postaci koniunkcyjnej itp.
  • dla wielomianów ustalmy że postać kanoniczna to zaprezentowanie wielomianu jako iloczynu {(x - x_0)^{s_0} (x - x_1)^{s_1} ...(x - x_k)^{s_k} }. W zbiorze C wielomianów w postaci kanonicznej operacja iloczynu nie wyprowadza poza zbiór C ( a operacja sumy – syntaktycznie wyprowadza). Zatem wielomian w postaci kanonicznej {w_1} odwzorujemy w obiekt {g_1 w_1} wielomian {w_2} w wielomian {g_2 w_2} zaś wielomian {(g_1 g_2) w_1 w_2} nadal będzie w postaci kanonicznej. Właściwie nie mamy tu elementów odwrotnych – tym samym odwzorowanie wprowadza monoid a nie grupę. Rozpatrzmy ten przykład nieco szerzej. Ogólny wielomian zwykle przestawiany jest jako suma monomianów {\Sigma a_k x^k}. W naszym przypadku dokonamy oszustwa i będziemy rozważać wyrażenia w postaci iloczynowej, o krok bliższej pełnej formie kanonicznej, jak {(x-x_4) (x-x_0) (x-x_0) (x - x_1)(x-x_0)}. Zwróćmy uwagę że wyrażenia {(x-x_0) (x-x_0) (x-x_0) = (x-x_0)^2 (x-x_0) = (x-x_0) (x-x_0)^2} to trzy rożne zapisy tego samego wielomianu w postaci kanonicznej {(x-x_0)^3}. Widzimy tutaj że „ogólny wielomian w postaci iloczynowej ma znacznie więcej „swobody syntaktycznej” niż wyrażenie kanoniczne {(x-x_0)^3}. Właśnie o tego typu rozróżnieniach rozmawiamy.
  • rozważmy jeszcze raz przestrzeń wielomianów nad liczbami rzeczywistymi, tym razem o ustalonych ( i uporządkowanych!) pierwiastkach {x_0 \cdots x_k }. Wszystkie tego typu wielomiany mają kanoniczną postać {(x - x_0)^{s_0} (x - x_1)^{s_1} \cdots (x - x_k)^{s_k} }. Wielomian w takiej przestrzeni jest jednoznacznie zadany przez podanie stopni pierwiastków czyli przez ciąg liczb { s_0 , s_1 , s_2 , \cdots s_k }. Przekształcenie D mapuje wielomian {w} na obiekt {g w} przemiennej grupy multiplikatywnej. Mnożenie wielomianów w tym wypadku polega na dodawaniu stopni stosownych pierwiastków. Tym samym przestrzeń taka, wielomianów w postaci kanonicznej o ustalonych pierwiastkach rzeczywistych, jest równoważna k-wymiarowemu monoidowi {Z_{+}^{k}} liczb dodatnich z operacją dodawania. Wydaje sie możliwe uogólnienie tej konstrukcji by uwzględnić ujemne „krotności” pierwiastków i tym samym w miejsce monoidu wprowadzić grupę. A pełna przestrzeń wielomianów o ustalonych k pierwiastkach( oszukujemy jak poprzednio, wszystkie niech będą w postaci iloczynowej, oszukujmy dalej, pierwiastki są uporządkowane! )? Ponieważ wyrażenia {(x-x_0)^2 (x-x_0)} i {(x-x_0) (x-x_0)^2} uważamy tym razem za różne, ma ona znacznie bardziej złożoną strukturę!

Jak widać mamy zatem sytuację że D odwzorowuje obiekty zbioru A na elementy grupy (monoidu) G, a zarazem elementy podzbioru A – te elementy które sa w postaci kanonicznej – na elementy podgrupy G.

Mamy obraz całego zbioru A pod wpływem funktora D, oraz obraz całego zbioru A pod wpływem złożenia {D( K (A \mapsto C ) ) \mapsto Sub(G)} gdzie {Sub(G)} oznacza podgrupę G. Inaczej { img(DK) \subseteq img(D)} – elementy złożenia odwzorowań {DK} są podzbiorem elementów D – gdzie wszystkie odwzorowania działają na zbiorze A.

Jeśli mamy podgrupę to zachodzi pytanie: *Jak wygląda iloraz grupy G przez podgrupę związaną z elementami w postaci kanonicznej?*

\displaystyle H_x \stackrel{?}{=} img(D) / img(DK)

I tu mamy jakąś analogię z homologią….

W przykładzie ze zdaniami logicznymi powyżej wspomniałem o postaci kanonicznej zdefiniowanej głębiej, na kolejnym poziomie syntaktycznym. Analogia do grup homologii jest tu tym wyraźniej widoczna, bowiem mamy kolejne odwzorowanie, kolejne grupy ilorazowe itp. Właściwie być może należałoby całą konstrukcję oprzeć na pojęciu ogólnej postaci syntaktycznej, następnie zdefiniować drzewo syntaktyczne i na każdym jego szczeblu definiować stosowne odwzorowania i grupy ilorazowe. Zagadnienie zaczyna w ten sposób być bliższe tematom z jakimi mają do czynienia informatycy podczas konstrukcji parserów…

Z mojego wpisu na blogu wynika, że w pewnych przypadkach dla zbiorów zdań logiki grupa ilorazowa jest nietrywialna. Sytuacja taka miała miejsce dla pewnych szczególnych postaci odwzorowania D – badałem strukturę związaną z regułą modus ponens – co dla tego co tu opisano jest bez znaczenia, zaś postać kanoniczna którą rozważałem była *związana z negacją* czyli z formą zdania {a} lub {\neg a} . Przypadek taki oznacza że zbiór zdań jest ( syntaktycznie!) sprzeczny. W przypadku homologii odczepionej grupa ta może być trywialna ( w zbiorze zdań nie występują zdania {a} i {\neg a}, zbiór zdań jest niesprzeczny). Może ona jednak być także złożona z 2 elementów ( występuje zdanie {a} i {\neg a}, teoria jest syntaktycznie sprzeczna), albo z n elementów ( czego nie pokazałem ale przypuszczam że tak jest w wypadku zdań w paradoksie „koła kłamców” gdzie pierwszy z kłamców mówi: „następny kłamie!”, następny mówi to samo… i tak n – 1 osób, zaś ostatnia osoba mówi „następny mówi prawdę!” ). Widać więc że dla pewnych form kanonicznych i pewnych zbiorów – grupa ilorazowa może być nietrywialna, a zdarzenie to jest związane z ważną cechą zbioru A – w wypadku logiki była to sprzeczność ( syntaktyczna).

Jak to jest w wypadku innych zbiorów obiektów i innych postaci kanonicznych?

 PS. Przypomniałem sobie że jednak temat postaci kanonicznej, kanoniczności przekształcenia itp. padł w pewnym konkretnym kontekście. I szukając w głowie gdzie i kiedy to było przypomniałem sobie dawną batalię z zawodowymi matematykami jaką stoczyłem przy okazji pytania jakie zadałem na mathoverflow, Miało ono postać: Jakie pojęcia nie są ściśle zdefiniowane we współczesnej matematyce?”  Jak sie okazuje są profesjonalni ( i świetni!)  matematycy którzy nie są w stanie zrozumieć takiego pytania! Tak czy śmak, pytanie odniosło wielki sukces, udzielono na nie ( wbrew opinii grupy „nierozumiejących” ale trzymających władzę…) 29 odpowiedzi, a obejrzano je ponad 9 tysięcy razy! Jedna z odpowiedzi dotyczyła pojęcia kanoniczności. Nie jest wykluczone jednak że popełniam tu błąd ekwiwokacji

Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?

Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky, zdobędziemy władze nad światem!

woda.jpg

W poprzednim wpisie opisałem sposób wyliczania odczepionej grupy homologii dla prostego ( ale już nie trywialnego) przykładu dowodu sprzecznego. Przypomnijmy że dla grup kompleksów łańcuchowych tego obiektu geometrycznego tworzymy ciąg grup homologii {H_n} za pomocą schematu pomocniczego:

\displaystyle 0 \overset{\partial_3}{\longrightarrow} C_{2} \overset{\partial_2}{\longrightarrow} C_{1} \overset{\partial_1}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_0 = 0 }{\longrightarrow} 0

n-ta grupa homologii to grupa ilorazowa:

\displaystyle H_n = ker(\partial_n)/img(\partial_{n+1})

W przypadku grupy odczepionej {H_a} postąpiliśmy nieco inaczej. Zdefiniowałem mianowicie dodatkowe mapowanie {\partial_a} który przyporządkowywał wierzchołkom grafu obiekty geometryczne ( dla wierzchołka {a} taki obiekt geometryczny oznaczałem{|a|} ) wraz z informacja o ich wewnętrznej strukturze. W naszym przypadku, a stale mówimy o obiektach geometrycznych będących odwzorowaniem obiektów logicznych – ciagów dowodowych w systemie formalnym z regułą modus ponens -mapowanie {\partial_a} miało następującą własność:

\displaystyle \partial_a(\neg q) = - \partial_a(q)

gdzie {q} w poyższym wyrażeniu jest zdaniem logicznym. W następnym kroku definiowałem odszczepioną grupę homologii {H_a} jako:

\displaystyle H_n = ker(\partial_a)/img(\partial_{1})

Przyglądnijmy się bliżej mapowaniu {\partial_a}.

Obecny wpis zacznijmy może od tego że przypomnę miejsce odwzorowania {\partial_a} w diagramie grup kompleksów łańcuchowych:

HomologiaOdczepiona

Widzimy wyraźnie że zdefiniowałem nowy kompleks łańcuchowy {C_a} który jest dziedziną odwzorowania {\partial_a}. Zbiór ten jest obrazem grupy cykli krawędziowych {C_1} pod działaniem odwzorowania {\partial_1} Jego elementami nie są jednak wierzchołki, a obiekty posiadające wewnętrzną strukturę. Z jednej strony bowiem spełniają one zależności wynikające z faktu bycia brzegiem grupy cykli krawędziowych {C_1}, czyli w wypadku tych obiektów, ich struktura niesie dodatkową informację o fakcie że są one spięte w pętle simpleksów reprezentujących reguły modus ponens. I faktycznie, jak czytelnik może pamięta, pisałem że: { img (\partial_1) = <b-a,c-b,c-a> } oraz, że dodatkowo {x+y-z=0} gdzie {x,y,z} reprezentowały wierzchołki złożone w krawędzie simpleksu reprezentującego {MP(a,b)=c}. Innymi słowy działanie mapowania {\partial_1} jest identyczne jak w wypadku normalnej definicji grup homologii. Operator {\partial_a} działa na grupie cykli wierzchołków. Formalnie rzecz biorąc, grupa ta to {C_0} i na diagramie grupa taka znajduje sie w „ciągu głównym” grup łańcuchów. W naszym jednak przypadku mapowanie {\partial_a} działa na tym zbiorze wyciągając z niego dodatkową informację, stąd właściwym jest odróżnienie go od zwykłego zbioru {C_0} który zawiera przecież tylko wierzchołki. Co więcej, obrazem {\partial_a} w działaniu na zbiór {C_a} nie jest bynajmniej 0, pomimo iż tak właśnie narysowałem na diagramie powyżej. Czytelnik wybaczy to oszustwo, w istocie w miejscu 0 powinna znajdować sie grupa ( powiedzmy) {C_{0a}} która zawiera punkty geometryczne wierzchołków uzupełnione o informację o ich strukturze wewnętrznej. Nie jest to jednak grupa łańcuchowa równoważna {C_0} gdyż w obiekcie tym nie leży żaden obraz {\partial_1}. Jest tak, gdyż działanie operatora {\partial_a} skutecznie usuwa z tej struktury informacje o spięciu w krawędzie. Przyznam że spędziłem jakiś czas usiłując „włożyć” grupę {C_a} pomiędzy {C_1} i {C_0} ale nie widzę za bardzo takiej możliwości ( chyba ze kosztem znacznego skomplikowania). Prawdziwy diagram grup łańcuchowych powinien wiec wyglądać tak:

HomologiaOdczepionaPoprawnie

Przyglądnijmy sie teraz działaniu odwzorowania {\partial_a}. Odwzorowanie to przypisuje elementowi grupy łańcuchów 0-wymiarowych, element w grupie abelowej {C_0a}. W grupie tej różnym elementom {C_a} przypisywane są różne elementy, poza sytuacją kiedy elementy {C_a} związane sa relacją:

\displaystyle p = \neg q

dla pewnych zdań {p} i {q}. Widać wyraźnie ze tego typu odwzorowanie uwzględnia dodatkową informację o negacji zdań logicznych.

Być może czytelnikowi umknęła jeszcze jedna subtelność, którą chciałbym tu wyciągnąć na światło dzienne. Mianowicie w pierwszym dowodzie mieliśmy następująca sytuację: w grafie złożonym z zdań {a="a",b="a\rightarrow a",c="a"} zdania {a} i {c} zostały potraktowane jako różne. Właściwie to jest to błąd. Zdania te to w istocie jedno i to samo zdanie, którego obrazem w grupie {C_a} jest jeden element. Gdyby było inaczej, w grupie tej istniałby nietrywialny cykl (postaci {a-b} gdzie a i b byłyby dwoma obrazami tego samego zdania {q} ) i grupa homologiczna odczepiona dla dowodu niesprzecznego byłaby nietrywialna, czego wolelibyśmy uniknąć. Takie „sklejenie” zdań w obrazie {\partial_a} pozwala uniknąć nietrywialnych pętli występujących z powodu powtarzania sie zdań w dowodzie. Jednocześnie zdania zanegowane przekształcane są na rożne ( przeciwne!) elementy grupy {C_a} co pozwala nam nietrywialnie reprezentować sprzeczność dowodu.

Możemy podsumować. Odwzorowanie {\partial_a} działa w następujący sposób:

  • jego dziedziną jest zbiór  {C_a} wierzchołków grafu reprezentującego dowód
  • jego obrazem jest grupa przemienna {C_{0a}} łańcuchów 0-wymiarowych z uwzględnieniem struktury wewnętrznej zdań z poprzedniego punktu
  • na obecnym etapie uwzględniamy wyłącznie negację. Obrazami zdań {p} i {\neg p} są elementy wzajemnie odwrotne grupy {C_a} tak, że {\partial_{a} (p) + \partial_{a} (\neg p) =0}.
  • obrazami wierzchołków {p}  i {q = "p"}  w których mamy zdania syntaktycznie tożsamych jest ten sam element {|p|}  grupy  {C_a}

Grupa homologii jest {H_a} zdefiniowana jako grupa ilorazowa jądra przekształcenia {\partial_a} przez obraz {\partial_1} operatora brzegów jednowymiarowych na zbiorze krawędzi {C_1}. Właściwie to całe zagadnienie tym samym sprowadza sie do zdefiniowania {H_a} i do pojęcia grup homologii odnosi sie w zapewne dosyć odległy, a a na pewno nie jakiś szczególnie nietrywialny sposób. Z drugiej strony starałem sie złapań jakieś intuicje związane z pojęciem sprzeczności, i chyba całkiem nieźle sie to udało, biorąc pod uwagę, że w ramach przedstawionych rozważań jest w miarę oczywiste że skończone zbiory sprzeczne będą miały nietrywialne ( i skończone!) grupy {H_a} zaś zbiory niesprzeczne – grupy trywialne.

Dlaczego jest to interesujący fakt sam w sobie? Otóż od dłuższego czasu zastanawiało mnie, dlaczego sprzeczności logiczne, mają tak prostą postać syntaktyczną. Proszę porównać najprostszy ze znanych paradoksów w teorii zbiorów, paradoks Russella z aksjomatyką tej teorii ( na przykład w wersji naiwnej, albo ZFC). W każdym wypadku paradoks jest prostszy niż sama teoria! A paradoks kłamcy? Czy nie jest tak, że „każdy głupi go zrozumie”? A rozwiązanie? ło, doktoraty można robić… Tarski całą teorię modeli na tym zbudował. Mamy zatem paradoksy, a ich reprezentantami wydają się być niewielkie, a czasami nawet znaczeniowo, koncepcyjnie proste, zbiory zdań. Tymczasem okazuje sie że przy zastosowaniu odczepionej grupy topologii, sprzeczność ma odpowiednik w prostej postaci takiej grupy! Kontekst geometryczny nie jest tu całkiem od rzeczy. Widać że relatywnie proste rozumowanie ( dowód sprzeczny jaki podałem jako przykład odpowiada paradoksowi kłamcy) ma nietrywialna reprezentację geometryczną, w postaci simpleksu w którym grupa odczepiona jest nietrywialna. Dlaczego zatem paradoksy są tak proste? Chciałoby się odwrócić całe rozumowanie: „Bo struktury geometryczne proste są same w sobie”. Czy istnieją „skomplikowane paradoksu”? Oczywiście istnieją takie które wymagają wielu zdań by je zapisać, i zapewne odwzorują się w skomplikowaną strukturę geometryczną. Ale z tego co napisałem/zdefiniowałem wydaje się że nadal nie będziemy mieli w takich paradoksach niczego istotnie innego niż w tych prostych. Zapewne będą im odpowiadały bardziej złożone grupy odczepione, ale należy przypuszczać że nadal będą to sumy proste grup {Z_2}( po jednej grupie dla każdej pary zdań sprzecznych, lub wy wypadku paradoksów typu „koło kłamców” grupy cykliczne rozmiaru n, co będziemy zapewne analizować w jednym z przyszłych wpisów) a ta występuje już w bardzo prostym przypadku rozumowania sprzecznego. I to jest coś co wydaje mi się ciekawe…

A co dalej? Kolejne działania powinny polegać na analizie struktur coraz bardziej złożonych, a na koniec nieskończonych zbiorów zdań związanych relacją konsekwencji syntaktycznej modus ponens.I zapewne będę o tym jeszcze pisał.

Wymieńmy możliwe uogólnienia:

  • moglibyśmy analizować bardziej złożoną strukturę wewnętrzną zdań w wierzchołkach. W miejsce operatora {\partial_a} można by wprowadzić inny, który byłby czuły na występowanie alternatywy, koniunkcji lub jeszcze bardziej złożonych struktur. Pewne przekształcenia syntaktyczne mają całkiem ładną strukturę wewnętrzną, powiedzmy prawa de Morgana odznaczają sie sporą dozą (syntaktycznej) symetrii, co pozwalałoby odwzorowywać wierzchołki w grupy o niebanalnej strukturze. Marzy mi sie coś w rodzaju teorii Galois dla logiki, budowanej w języku algebry homologicznej…
  • można sobie wyobrazić cały ciąg grup odczepionych, który gubiłby informację o geometrii triangulacji dowodu ( właściwie nie jest ona jak na razie szczególnie ciekawa…) ale wyciągałby na światło dzienne, informacje o wewnętrznej strukturze zdań. Być może to jest najbardziej obiecujące uogólnienie/droga rozwoju tego pomysłu?
  • od strony teorii homologii, pomysł wydaje sie być dosyć oryginalny ( ale nie wiem czy interesujący). Operacje odczepienia można bowiem wykonać nie tylko dla wierzchołków! Możliwe jest przecież obdarzenie krawędzi simpleksów, ich elementów 2-wymiarowych i w ogólności n-wymiarowych, w jakąś dodatkową strukturę. Na każdym etapie n, można „coś odczepić” definiując odpowiednie operatory {\partial^n_a} analizujące strukturę symetrii takich obiektów w relacji do ich „umieszczenia” w całym kompleksie, która jest zadana przez klasyczny operator {\partial_n}. To czego nie widać ( i co nieco rozczarowuje) to fakt, iż nie bardzo mam pomysł jak powiązać ( i czy w ogóle istnieje takie powiązanie!) grupy odczepione na różnym poziomie n. A priori, w strukturze abstrakcyjnej można oczywiście budować tu jakieś abstrakcyjne obiekty, mnie wszakże interesowałoby podanie jakiegoś modelu takiego zjawiska. Modelu – czyli struktury która by niosła ciekawą informację w grupach odczepionych a jednocześnie pozwalała je definiować dla kilku poziomów struktur….

I to na tyle dziś.

Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?

Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky: zdobędziemy władze nad światem!

W poprzednim wpisie pokazałem jak wyliczać grupy homologii na (trywialnym) przykładzie pojedynczego simpleksu. W tym wpisie pokaże jak, modyfikując mechanizmy teorii homologii, uwzględnić kwestie logiczne którym poświęciłem już kilka wpisów. Aby uniknąć odwoływania się do innych wpisów, poniżej krótkie przypomnienie zagadnień logicznych o jakich będzie mowa.

Mamy zadany system formalny, czyli zbiór zdań logicznych złożony z zdań wyróżnionych, zwanych aksjomatami,oraz pewnego zestawu reguł przekształcania napisów zwanych regułami inferencji, dedukcji lub wnioskowania. Reguły wnioskowania akceptują pewną formę zdań ( w sensie czysto graficznym, syntaktycznym, jako napisy) i pozwalają na podstawie takich argumentów, uznać że do systemu wolno nam dopisać kolejne, określone w swojej formie syntaktycznej przez „mechanikę reguły wnioskowania”, zdanie. Modelowym przykładem reguły wnioskowania jest znana z poprzednich wpisów reguła modus ponens. Symbolicznie będę tą regułę zapisywał w formie {MP(P,Q) =S} co jest oczywiście równoważne zapisowi {MP(a \rightarrow b,a) = b}. Regułę tą rozumiemy czysto syntaktycznie, jako napis.

Dowodem zdania {S} w systemie logicznym zawierającym aksjomaty i regułę dedukcyjną modus ponens jest uporządkowany ciąg zdań {a_{0},a_{1},a_{2} \cdots ,a_{n}} gdzie {a_{n} = S}, zaś zdania numerowane od {1, \cdots n-1} to aksjomaty, tautologie lub wcześniej dowiedzione zdania. Ponieważ wcześniej dowiedzione twierdzenia mają dowody ( a więc ciągi zdań…), możemy przyjąć ( zastępując każde zdanie w powyższym ciągu jego dowodem) że zdania {a_{1}, \cdots a_{(n-1)}} to aksjomaty lub tautologie. Dla każdego podciągu uporządkowanego {a_{0} \cdots , a_{k},a_{(k+1)}} istnieje reguła wnioskowania ( inferencji, dedukcji), która pozwala wyprowadzić zdanie {a_{(k+1)}} z zdań {a_{0},\cdots , a_{k}}. Jest to klasyczna definicja dowodu, czytelnik spotkał sie z nią zapewne wielokrotnie. W tym co nastąpi będę wiele razy pisał o graficznym przedstawieniu dowodu, o dowodach sprzecznych itp. W każdym takim wypadku pisząc dowód mam na myśli ciąg uporządkowany zdań jak powyżej, i jest całkowicie obojętne jakie twierdzenie zostaje odwiedzone. W istocie dyskusja dotyczy więc pewnego skończonego zbioru konsekwencji syntaktycznych zadanego zbioru aksjomatów. I tak należy rozumieć obiekt który poniżej nazywam dowodem.

Załóżmy że mamy zdania {a,b,c} o budowie syntaktycznej wiążącej te zdania reguła modus poens ( proszę zwrócić uwagę na kolejność!) {MP(b,a) =c}. Zdaniom tym przyporządkujemy graf, w postaci jak na rysunku poniżej:

MOdusPoens-general

Prosiłbym by czytelnik zwrócił uwagę, że graf jest skierowany, porządek ten zaś wynika z uporządkowania zdań w regule modus ponens. Przyjęliśmy mianowicie konwencję w której pierwsze zdanie to implikacja, drugie to przesłanka, a trzecie to następnik implikacji. Na grafie zaś reprezentujemy to odwracając kolejność implikacji i przesłanki. W poprzednim wpisie, dla takiego ogólnego obiektu wyliczyliśmy, w celach edukacyjnych, grupy homologii.

Tak jak poprzednio przy tak zdefiniowanej reprezentacji graficznej reguły modus ponens możemy kolejne użycia jej w dowodzie przypisać kolejnym trójkątom a w wyniku otrzymamy graf złożony z uporządkowanych trójkątów posklejanych wierzchołkami w miejscach gdzie powtarzają sie w dowodzie przypisane im zdania. Graf ten w swoich wierzchołkach zawiera zdania, zaś jego krawędzie to związek pomiędzy wierzchołkami polegający na tym że wystąpiły one w jednej regule modus ponens. W tym miejscu następuje pewien poważny przeskok koncepcyjny. Dotychczas rozważaliśmy grafy, teraz dołączmy do naszego postępowania także to co znajduje sie pomiędzy nimi. Będziemy uważać, rysunek powyżej przedstawia nie tyle graf z wierzchołkami i krawędziami co element powierzchni – czyli 2 wymiarowy simpleks i konsekwentnie, graf reprezentujący dowód stanie się „zlepkiem” takich simpleksów, czyli kompleksem simplicjalnym.

Podkreślmy że w zbiorze tym simpleks występuje tylko tam, gdzie 3 zdania będące jego wierzchołkami są użyte w pewnej regule modus ponens. Nie ma żadnej możliwości uzupełnienia krawędzi ( np. do postaci simpleksów 3 wymiarowych czyli czworościanów posiadających pewną objętość) tam gdzie reguła modus ponens nie występuje.

W tak otrzymanej strukturze geometrycznej, będziemy rozważać grupy homologii. Dodamy jednak do owej struktury dodatkowa informację o negacji pełnych zdań ( a więc o zdaniach postaci {A= \neg p} dla pewnego zdania {p}. Jakiekolwiek występowanie negacji w innej formie syntaktycznej nie będzie nas interesować, toteż jej użycie np. w koniunkcji, wewnątrz nawiasów itp jest dla nas całkowicie pomijalne. Przypomnijmy dodatkowo że dowód jest sprzeczny, kiedy na liście jego zdań występuje zarówno zdanie {A} jak i {\neg A}.

Formalizacje odwzorowania zbioru dowodu w grupy homologii rozpoczniemy od pokazania obliczeń na przykładzie najprostszych dowodów. Pierwszy z nich ma postać:

\displaystyle a_{0}. a \rightarrow a

\displaystyle a_{1}. a

\displaystyle a_{2}. MP(a_{0},a_{1} ) = a

Mamy zatem do czynienia z prostym simpleksem ( trójkątem skierowanym ) jak na rysunku poniżej:

AiA

gdzie zdanie b jest równe zdaniu a_0 z dowodu powyżej.  W odróżnieniu jednak od obliczeń które pokazaliśmy w poprzednim wpisie, tym razem w trójkącie tym dwa wierzchołki, a i c, są identyczne w tym sensie że zawierają to samo zdanie a.

Moglibyśmy teraz wyliczać ciąg grup kompleksów łańcuchowych tego obiektu, wg. znanych i nie bardzo złożonych zasad rachunków algebry homologii. Rozpoczęlibyśmy zatem od zbudowania ciągu grup abelowych kompleksów łańcuchowych, w następującej postaci:

\displaystyle 0 \overset{\partial_3}{\longrightarrow} C_{2} \overset{\partial_2}{\longrightarrow} C_{1} \overset{\partial_1}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_0 = 0 }{\longrightarrow} 0

Postąpimy jednak nieco inaczej. Obliczenia jak powyższe dają taki sam wynik, jak dla trywialnego przykładu pokazanego wcześniej i nie będziemy tutaj powtarzać tych obliczeń. Natomiast wprowadzimy pewien dodatkowy kompleks łańcuchowy {C_a} oraz odpowiadające mu odwzorowanie {\partial_a}. Grupa {C_a} będzie zawierała wierzchołki wraz z informacją o strukturze związanej z negacją zdań logicznych, zaś odpowiadający jej operator brzegu będzie działała na grupie łańcuchów 0-wymiarowych, a jego działanie będzie zależeć od wewnętrznej struktury związanej z wierzchołkami. Ciąg grup kompleksów łańcuchowych będzie zatem wyglądał tak:

HomologiaOdczepiona

Jak widać „rozdwoiliśmy końcówkę” ciągu grup łańcuchowych, możemy ją nazwać „odczepem” i mówić o „odczepionej” grupie homologii {H_a}. Aby określić działanie operatora {\partial_a} opiszemy jego działanie na generatorach grupy wierzchołków {C_0} zaś jego działanie na elementach pełnej grupy, które są, przypomnijmy, formalnymi sumami elementów zbioru wierzchołków, otrzymamy przez standardowe liniowe rozszerzenie.

Operator {\partial_a} definiujemy za pomocą następującej relacji:

\displaystyle \partial_a ( u) = |u| = u = - \partial_a( \neg u)

I to wszystko.

Zauważmy że działanie operatora {\partial_a} pozostawia działanie innych operatorów brzegu całkowicie niezmienionym. Nie wpływa zatem na wyliczanie żadnych grup homologii, poza swoją własną, oznaczmy ja {H_a}.

Przypatrzmy sę teraz jak wygląda {H_a}. mamy zależność:

\displaystyle H_a = ker( \partial_e ) / img (\partial_1)

Obrazem operatora brzegów {\partial_1} na zbiorze krawędzi, jest oczywiście grupa złożona ze wszystkich wierzchołków, w naszym wypadku {<a,b>}. Czym jest zbiór {ker(\partial_a)}? Jeśli zbiór wierzchołków zawiera wyłącznie różne wierzchołki, to nie istnieje pomiędzy nimi żadna relacja związana z operatorem {\partial_a}. Jest tak, gdyż operator ten przekształca każdy wierzchołek „z orientacją” na tożsamy mu wierzchołek „geometryczny”. Załóżmy że mamy zbiór N takich „wierzchołków z orientacją”. Nawet jeśli niektóre z „wierzchołków z orientacją” zawierają negacje, jeśli są to parami różne zdania, wynik nadal zawiera N wierzchołków, niektóre z nich co najwyżej mają znak minus.

Tak właśnie wygląda sytuacja dla simpleksu przedstawionego na rysunku powyżej. Wyliczmy bowiem jak zostaną przekształcone jego wierzchołki pod wpływem operatora {img (\partial_a)}:

\displaystyle \partial_a(a) = |a| = a

\displaystyle \partial_a(b) = |b| = b

\displaystyle \partial_a(c) = |c| = c

Jak widać zaczęlismy od 3 wierzchołków i na trzech wierzchołkach kończymy. W efekcie grupa homologii {H_a}jest równa:

\displaystyle H_a = 0 / <a,b,c> = 0

A co z pozostałymi grupami homologii? W przykładzie jaki tu rozważamy występuje istotna różnica w stosunku do przykładu trywialnego. A mianowicie zdanie {a = c}, czyli rozważany przez nas trójkąt ma sklejone dwa wierzchołki. Mamy zatem w trójkącie krawędzie {x,y,z} jednak krawędź {z} zaczyna i kończy sie w tym samym punkcie:

\displaystyle \partial_1(x) = b-a

\displaystyle \partial_1(y) = a-b

\displaystyle \partial_1(z) = a-a = 0

Oznacza to iż

\displaystyle Z_1 = ker(\partial_1) = <z,x+y>

Pierwszy generator jadra wynika bezpośrednio z rachunku {\partial(z) =0} zaś ostać drugiego generatora wynika oczywiście z faktu, że w sklejonym trójkącie, dwie pozostałe krawędzie, {x,y} tworzą samodzielny cykl. Tymczasem obraz brzegu trójkąta, to oczywiście suma jego krawędzi tak jak poprzednio:

\displaystyle B_1 = img(\partial_2) = <x+y-z>

Tym samym grupa homologii {H_1} jest równa:

\displaystyle H_1 = ker(\partial_1) / img(\partial_2) = <z,x+y> / <x+y-z> = Z

Grupa {H_0} która mierzy ilość spójnych składowych, jest izomorficzna z {Z} ( mamy tylko jedną składową i jest taka sama jak w poprzednim wypadku ( i dotyczy to wszystkich pozostałych grup).

Podsumujmy – sklejenie wierzchołka {a=c} doprowadziło do zmian w głównym ciągu grup homologii. Sklejenie to spowodowało powstanie dodatkowych jednowymiarowych pętli, zmieniając grupę {H_1}. Jednocześnie grupa odczepiona, jak ją nazwaliśmy, dla teorii niesprzecznej jest grupą trywialną równą grupie złożonej z jednego, tożsamościowego równego 0 elementu addytywnego.

Sytuacja wygląda zupełnie inaczej gdy rozważmy następujący dowód ( sprzeczny):

\displaystyle a_{0}. a \rightarrow \neg a

\displaystyle a_{1}. a

\displaystyle a_{2}. MP(a_{0},a_{1} ) = \neg a

Co odpowiada grafowi jak na rysunku poniżej

AinotA

Podkreślmy że nie ma w tym wypadku mowy o sklejeniu wierzchołków ( na wcześniejszych rysunkach oznaczanych {a} i {c}) gdyż tkwią w nich inne zdania, mianowicie zdania {a} i {\neg a} odpowiednio. Tu obecny pomysł istotnie rożni sie od opisów z kilku poprzednich wpisów. Wynika z tego że mamy do czynienia geometrycznie z przypadkiem trywialnym, odpowiadającym w sensie grup homologii dokładnie obliczeniom z pierwszego przykładu, opisanym w poprzednim wpisie. Zobaczmy jednak jak wygląda odczepiona grupa homologii {H_a}. Sprawdźmy jakie jest działanie operatora {\partial_a} na zbiorze wierzchołków:

\displaystyle \partial(a) = |a| =a

\displaystyle \partial(b) = |b| = b

\displaystyle \partial(c) = - \partial(a) = -|a|

Widzimy wyraźnie, że w zbiorze tym istnieje relacja która sprawia, że pewna suma generatorów {<a,b,c>} jest równa zeru, mianowicie {a+c = 0}. Czyli {Z_a=ker(\partial_a ) = <a+c>}. Natomiast obraz {B_0= img(\partial_1)} czyli zbiór brzegów, ma standardowe generatory {<b-a,c-b,c-a>} wraz z relacją, że wierzchołki te są spięte w cykl brzegu trójkąta. Grupa ilorazowa:

\displaystyle Z_a / B_0 = <a+c> / <b-a,c-b> = Z / 2Z = \{ 0,1 \}

Wyjaśnijmy. W mianowniku mamy tylko 2 a nie trzy generatory, gdyż relacja „spinająca trójkąt” pozwala wyeliminować jeden z generatorów związanych z wierzchołkami. Mamy zatem grupę ilorazową grup o jednym generatorze wolnym ( w liczniku) i 2 generatorach ( w mianowniku). Grupa w liczniku jest izomorficzna z zbiorem liczb naturalnych, zaś w mianowniku z suma prosta 2 takich grup. Iloraz jest grupą skończoną, złożoną z 2 elementów, 0,1, izomorficzną do grupy Z mod 2. Innymi słowy jest to grupa cykliczna, skończona o 2 elementach.

Mamy zatem następująca sytuację – dla przypadku teorii sprzecznej, odczepiona grupa homologii jest nietrywialną grupą skończoną, zaś pozostałe grupy homologii pozostają bez zmian.

Powyżej mieliśmy do czynienia z sytuacją wystąpienia jednej pary zdań sprzecznych. Wystąpienie większej liczby takich par, zwiększa wymiary grupy odczepionej – zyska ona nowe generatory. Jednocześnie będziemy oczekiwać, że nadal pozostanie ona grupą skończoną ( co wynika z faktu że ilość generatorów w jądrze operatora brzegu wynika z ilości par zdań sprzecznych, zaś w mianowniku z ilości cykli związanych z krawędziami. Analizowany graf ma w pewnym sensie minimalną liczbę krawędzi, i w bardziej skomplikowanych grafach liczba cykli złożonych z krawędzi będzie tylko większa )

I to by było na tyle w temacie grup homologii. Podane przykłady łatwo uogólniają sie na bardziej złożone teorie logiczne/kompleksy łańcuchów. W dalszych wpisach z tego cyklu będziemy z pewnością analizowali rozmaite konsekwencje przytoczonych definicji. W tym miejscu chciałbym sie jednak zastanowić nad ogólną sytuacją i możliwymi uogólnieniami.

Po pierwsze, pokazany ciąg homologii z doczepioną homologią odczepioną wygląda nieco sztucznie, ma jednak tą zaletę że w zerowym stopniu modyfikuje pozostałe grupy homologii.

Po drugie operator {\partial_a} został zdefiniowany w sposób uwzględniający własności negacji – jej zachowanie – na przykład zasada wyłączonego środka – przypomina oczywiście działanie grupy alternującej. Stąd propozycja definicji {\partial_a} podana powyżej. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by zamiast obiektów logicznych rozpatrywać ogólne sympleksy, zaś zamiast zdań i ich negacji w każdym wierzchołku umieszczać obiekt z jakąś bogatą strykturą wewnętrzną, reprezentowaną przez grupę ( skończoną lub nie?). Odczepiona grupa homologii mierzy „zgodność” wierzchołków która, w odróżnieniu od własności mierzonych przez pozostałe grupy homologii, nie jest związana z własnościami geometrycznymi a jednocześnie nie jest lokalna. Wyobraźmy sobie sieć spinów, gdzie każdy z wierzchołków zawiera element grupy spinorowej. Grupa odczepiona może wówczas mierzyć własności związane z nierozróżnialnością cząstek umieszczonych w takim „krysztale spinowym”. Nie spotkałem sie z taką konstrukcją nigdzie, a nie wydaje sie być ona całkowicie pozbawiona zabawnych cech, czy może nawet praktycznych właściwości ( opis kryształu z pełną delokalizacją cząstek w określonej liczbie rozróżnialnych stanów spinowych). Widać, że uogólnienie w tym kierunku jest zarówno możliwe jak i niebanalne!

Po trzecie, dla przypadku logiki, konstrukcja homologii odczepionej, przedstawiona powyżej, wydaje się być dosyć przejrzysta. Kolejnym krokiem ( obok analizy homologicznych konsekwencji przedstawionych pomysłów) jest analiza teorii kohomologii. Kohomologia to teoria zajmująca sie odwzorowaniami liniowymi nad grupami homologii, albo alternatywnie, teoria analizująca związki odwrotne w stosunku do homologii. W wypadku homologii mieliśmy grypy łańcuchowe {C_k,C_a} analizowaliśmy które z cykli sa identyczne z dokładnością do brzegów obiektów o jeden większego wymiaru. W wypadku kohomologii sprawdzamy brzegami jakich obszarów większego wymiaru, są zadane cykle. nie posiadam obecnie wiedzy by napisać na ten temat cokolwiek sensownego, dlatego chętnie sformułuję przypuszczenie, że w kontekście logiki oznacza to analizowanie następującego zagadnienia. Brzegiem jakiego kompleksu symplicjalnego ( będącego geometrycznym modelem jakiegoś logicznego systemu formalnego, w tym kontekście – zwykle będzie to kompleks nieskończony! ) może być dowód sprzeczny?

ModusPoens2

Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?

Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky, zdobędziemy władze nad światem!

Mam wrażenie że udało mi się wreszcie sformalizować intuicje związane z odwzorowaniem zbioru zdań dowodu w systemie formalnym ( ogólniej – zbioru zdań konsekwencji syntaktycznych zadanego zbioru zdań) w zbiór grup homologii. Ostateczna wersja dosyć istotnie odbiega od pomysłów poprzednich, jest bardziej elegancka jak sądzę, pozwala na ciekawe uogólnienia ( także w sensie teorii homologii) i ma pewien potencjał rozwojowy ( teorie kohomologii, o których na razie zbyt mało wiem by rozważać coś więcej). Formalizacja którą opisze poniżej, odbywa się w pewien konserwatywny, czy minimalny sposób, i polega na rozszerzeniu ciągu grup kompleksów łańcuchowych o dodatkowy element związany z odwzorowaniem wierzchołków w grupę alternującą. Aby jednak uniknąć opisywania abstrakcyjnego nonsensu, całość zostanie przedstawiona na przykładach obliczeń, które dosyć łatwo uogólnić.

Tradycją tego bloga, i moją ambicją, było dotychczas aby tekstu tu prezentowane mogły być czytane przez osoby z minimalnym przygotowaniem, toteż starałem się podawać cały potrzebny materiał, tak przystępnie jak tylko byłem w stanie. I tym razem postąpimy podobnie, zaczniemy od wprowadzenia pojęcia homologii, a w kolejnym wpisie odniesiemy ją do logiki.

Przypomnijmy że cała idea sprowadza się do tego że jeśli mamy zdania {a,b,c} o budowie syntaktycznej wiążącej te zdania reguła modus ponens ( proszę zwrócić uwagę na kolejność!) {MP(b,a) =c}, to zdaniom tym przyporządkujemy graf, w postaci jak na rysunku poniżej:

MOdusPoens-general

I dla takiego prostego obiektu będziemy starali sie, w celu edukacyjnym i by przygotować się do bardziej ambitnych wyzwań,  skonstruować grupy homologii.

Po pierwsze wyjaśnijmy co jest ta rysunku! Na rysunku powyżej, mamy obiekt płaski, trójkąt {X}. Jest to element powierzchni obdarzony orientacją zadaną przez kierunek obiegu jego krawędzi. Krawędzie te oznaczymy {x,y,z}. Krawędzie te łączą wierzchołki, na rysunku oznaczone {a,b,c}. Wypisane obiekty mają następujące wymiary: trójkąt jest obiektem 2 wymiarowym, krawędzie skierowane sa 1-dno wymiarowe, zaś wierzchołki to obiekty 0-wymiarowe. Brak na rysunku obiektów o wymiarach większych niż 2 i mniejszych niż 0 oczywiście. Obiekty te nie są bynajmniej niezależne, ale połączone sa w dosyć szczególny sposób. Na przykład każda krawędź ma dwa wierzchołki, zaś fakt iż złożenie krawędzie jest tak szczególne że tworzą pętlę – brzeg trójkąta – wynika że wierzchołek będący końcem jednej z krawędzi jest początkiem następnej i sytuacja ta powtarza sie tworząc cykl wierzchołków, w którym każdy z nich pojawia sie dwa razy – raz jako początek a raz jako koniec pewnej krawędzi.

Wyjściem dla budowania teorii homologii, która stara sie uchwycić właśnie takie wzajemne relacje pomiędzy elementami składowymi obiektu geometrycznego ( ogólniej topologicznego) jest zdefiniowanie dla każdego wymiaru części składowych, formalnego odwzorowania w grupę przemienną. Na przykład rozważmy sumę krawędzi {x+y}. Sumę ta będziemy traktować czysto formalnie, niemniej warto spostrzec, że chcąc być konsekwentny musimy uznać iż spełniona jest własność: {x+y=z} lub inaczej: {x+y-z=0} gdyż położenie wzajemne krawędzi jest takie ze tworzą one pętlę. Ponieważ suma jest czysto formalna, nic nie zabrania nam rozważać obiektów bardziej wymyślnych, na przykład {3x-4y+5z}. Konsekwentne postępowanie wymaga jednak by przyjąć że {mx+my-mz = m(x+y-z) =0} bo taka kombinacja zawsze oznacza ( moglibyśmy starać się to zinterpretować) m-krotne obejście pętli brzegu trójkąta. Całkiem identyczne obiekty, sumy formalne, możemy rozważać w wypadku wierzchołków czy wnętrza trójkąta i innych, więcej wymiarowych obiektów gdyby takowe występowały.

Grupę abelową obiektów o wymiarze {n} oznaczamy {C_n} i nazywamy n-tą grupą łańcuchową kompleksu X ( który w naszym przypadku jest szczególnie prosty, jest bowiem pojedynczym sympleksem). I tak grupa krawędzi, a więc 1-sza grupa łańcuchowa naszego trójkąta, jest generowana przez 3 elementy {<x,y,z>}. Nie jest to jednak grupa wolna ( a więc nie wszystkie elementy te są niezależne!). Z faktu istnienia relacji {x+y-z = 0} wynika że istnieje pomiędzy generatorami grupy związek, zaś sama grupa ma co najwyżej 2 niezależne elementy ( i tu już mamy pełną dowolność, mogą być to dowolne dwa boki trójkąta, np. {x,y} lub ich dowolna kombinacja liniowa). Jak widać niektóre związki pomiędzy elementami grupy łańcuchowej {C_1} ( krawędzi) w naszym przypadku były interesujące, czyli grupy takie mają czasami wewnętrzną strukturę! Istnieją także związki pomiędzy grupami o różnych {n}!

Weźmy grupę jaka jest związana z wnętrzem ( powierzchnią) trójkąta. Mamy tylko jeden trójkąt, cała grupa {C_2} jest zatem dosyć uboga, zawiera bowiem tylko jeden element {<X>}. Wszystko co możemy z takim elementem nawyczyniać, sprowadza sie do dodawania ( bądź odejmowania) go pewną liczbę razy, np. elementami grupy sa wyrażenia: {X+X, 34X, -7X} Brak jest też jakichkolwiek związków ograniczających ten element, jest więc to grupa wolna abelowa o jednym elemencie, czyli grupa izomorficzna ze zbiorem liczb całkowitych {Z}. Jednak brzeg tej figury, czyli zbiór jej skierowanych krawędzi, jak widzieliśmy ma niebanalną strukturę! Zdefiniujmy operator, oznaczany symbolem {\partial_2}, który działając na 2 wymiarowy trójkąt {X} przyporządkuje mu element grupy łańcuchowej wymiaru 1-mniejszej, a więc element z {C_1}, który będzie reprezentował brzeg figury {X}. Oczywiście wyliczenie wygląda następująco:

\displaystyle \partial_2 (X) = x+y-z

Całkiem podobnie możemy postąpić w wypadku krawędzi. Krawędzie są skierowane, zdefiniujmy więc podobne odwzorowanie do obiektów o wymiarze 1- mniej, w tym wypadku do grupy wierzchołków, które owo skierowanie będzie brało pod uwagę. Naturalne jest przyjęcie że operator {\partial_1} który każdej krawędzi przyporządkuje element grupy łańcuchowej wierzchołków będzie działał w sposób następujący:

\displaystyle \partial_1 (x) = b-a

\displaystyle \partial_1(y) = c-b

\displaystyle \partial_1(z) = c-a

Aby sprawdzić że się nie pomyliliśmy, policzmy ile wynosi {\partial_1 (x+y-z)} Mamy:

\displaystyle \partial_1 (x+y -z ) = \partial_1(x) + \partial_1 (y) - \partial_1 (z) = b-a +c -b -c +a = 0

co zgadza sie z obserwacją, że krawędzie trójkąta domykają się w pętlę.

A co z brzegiem wierzchołka? Czy możliwe jest zdefiniowanie operacji {\partial_0} ? Ile wynosi na przykład {\partial_0 (a)} ? Arbitralnie przyjmiemy że wynik to 0 w każdym wypadku.

Mamy zatem następująca sytuację.

\displaystyle 0 \overset{\partial_3}{\longrightarrow} C_{2} \overset{\partial_2}{\longrightarrow} C_{1} \overset{\partial_1}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_0 = 0 }{\longrightarrow} 0

Zera na początku i na końcu pokazanego ciągu grup i wzajemnych odwzorowań oznaczają że w trójkącie nie ma obiektów o wymiarze mniejszym niż 0 i większym niż 2.

Widzieliśmy powyżej, że operator {\partial_1(x+y-z) = 0}. Zbiór elementów grupy {C_1} których obrazem w grupie {C_0} przy przekształceniu {\partial_1} jest 0, określa się nazwą jądra ( kernel) operatora. Oczywiście suma czy różnica takich elementów także daje zero, co oznacza, jest to zresztą ogólna właściwość algebraiczna, że elementy jądra tworzą podgrupę. Zbiór ten w naszym przypadku złożony jest z jednego elementu, reprezentującego kompleks łańcuchowy odpowiadający brzegowi trójkąta. Symbolicznie zapisujemy to w następujący sposób:

\displaystyle Z_1 = ker (\partial_1 )

Zwróćmy uwagę, ze brzeg ów, jest z kolei obrazem całego trójkąta (X) przy odwzorowaniu {\partial_2} (M proszę zwrócić uwagę na indeks przy literze {B}):

\displaystyle B_1 = img (\partial_2)

I tym razem mamy do czynienia z podgrupą, gdyż suma formalna brzegów figur, jest brzegiem figury będącej ich sumą. Operator brzegu przypisuje figurom płaskim ich brzegi, a brzegi takie są zawsze łańcuchami cyklicznymi, czyli zamkniętymi pętlami. Nic więc dziwnego, że elementy grupy {B_1} leżą w grupie {Z_1} ( bo każdy cykl w przekształceniu {\partial_1} jest mapowany na 0). W naszym wypadku grupy te są wręcz równe, wynika to jednak z faktu że rozważamy wyjątkowo prosty przykład. Gdyby zamiast trójkąta rozważać figurę która zawiera „dziurę” w swoim wnętrzu, istniałyby także cykle krawędzi, które nie są brzegami żadnej powierzchni ( nie mają żadnego „wypełnienia” ). W takim wypadku grupa {B_1} byłaby podgrupą właściwą, zaś grupa {Z_1} cykli krawędziowych zawiewałaby obok elementów będących brzegami rozmaitych pól płaskich na jakie dzielilibyśmy taką figurę, także elementy będące cyklami pomimo iż nie otaczają „niczego”. Pierwszą grupą homologii {H_1} nazywamy grupę ilorazową grup {Z_1/ B_1}. Analogicznie n-tą grupą homologii jest grupa ilorazowa grup {Z_n/ B_n}:

\displaystyle H_n = Z_n/ B_n = ker(\partial_{n} ) / img(\partial_{(n+1)})

.

Wyliczmy zatem grupy homologii dla naszych grup łańcuchowych {C_k}. Dla k=2 jądro jest puste, gdyż żadna kombinacja 2-wymiarowych elementów ( a mamy tylko jeden: X ), nie sumuje sie do zamkniętej powłoki. Oczywiście nie ma także żadnych 3-wymiarowych obiektów… Zatem:

\displaystyle H_2 = ker( \partial_2 ) / img (\partial_3 ) = 0 / 0 =0

widać zatem że wszystkie grupy homologii {H_n} dla {n \geq 2} są równe 0.

\displaystyle H_1 = ker (\partial_1 ) / img (\partial_2 ) = <x+y-z> / <x+y-z> = 0

Zwróćmy tu uwagę, że w powyższym równaniu 0 po prawej stronie oznacza trywialną grupę złożona z jednego elementu – identyczności w grupie abelowej – a więc 0.

Teraz wyliczmy grupę homologii dla n=0. Ponieważ arbitralnie przyjęliśmy, że {\partial_0 = 0} to jądrem tego odwzorowania jest cała grupa wierzchołków, a wiec jądro to trójelementowa grupa wolna o 3 generatorach {<a,b,c>}. Przypomnijmy że powyżej wyliczyliśmy jakie sa elementy produkowane z krawędzi przez odwzorowanie {\partial_1} ( na przykład {\partial_{1}(x) = b-a} ). Obraz ten produkuje 3 elementy, które jednak, jak już wspominaliśmy nie są niezależne, bowiem wierzchołki owe spinają się w pętle brzegu trójkąta. Mieliśmy relację {x+y-z = 0} ( którą formalnie powinniśmy zapisać za pomocą symboli wierzchołków {a,b,c}, gdyż rozumiemy ja jako relację w zbiorze {C_0} a nie {C_1} którego elementami są {x,y,z}). Tym samym w zbiorze {<b-a,c-b,c-a>} tylko dwa elementy są niezależne, a trzeci można wyeliminować. Zatem grupa brzegów {img( \partial_1)} jest grupą wolną o generatorach {<b-a,c-b>} zaś trzeci element {c-a} jest od nich zależny ( łatwo sprawdzić że jest ich sumą!). Mamy:

\displaystyle H_0 = ker( \partial_0) / img (\partial_1) = <a,b,c>/<b-a,b-c>

Zauważmy że możliwe jest przejście od {<a,b,c>} do {<a,b-a,c-b>} bo polega ono na zamianie generatorów {a,b,c} przez ich liniowe i niezależne kombinacje co jest operacją dopuszczalną ( gdyż nie zmienia struktury grupy, stare generatory są liniowymi kombinacjami nowych i nie zmieniliśmy liczby generatorów niezależnych). Mamy zatem:

\displaystyle H_0= <a,b-a,c-b>/<b-a,c-b> = <a> = Z

Wynik nie jest zaskakujący, zwłaszcza że grupa {H_0} ma geometryczną interpretację: mierzy ilość składowych spójnych figury, w naszym wypadku trójkąta, który oczywiście ma tylko jedną składową spójną. Pozostałe grupy homologii, w naszym wypadku trywialne, także dają się geometrycznie interpretować. Mierzą one mianowicie ilość dziur o stosownych wymiarach. I tak np. grupa {H_1} mierzy ilość „pustych oczek” czyli dziur w figurze otoczonych jednowymiarowymi łańcuchami cyklicznymi które nie są wypełnione ( nie są brzegiem żadnej figury płaskiej pełnej). Z kolei {H_2} mierzy ilość cykli 2-wymiarowych które otaczają 2 wymiarowe otwory ( coś jak wnętrze walca, rurki, lunety), które nie są brzegiem żadnej figury posiadającej objętość ( wyplenionej).

Zauważmy że branie grupy ilorazowej we wzorze na grupę homologii właśnie taki ma cel – eliminuje z pełnej grupy cykli na n-tym poziomie te cykle, które są brzegami figur wymiaru n+1. Stąd homologia mierzy wzajemne położenia (homo-gogie) składowych o rożnych wymiarach w figurze geometrycznej. Teoria homologii została zapoczątkowana przez Poincare w trakcie jego prac nad topologia, obecnie zaś została znacząco uogólniona i rozszczepiona na wiele dziedzin o wspólnych korzeniach, od czysto geometrycznej klasycznej teorii homologii, przez rozmaite uogólnienia jak teoria (ko)homologii Cecha, aż do obiektów całkowicie abstrakcyjnych jak homologia kombinatoryczna i algebra homologiczna. Cechą wspólną wszystkich tych teorii pozostaje występowanie ciągu grup jak na diagramie grup kompleksów łańcuchowych wraz z przekształceniem \partial o stosownie ( do czego wrócimy) zdefiniowanych, nieraz aksjomatycznie, własnościach. Jeśli kogoś ciekawią zagadnienia topologii algebraicznej której teoria homologii jest twardym rdzeniem, polecam ten ciąg wykładów autorstwa N.J.Wildbergera. Forma wykładów jest bardzo elementarna, zaś przykłady obliczane w sposób bardzo szczegółowy, można skoczyć od razu w okolice wykładu 30-tego gdzie znajdują się zagadnienia związane z teorią homologii właśnie.

To już wszystko w tym wpisie. Przygotowałem sobie aparat za pomocą którego w kolejnym będę w stanie opisać jak zmodyfikować ciąg grup łańcuchowych {C_k} tak by zawierał informacje o zdaniach logicznych które w naszym wypadku będą leżały w wierzchołkach figury. Zapraszam.

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Dołącz do 884 obserwujących.

%d bloggers like this: