Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?

Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky: zdobędziemy władze nad światem!

ModusPoens2

W poprzednich odcinkach opisałem pomysł odwzorowania zbioru zdań dowodu w systemie formalnym, na strukturę topologiczną typu zbioru simplicjalnego ( czyli zbioru złożonego z „porządnie” posklejanych simpleksów). Ponieważ spostrzegłem wiele niejasności i sam nie mam pewności czy konstrukcja ta jest sensowna, postanowiłem że zacznę od nowa, od najprostszych przypadków. Wpis ten ma pokazać na kilku obrazkach istotę konstrukcji dla pewnych elementarnych i bardzo krótkich dowodów. Będę się przy tym starał opisać całą konstrukcję raz jeszcze ( a więc z konieczności będę się powtarzał) wszakże obecnie wyrobiłem sobie nieco inny obraz całej sytuacji i mam nadzieję że będzie on bardziej czytelny niż poprzednie wpisy.

Zacznijmy od tego czym system formalny i dowód w ramach takiego systemu. System formalny to zbiór zdań logicznych złożony z zdań wyróżnionych, zwanych aksjomatami,oraz pewnego zestawu reguł przekształcania napisów zwanych regułami inferencji, dedukcji lub wnioskowania. Reguły wnioskowania akceptują pewną formę zdań ( w sensie czysto graficznym, syntaktycznym, jako napisy) i pozwalają na podstawie takich argumentów, uznać że do systemu wolno nam dopisać kolejne, określone w swojej formie syntaktycznej przez „mechanikę reguły wnioskowania”, zdanie. Modelowym przykładem reguły wnioskowania jest reguła modus ponens, mająca postać: jeśli w zbiorze zdań występuje zdanie { P= ''A \rightarrow B'' }, oraz zdanie {Q=''A''} to możemy dopisać zdanie {S=''B''}. Symbolicznie będę tą regułę zapisywał w formie {MP(P,Q) =S} co jest oczywiście równoważne zapisowi {MP(A \rightarrow B,A) = B}. Powiedzmy tutaj jasno że modus ponens jest regułą syntaktyczną zaś zdania w cudzysłowach,a wiec faktyczna postać syntaktyczna zdań, jest kluczowa dla jej zastosowania. Nie ma sensu używanie reguły {MP(P,Q) = S} dla „abstrakcyjnych” zdań {P,Q,S}. Jeśli poprawnie zastosowano regułę modus ponens, zdania {P,Q,S} miały określona ( i wypisaną jawnie powyżej) postać syntaktyczną ( to znaczy istniały takie zdania {A,B} że {P=''A=B''}, {Q=''A''} … itp. cudzysłowu używam w tym kontekście po to by jednoznacznie określić co jest zdaniem o które nam chodzi – mianowicie na przykład wyrażenie {P=''A \rightarrow B''} oznacza że istnieją zdania {A i B} takie że zdanie {P} ma postać jak w cudzysłowie. )

Dowodem zdania {S} w systemie logicznym zawierającym aksjomaty i regułę dedukcyjną modus ponens jest uporządkowany ciąg zdań { \{ a_{0},a_{1},a_{2} \cdots ,a_{n} \} } gdzie {a_{n} = S}, zaś zdania numerowane od {1, \cdots n-1} to aksjomaty, tautologie lub wcześniej dowiedzione zdania. Ponieważ wcześniej dowiedzione twierdzenia mają dowody ( a więc ciągi zdań…), możemy przyjąć ( zastępując każde zdanie w powyższym ciągu jego dowodem) że zdania {a_{1}, \cdots a_{(n-1)}} to aksjomaty lub tautologie. Dla każdego podciągu uporządkowanego { \{ a_{0} \cdots , a_{k},a_{(k+1)} \} } istnieje reguła wnioskowania ( inferencji, dedukcji), która pozwala wyprowadzić zdanie {a_{(k+1)}} z zdań {a_{0},\cdots , a_{k}}. Jest to klasyczna definicja dowodu, czytelnik spotkał sie z nią zapewne wielokrotnie.

Pewnej uwagi wymaga kwestia uporządkowania zdań w dowodzie. Co do zasady aksjomat lub zdanie uprzednio dowiedzione może się pojawiać na liście w dowolnym miejscu i dowolną ilość razy. Nowe zdania ( takie których nie ma na liście ) pojawiają się wyłącznie dzięki stosowaniu reguł dedukcji, w naszym przypadku – wyłącznie modus ponens. Jednocześnie, jak wspomnieliśmy aksjomaty, są zdaniami. Jest to konwencja różna od zwyczajowo stosowanej, mianowicie zwykle rozważa sie schematy aksjomatów. Oznacza to że np. wyrażenie ( założone jako aksjomat na przykład w systemie logiki Hilberta)

\displaystyle \phi \Rightarrow ( \psi \Rightarrow \phi )

nie reprezentuje zdania logicznego ale cały zbiór zdań, powstałych przez zastąpienie występujących w nim zmiennych {\phi,\psi} przez wszelkie możliwe i poprawne składniowo kombinacje zdań elementarnych ( które oznaczamy {P,Q,S...}) uzyskane przez zastosowanie spójników logicznych ( alternatywa, koniunkcja, implikacja, negacja itp.). Tym samym zbiór aksjomatów jest oczywiście zbiorem nieskończonym, przeliczalnym, zaś jego numeracja może odpowiadać pewnej arbitralnej ale określonej konwencji na przykład zdefiniowanej za pomocą złożoności składniowej zdania itp. Nie jest to w tej chwili kwestia istotna, głównie z tego powodu, że standardowy dowód to skończony ciąg zdań, a zatem i zawiera skończoną liczbę „realizacji” schematu aksjomatu i każde z tych zdań może mieć przypisany kolejny numer ( a nawet możemy przypisać różne numery tym samym zdaniom, np. ten sam aksjomat może być zdaniem 2, 10 i 12 na liście). Zauważmy, że choć w dalszym ciągu wywodu będę używał pojęcia dowodu, jak zdefiniowane powyżej, nie ma tu potrzeby by ograniczać się do dowodów konkretnych i określonych twierdzeń. Możemy powiedzieć, ze badamy po prostu uporządkowane ze względu na regułę modus ponens ciągi zdań z wyróżnionym, skończonym podciągiem startowym zwanym zbiorem aksjomatów i tego typu ogólność będziemy stale utrzymywali.

Załóżmy że mamy zdania {P,Q,S} o budowie syntaktycznej jak wypisana powyżej. Zdaniom tym przyporządkujemy graf, w postaci jak na rysunku poniżej:

ModusPoens

Prosiłbym by czytelnik zwrócił uwagę, że graf jest skierowany, porządek ten zaś wynika z uporządkowania zdań w regule modus ponens. Przyjęliśmy mianowicie konwencję w której pierwsze zdanie to implikacja, drugie to przesłanka, a trzecie to następnik implikacji. Konwencja ta nie jest całkowicie arbitralna i choć właściwie nigdzie nie będziemy w dalszym ciągu się na nią powoływać ponad fakt, że została określona i będziemy konsekwentnie jej używać, to ma ona dalece idące konsekwencje koncepcyjne. Nie przemyślałem tego faktu dostatecznie głęboko, wszakże konwencja wynikająca z korespondencji Currego-Howarda każe odnieść modus ponens do pojęcia „aplikacji funkcji” i można w tym kontekście przyjąć że nasza konwencja oznacza iż podajemy wpierw funkcję ( której odpowiada implikacja) a następnie jej argument czyli przesłankę implikacji, zaś w wyniku otrzymujemy następnik implikacji. Tymczasem w grafie postępujemy odwrotnie i odwracamy kolejność strzałek tak by pierwsza była przesłanka ( argument funkcji) który zgodnie ze strzałkami trafia pod działanie funkcji ( implikacja) i w wyniku dostajemy następnik implikacji. Owo odwrócenie kolejności ma znaczenie dla dalszych rozważań – stawiając przesłankę i następnik po „przeciwnych stronach” obiektu który zostanie dalej zdefiniowany a zwany jest plakietką ( proszę czytelnika o cierpliwość, kolejny przykład wyjaśni co mam tu na myśli).

Przy tak zdefiniowanej reprezentacji graficznej reguły modus ponens możemy kolejne użycia jej w dowodzie przypisać kolejnym trójkątom a w wyniku otrzymamy graf złożony z zorientowanych trójkątów posklejanych wierzchołkami. Graf ten w swoich wierzchołkach zawiera zdania, zaś jego krawędzie to związek pomiędzy wierzchołkami polegający na tym że wystąpiły one w jednej regule modus ponens. W tym miejscu następuje pewien poważny przeskok koncepcyjny. Dotychczas rozważaliśmy grafy, teraz dołączmy do naszego postępowania także to co znajduje się pomiędzy ich krawędziami. Będziemy uważać, że rysunek powyżej przedstawia nie tyle graf z wierzchołkami i krawędziami co element powierzchni – czyli 2 wymiarowy simpleks i konsekwentnie, graf reprezentujący dowód stanie się „zlepkiem” takich simpleksów, czyli kompleksem simplicjalnym ( bo z konstrukcji złączenie następuje wyłącznie w wierzchołkach lub wzdłuż krawędzi – o tym za chwilę).

Podkreślmy że w zbiorze tym simpleks występuje tylko tam, gdzie 3 zdania będące jego wierzchołkami są użyte w pewnej regule modus ponens. Nie ma żadnej możliwości uzupełnienia krawędzi ( np. do postaci simplesków 3 wymiarowych czyli czworościanów posiadających pewną objętość) tam gdzie reguła modus ponenes nie występuje. Operacje wstawiania i usuwania krawędzi, są istotne dla dalszych uogólnień, na razie jednak nie jestem w stanie podać ich spójnej definicji.

Typową sytuacją w zbiorze o jakim piszemy jest wspólny wierzchołek pomiędzy dwoma regułami modus ponens, to jest następująca sytuacja: istnieją zdania {A,B,C,D,E} takie że {MP(A,B) =C} oraz {MP(C,D)=E}. Jak widać mamy tu dwa simpleksy {(B,A,C)} oraz {(D,C,E)} ( zwracam uwagę na zmienioną kolejność wierzchołków w geometrycznej reprezentacji w stosunku do kolejności w regule modus ponens!) które mają wspólny wierzchołek.

Inna możliwa sytuacja to wspólna krawędź:

\displaystyle MP(A,B)=C

\displaystyle MP(B,C)=D

W tym przypadku mamy simpleksy {(B,A,C)} oraz {(C,B,D)} posiadające wspólna krawędź {(B,C)} czyli wspólny simpleks jednowymiarowy. Przykład takich zdań to: {A=''(s \rightarrow q) \rightarrow s''}, {B=''s \rightarrow q''}, {C=''s''}, {D=''q''}. Proszę sprawdzić że relacja powyżej jest spełniona.

Ciekawym pytaniem jest czy możliwe jest zbudowanie czworościanu, czyli simpleksu 3-wymairowego, o właściwej strukturze syntaktycznej zdań tak by każda ściana reprezentowała modus ponens i czworościan był właściwie zorientowany ( na zewnątrz, regułą lewej dłoni). Innymi słowy czy możliwa jest następująca konstrukcja:

\displaystyle MP(A,B)=C

\displaystyle MP(B,C)=D

\displaystyle MP(A,B)=D

\displaystyle MP(C,A)=D

dla różnych zdań {A,B,C,D}. Podkreślmy że ostatni warunek jest tu istotny. Polecam czytelnikowi jako ćwiczenie z zabawy tautologiami próbę zbudowania takiego obiektu. Zwrócę tu dodatkowo uwagę, że choć jak przypuszczam w ogólności nie jest to możliwe ( regułą modus ponens nie jest tranzytywna, własność tranzytywności ma natomiast sama implikacja), to być może stosowna konstrukcja jest możliwa przy dodatkowym założeniu o prawdziwości występujących w niej zdań np. że prawdziwe jest zdanie „B i C” itp…

Przy przyjętych założeniach, powstały graf wyraża wyłącznie strukturę wynikła ze stosowania reguły modus ponens. Odwzorowanie powyższe, pomiędzy dowodem a kompleksem symplicjalnym całkowicie pomija wewnętrzną strukturę zdań. Nic więc dziwnego że właściwie niewiele z niego wynika. Chciałbym dodać do obrazu powyżej informację na temat sprzeczności w dowodzie.

Przypomnijmy że dowód jest sprzeczny, kiedy na liście jego zdań występuje zarówno zdanie {A} jak i {\neg A}. Oczywiście w praktyce szukamy dowodów niesprzecznych, nic jednak nie stoi na przeszkodzie by analizować i sprzeczne. Co więcej, we wszystkich rozważaniach rozpatrujemy jedynie konsekwencje syntaktyczne, tak więc nie mówimy np. o wartościowaniu zdań, nie analizujemy które z nich są prawdziwe itp. Nie ma więc przeszkód by analizować uporządkowane ciągi zdań zawierające także i wyrażenia {A} i {\neg A}. Przy takich założeniach ciąg zdań, który nazywamy dowodem nie jest ciągiem sprzecznym tak długo jak długo nie występuje w nim para zdań sprzecznych! O ile w logice czy teorii modeli zwykle stosuje sie natychmiastowe uogólnienie polegające na dołożeniu do danego zbioru zdań, wszystkich ich konsekwencji syntaktycznych lub semantycznych, i o sprzeczności mówi sie w kontekście takie, nieskończonego obiektu, o tyle tu podkreślmy wyraźnie rozmawiamy wyłącznie o skończonych zbiorach zdań. Tym samym zbiór zdań, wśród którego konsekwencji występują sprzeczności, będzie przez nas rozważany jako zbiór niesprzeczny tak długo, jak długo owe zdania sprzeczne nie zostaną jawnie wyprowadzone ( dołączone do zbioru, doklejone kompleksu simpleksów) regułą modus ponens.

Rozważmy bardzo prostą zabawkową teorie o następujących aksjomatach:

\displaystyle a_{0}. A \rightarrow A

\displaystyle a_{1}. A

Bezpośrednie zastosowanie {MP(a_{0},a_{1} )} dale w wyniku zdanie A. Przedstawimy tą sytuację za pomocą następującego grafu.

MP-A-A

Tak jak na pierwszym rysunku, relacja modus poens między zdaniami jest przedstawiona za pomocą ciągłych, skierowanych linii, zaś kierunek przepływa od przesłanki przez implikację do następnika implikacji. Tym razem jednak każde kolejne zdanie, poprzednio reprezentowane jako punktowy wierzchołek, zostało pokazane jako odcinek obdarzony kierunkiem. Można uznać że w naszym odwzorowaniu każdemu wierzchołkowi przyporządkowaliśmy uporządkowaną parę punktów. Nadal moglibyśmy odwoływać sie do obiektu na rysunku powyżej jako do simpleksu ( dokonując dodatkowych odwzorowań wierzchołków w grupę alternującą itp. wierze że taka konstrukcja jest możliwa, zapewne gdyby ja wykonać teoria zyskałaby na ścisłości ) wszakże dla prostoty przedstawienia konsekwencji takiego rozszerzenia będę obiekty jak na rysunku powyżej nazywał plakietkami.

Po pierwsze linie ciągłe nadal reprezentują regułę modus ponens i ich orientacja jest nadal ustalona w taki sam sposób jak wcześniej. Zwróćmy uwagę że zdanie {A} występuje na rysunku dwukrotnie – raz jako przesłanka a raz jako następnik. jest to jednak to samo zdanie, możemy zatem ‚skleić” naszą plakietkę. Przymnijmy że mówimy tu o „geometrycznej” czy „topologicznej” reprezentacji, a więc o powierzchni. Otrzymamy w wyniku figurę topologicznią izomorficzną z powierzchnią boczną walca. Zauważmy że cały efekt uzyskaliśmy dzięki stosownej orientacji zdania {A} w wierzchołku w którym występuje on jako następnik implikacji ( wniosek).

Jako kolejny przykład rozważmy następującą, inną, teorię:

\displaystyle b_0. A \rightarrow \neg A

\displaystyle b_1. A

Bezpośrednie zastosowanie {MP(b_{0},b_{1} )} daje oczywiście zdanie {\neg A}. Oczywiście „teoria” którą się tu bawimy jest jawnie sprzeczna ( i faktycznie regułą modus ponens produkuje nam sprzeczność syntaktyczną po jednokrotnym jej zastosowaniu). Tym razem reprezentacja graficzna ma następująca postać:

MP-A-notA

Proszę zwrócić uwagę na odwróconą kolejność wierzchołków reprezentujących zdanie {\neg A}, oraz na to że kierunki strzałek reprezentujących przepływ w regule wnioskowania są identyczne jak na obrazku dla trywialnej teorii niesprzecznej. Otrzymany obiekt zawiera, podobnie jak poprzedni graf, dwukrotnie to samo zdanie {A} tyle że „inaczej podłączone”. Przy takiej reprezentacji, sklejenie którego musimy dokonać ( biały punkt do białego, czarny do czarnego) daje nam klasyczną reprezentacje wstęgi Mobiusa czyli powierzchni nieorientowalnej.

Co więcej, możemy przyjąć, że krawędzie  plakietki indukują na niej orientację, przy czym orientacja wynika owa z faktu, ze w regule modus ponens przesłanka i implikacja są zdaniami dowiedzionymi ( bo występują w zbiorze zdań z numerami wcześniejszymi niż następnik implikacji ). Tym samym załóżmy że plakietki możemy zorientować zgodnie z kierunkami „większości strzałek” reguły modus ponens.

Cały pomysł jaki chciałbym przeanalizować opiera sie na konstatacji że moja intuicja podpowiada mi że w przedstawionej reprezentacji, dowodom syntaktycznie sprzecznym, odpowiadają powierzchnie nieorientowalne, zaś dowodom niesprzecznym – orientowalne.

Zauważmy że „sklejenie” plakietek które pokazano na rysunku, zachodzi wzdłuż krawędzie przerywanych reprezentujących zdania ( a nie wzdłuż krawędzi reprezentujących reguły modus ponens). Jeśli teoria jest sprzeczna to wśród zdań które generuje sa zdania {A} i {\neg A}. Oznacza to że istnieją dwie krawędzie o przeciwnych orientacjach, które zostaną sklejone. Każda z nich jest jednocześnie jedną z krawędzi plakietki reprezentującej odpowiedni modus ponens. Zauważmy, że choć w teorii mogą istnieć izolowane plakietki ( bo możemy wypisać niezwiązaną z innymi regułę modus ponens), to jednak fakt że teoria jest sprzeczna oznacza że co najmniej jedna plakietka ( co najmniej ta na rysunku powyżej) jest sklejona. Istnieje tym samym droga zamknięta przechodząca po plakietkach od krawędzi {A} do {\neg A}. Wzdłuż tej drogi niemożliwe jest określenie orientacji plakietek ( orientacja ta nie musi mieć nic wspólnego z orientacjami indukowanymi z reguły modus ponens. Być może ma – ale bynajmniej tego nie twierdzę, wymaga to analizy).

Odwrotnie, niech pewna składowa spójna powierzchni sklejonych plakietek będzie nieorientowalna. Istnieje wówczas droga zamknięta, oraz krawędź zdaniowa przez którą przechodzi ona po plakietkach ( bo plakietki są sklejone wyłącznie wzdłuż krawędzi zdaniowych), wzdłuż której nie można określić orientacji. Jednocześnie orientacje lokalne wzdłuż krzywej raz indukują na owej krawędzi zdaniowej orientację typu {A} a raz ( „z drugiej strony”) {\neg A} – czyli teoria jest sprzeczna.

W dalszej części chciałbym zająć się kwestią definicji odwzorowań charakterystycznych dla teorii homologii – są to odwzorowania i-tej ściany {d_i} simpleksu ( ang. face map ) i odwzorowania degeneracji {s_i} ( ang. degeneration map). Pierwsze z ich mapuje simpleks na ścianę przeciwległą do i-tego wierzchołka, drugie zaś mapuje simpleks n wymiarowy na zdegenerowany o (n+1) wymiarach, poprzez powtórzenie i-tego wierzchołka. Zagadnienia te nie sa oczywiste gdyż dopisanie lub eliminacja wierzchołków odpowiada eliminacji lub dopisywaniu zdań do reguł modus ponens.

felicjan.jpg

Kasyno to jest taki biznes w którym przegrywają tylko ci co typują złe numery…  Wszyscy jesteśmy zmuszeni brać w tym udział z powodu posiadania brzucha! Niewiarygodne jest to że są ludzie inteligentni upatrujący w tym sprawiedliwości, efektywności, konieczności itp.  bo wierzą, że ci co przegrali są sami sobie winni – powinni przecież typować liczby, które wygrywają!

Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?

Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky: zdobędziemy władze nad światem!

W poprzednim odcinku dowiedliśmy twierdzenia { p \Rightarrow p} w systemie dowodowym Hilberta. Dowód przebiegał w następujący sposób:

\displaystyle 1. (a_{1})

\displaystyle 2. (a_{4}) \phi=p

\displaystyle 3. (a_{5}) p \Rightarrow (\psi \Rightarrow p) (PD 2 w (a_{1}) ) [ (a_{1},a_{4},a_{5}) ]

\displaystyle 4. (a_{6}) \psi = p

\displaystyle 5. (a_{7}) p \Rightarrow (p \Rightarrow p) (PD 4 w (a_{5}) ) [ (a_{6}, a_{5},a_{7})]

\displaystyle 6. (a_{8}) \psi = p \Rightarrow p

\displaystyle 7. (a_{9}) p \Rightarrow ((p \Rightarrow p) \Rightarrow p) (PD 6 w (a_{5}) ) [ (a_{8},a_{5},a_{9})]

\displaystyle 8. (a_{10}) \vartheta = p

\displaystyle 9. (a_{2})

\displaystyle 10. (a_{11}) ... (PD 8 w (a_{2}) ) [(a_{10},a_{2},a_{11})]

\displaystyle 11. (a_{12}) ... (PD 6 w (a_{11}) [(a_{6},a_{11},a_{12})]

\displaystyle 12. (a_{13}) ... (PD 2 w (a_{12})) [(a_{4},a_{12},a_{13})]

\displaystyle 13. (a_{14}) (p \Rightarrow ( p \Rightarrow p)) \Rightarrow (p \Rightarrow p) (MP a_{9} - (a_{13}) ) [(a_{9},a_{13},a_{14})]

\displaystyle 14. (a_{15}) p=>p ( MP a_{7} - a_{14} ) [(a_{7},a_{14},a_{15})]

QED ;-)

Dowód ten zawierał zdania {(a_{1},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8},a_{9}}, {a_{10},a_{2},a_{11},a_{12},a_{13},a_{14},a_{15})}, zaś postępowanie opisane we wcześniejszym wpisie pozwoliło zdefiniować odwzorowanie tego ciągu w następujący simplicjalny kompleks kombinatoryczny (co nazwaliśmy triangulacją ):

{ \{(a_{1},a_{4},a_{5}),(a_{6},a_{5},a_{7}),(a_{8},a_{5},a_{9}),(a_{10},a_{2},a_{11}) \} }

{ (a_{6},a_{11},a_{12}), (a_{4},a_{12},a_{13}),(a_{9},a_{13},a_{14}), (a_{7},a_{14},a_{15}) \} }

Przypomnijmy że zdania są zgrupowane w trójkę kiedy stosując pewną regułę dedukcyjną, w oparciu o 2 z nich, dostaliśmy trzecie.

Triangulacja ta posiada następujące przedstawienie graficzne ( graf ten jest nieplanarny) sagehom Graf powyższy jest obrazem odwzorowania z zbioru zdań logiki powiązanych regułami dedukcyjnymi, w przestrzeń ( symplicjalnych ) kompleksów kombinatorycznych. Odwzorowanie to przenosi informację o zastosowaniu reguły dedukcyjnej, całkowicie jednak ignoruje zarówno to jaka reguła została zastosowana, jak i jak wyglądały zdania które w niej wystąpiły. Uzyskaliśmy więc ciekawe a może nawet zabawne odwzorowanie, kosztem zgubienia prawie całej interesującej z punktu widzenia logiki informacji. Aby uczynić to narzędzie nieco bardziej użytecznym, w kolejnym kroku postaramy się odzyskać cześć informacji o budowie wewnętrznej zdań. Konkretnie uczynimy odwzorowanie czułe na występowanie negacji, w nadziei że pozwoli to w przyszłości uzyskać jakieś obrazowanie zdań sprzecznych jako cech grafu. Poniżej konstruuję stosowne przekształcenie, tu jednak dodam, że „czułość” na wystąpienie negacji należy w nim rozumieć czysto syntaktycznie, chodzi wyłącznie o wystąpienie pewnej formy graficznej ~ p nie zaś o „znaczenie” zdania czy jego dalsze konsekwencje. Powtórzmy że mamy nadzieję iż dowody niesprzeczne ( szerzej zbiory konsekwencji syntaktycznych zbioru aksjomatów) będą odwzorowywane na kompleksy kombinatoryczne orientowalne, zaś zbiory zdań sprzecznych – na zbiory nieorientowalne. W konsekwencji jakaś część aparatu teorii homologii ( a może i homotopii) mogłaby być zastosowana w analizie zbiorów zdań.

W poprzednim wpisie zdefiniowaliśmy następujące przyporządkowanie:

  1. każdemu zdaniu {a_{i}} przyporządkowujemy krawędź skierowana zdefiniowana jako {(d^{s}_{i} d^{e}_{j} )}.
  2. jeśli zdanie {a_{i}} ma postać { \neg a_{k}} dla jakiegokolwiek {k<i}, to przyporządkowujemy mu parę {( d^e_k, d^s_k )} ( odwrócona kolejność!) która występuje już w triangulacji ( p.1 ).
  3. jeśli zdania {a_{i}, a_{j}, a_{k}} były w relacji R: {R(a_{i},a_{j}) = a_{k}} to w miejscu trójki {(a_{i},a_{j},a_{k})} wpisujemy {R(dd,dd) =dd} ( za każde zdanie {a_{i}} wpisujemy stosowną parę symboli d zdefiniowaną w pt. 1 i 2. patrz dalej pt.4 )
  4. każda 3-ka ( trójkąt) zostaje tym samym zamieniona na wyrażenie \displaystyle (a_{i},a_{k},a_{j}) = T -> DT = (d^{p}_{i},d^{q}_{i},d^{r}_{k},d^{s}_{k},d^{t}_{j},d^{u}_{j}) gdzie {i,j,k \in {0...n}} są numerami zdań z dowodu, zaś {p,q,r,s,t,u \in \{s,e\}}. DT jest trójkątem dualnym dla T ( zależność boki – wierzchołki!).
  5. W każdym wyrażeniu DT dokonujemy remuneracji i redukcji tak by opisywało trójkąt zdefiniowany przez 3 wierzchołki. Oznacza to że utożsamiamy pary wierzchołków w których odcinki odpowiadające zdaniom z trójkąta bazowego T są sklejone.

Przedstawimy teraz jego realizację dla powyższego dowodu. Zrezygnowałem z pisania symboli {d^{p}_{i}} dla prostoty przedstawienia konkretnego grafu. Zapis taki przydatny jest kiedy analizujemy sytuację symbolicznie, natomiast dla konkretnej realizacji wygodniej jest używać po prostu numerów wierzchołków ( punktów). Tym samym zamiast pisać {d^{s}_1 d^{e}_1} dla oznaczenia obrazu zdania {a_{1}} w triangulacji dualnej, zostało zapisane jako zdanie {1} a przyporządkowano mu punkty dualne {(1,2)}, zaś na przykład zdanie {a_{14}} zostaje zapisane jako {14} oraz odwzorowane w parę {(25,26)}. Poniżej lista wszystkich zdań z triangulacji oraz przyporządkowanych im odcinków skierowanych w triangulacji dualnej:

\displaystyle 1 \rightarrow (1,2)

\displaystyle 2 \rightarrow (3,4)

\displaystyle 4 \rightarrow (5,6)

\displaystyle 5 \rightarrow (7,8)

\displaystyle 6 \rightarrow (9,10)

\displaystyle 7 \rightarrow (11,12)

\displaystyle 8 \rightarrow (13,14)

\displaystyle 9 \rightarrow (15,16)

\displaystyle 10 \rightarrow (17,18)

\displaystyle 11 \rightarrow (19,20)

\displaystyle 12 \rightarrow (21,22)

\displaystyle 13 \rightarrow (23,24)

\displaystyle 14 \rightarrow (25,26)

\displaystyle 15 \rightarrow (27,28)

po lewej stronie strzałek w powyższym przedstawieniu, znajdują sie zdania – wierzchołki grafu dowodu, pochodzące z triangulacji dowodu. Po prawej stronie strzałek znajdują się przyporządkowane im odcinki skierowane, oznaczone jako pary punktów grafu dualnego. Oznacza to że graf triangulacji dowodu:

\displaystyle \{(a_{1},a_{4},a_{5}),(a_{6},a_{5},a_{7}),(a_{8},a_{5},a_{9}),(a_{10},a_{2},a_{11})

\displaystyle (a_{6},a_{11},a_{12}), (a_{4},a_{12},a_{13}),(a_{9},a_{13},a_{14}), (a_{7},a_{14},a_{15}) \}

zostaje odwzorowany w graf dualny który ma następująca postać ( odwzorowanie zapisane jako pierwsza strzałka w zestawieniu poniżej):

\displaystyle [1,4,5] \rightarrow [(1,2),(5,6),(7,8)] \rightarrow [(8,1),(2,5),(6,7)]

\displaystyle [6,5,7] \rightarrow [(9,10),(7,8),(11,12)] \rightarrow [(12,9),(10,7),(8,11)]

\displaystyle [8,5,9] \rightarrow [(13,14),(7,8),(15,16)] \rightarrow [(16,13),(14,7),(8,15)]

\displaystyle [10,2,11] \rightarrow [(17,18),(3,4),(19,20)] \rightarrow [(20,17),(18,3),(4,19)]

\displaystyle [6,11,12] \rightarrow [(9,10),(19,20),(21,22)] \rightarrow [(22,9),(10,19),(20,21)]

\displaystyle [4,12,13] \rightarrow [(5,6),(21,22),(23,24)] \rightarrow [(24,5),(6,21),(22,23)]

\displaystyle [9,13,14] \rightarrow [(15,16),(23,24),(25,26)] \rightarrow [(26,15),(16,23),(24,25)]

\displaystyle [7,14,15] \rightarrow [(11,12),(25,26),(27,28)] \rightarrow [(28,11),(12,25),(26,27)]

Graf taki składa sie z skierowanych odcinków ( dalej będę pisał dla prostoty strzałek) łączących pary punktów zapisane w nawiasach. Tym samym pierwsze odwzorowanie powyżej realizuje punkty 1-4. Chcemy teraz zrealizować punkt 5. Postąpimy w następujący sposób. Strzałki zapisane w nawiasach kwadratowych powinny zostać połączone w trójkąty, gdyż są wynikiem działania pewnej reguły inferencji co oznacza że możemy zachowując kolejność ( z dokładnością do przestawienia cyklicznego – chodzi bowiem o porządek w zamkniętych wielokątach) połączyć w pary te punkty które zostaną ‚sklejone”). Realizuje to drugie odwzorowanie przedstawione w zestawieniu powyżej.  Ułożenie nawiasów po zastosowaniu „pierwszej strzałki” odpowiadało przyporządkowaniu zdaniom – par punktów. Ułożenie nawiasów w po zastosowaniu „drugiej strzałki” odpowiada relacji „sklejenia” z dokładnością do cyklicznego przestawienia etykiet wierzchołków ( poniżej dyskusja w oparciu o rysunek). Tak otrzymany graf przedstawia sie w następujący sposób ( proszę kliknąć by zobaczyć większy obrazek w nowym oknie):

grafDualny

Na obrazku tym zaznaczono stosowne strzałki odpowiadające zdaniom ( czarne strzałki narysowane liną ciągłą) oraz sklejenia ( zaznaczone przerywanymi strzałkami kolorowymi). Jeśli dwa wierzchołki są połączone linią przerywaną, oznacza to że musimy je „skleić” lub utożsamić. Rożne kolory odpowiadają w tej operacji różnym „klasom utożsamienia”. Np. kolor niebieski oznacza że sklejone powinny zostać punkty {{18, 3}}, zaś kolor zielony oznacza że sklejamy zbiór punktów { \{4,6,7,10,14,17,19,20,21 \} }. Zauważmy że na grafie powyżej mamy 4 kolory przerywanych strzałek i oznacza to ni mniej ni więcej, że w grafie dualnym będziemy mieli tylko cztery punkty. Po wykonaniu operacji ściągnięcia uzyskamy następujący obrazek:

grafDualny-sciagniety

Sprawdzenie ( ręcznie lub komputerowo) prowadzi nas do wniosku że graf ten jest Eulerowski ( istnieje ścieżka przechodząca przez wszystkie krawędzie grafu, każdą tylko raz) co oznacza że można w nim zadać spójną orientacje krawędzi. Właściwie to wszystko. Jak widać na przykładzie cała operacja jest wykonalna, dosyć dobrze określona, produkuje coś co daje się narysować ;-) Pozostaje wypróbować całe podejście dla dowodu zdania sprzecznego ( jako prototyp użyty najpewniej zostanie paradoks Russella ). Ale to raczej w kolejnym wpisie.

Dodatek Graf powyżej został uzyskany za pomocą rysunku. Narysowałem triangulację dowodu, a następnie ręcznie nałożyłem na siebie jego wierzchołki. Poniżej przedstawię jak uzyskać graf jak na rysunku powyżej – czysto algebraicznie. Punktem wyjścia będzie obraz odwzorowania uzyskany powyżej:

\displaystyle [(8,1),(2,5),(6,7)]

\displaystyle [(12,9),(10,7),(8,11)]

\displaystyle [(16,13),(14,7),(8,15)]

\displaystyle [(20,17),(18,3),(4,19)]

\displaystyle [(22,9),(10,19),(20,21)]

\displaystyle [(24,5),(6,21),(22,23)]

\displaystyle [(26,15),(16,23),(24,25)]

\displaystyle [(28,11),(12,25),(26,27)]

Jak wspominałem zaznaczono w nim relacje sklejenia w trójkątach, czyli liczb w nawiasach są punktami połączonymi kolorowa strzałką na rysunku grafu. Jeśli w parze mamy wierzchołki {(8,1)} a powinniśmy je skleić, to oznacza to że musimy wyeliminować z całej tabeli wszystkie punkty {8} i wszystkie punkty {1} i zastąpić je tym samym wierzchołkiem, powiedzmy oznaczonym {a}. W pierwszym kroku eliminujemy zatem wszystkie 8-ki i jedynki:

\displaystyle [(a,a),(2,5),(6,7)]

\displaystyle [(12,9),(10,7),(a,11)]

\displaystyle [(16,13),(14,7),(a,15)]

\displaystyle [(20,17),(18,3),(4,19)]

\displaystyle [(22,9),(10,19),(20,21)]

\displaystyle [(24,5),(6,21),(22,23)]

\displaystyle [(26,15),(16,23),(24,25)]

\displaystyle [(28,11),(12,25),(26,27)]

W kolejnych krokach wyeliminujemy wszystkie {11,15} również zastępując je literą {a}:

\displaystyle [(a,a),(2,5),(6,7)]

\displaystyle [(12,9),(10,7),(a,a)]

\displaystyle [(16,13),(14,7),(a,a)]

\displaystyle [(20,17),(18,3),(4,19)]

\displaystyle [(22,9),(10,19),(20,21)]

\displaystyle [(24,5),(6,21),(22,23)]

\displaystyle [(26,a),(16,23),(24,25)]

\displaystyle [(28,a),(12,25),(26,27)]

w następnym zastąpilibyśmy literą {a} wszystkie {26,28} a potem kolejne „sąsiadujące z {a} w parach punkty. Po skończonej liczbie kroków w całej tabeli będą tylko pary w postaci {(a,a)} oraz pary w postaci {(liczba,liczba)}. Wtedy następnej parze złożonej z liczb przyporządkowujemy literę {b} i wykonamy konsekwentnie podstawienia za wszystkie liczby które sąsiadują z nią w jakiejkolwiek parze. I tak dalej i tak dalej, aż uzyskamy następujący wynik:

\displaystyle [(a,a),(b,b),(c,c)]

\displaystyle [(b,b),(c,c),(a,a)]

\displaystyle [(b,b),(c,c),(a,a)]

\displaystyle [(c,c),(d,d),(c,c)]

\displaystyle [(b,b),(c,c),(c,c)]

\displaystyle [(b,b),(c,c),(b,b)]

\displaystyle [(a,a),(b,b),(b,b)]

\displaystyle [(a,a),(b,b),(a,a)]

Jak widać dostaliśmy zdegenerowane „trójkąty” w których pewne wierzchołki są sklejone, zaś użyte litery to {a,b,c,d} co oznacza że otrzymaliśmy graf złożony z 4-rech wierzchołków.

Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?
Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky, zdobędziemy władze nad światem!

Dowód P zdania B to uporządkowany ciąg zdań, {a_{0},a_{1},a_{2} \cdots ,a_{n}} gdzie {a_{n} = B}, zaś zdania numerowane od {1, \cdots n-1} to aksjomaty, tautologie lub wcześniej dowiedzione twierdzenia. Ponieważ wcześniej dowiedzione twierdzenia mają dowody ( a więc ciągi zdań…), możemy przyjąć ( zastępując każde zdanie w powyższym ciągu jego dowodem) że zdania {a_{1}, \cdots a_{(n-1)}} to aksjomaty lub tautologie. Dla każdego podciągu uporządkowanego {a_{0} \cdots , a_{k},a_{(k+1)}} istnieje reguła wnioskowania ( inferencji, dedukcji), która pozwala wyprowadzić zdanie {a_{(k+1)}} z zdań {a_{0},\cdots , a_{k}}.

Modelowym systemem dowodzenia będzie dla nas system Hilberta dla predykatów, czyli system aksjomatów logicznych oraz dwie reguły inferencji – modus ponens i reguła podstawiania, wszakże nie ma powodów by nie rozważać systemów bogatszych. Modelowo zakładamy jednak że mamy system Hilberta z dwoma regułami wnioskowania a obie te reguły maja taką cechę że dają się zapisać jako pobierające 2 zdania i produkujące 3-cie zdanie.

Schematy aksjomatów systemu Hilberta:

\displaystyle (a_{0}) \emptyset

\displaystyle (a_{1}) \phi \Rightarrow ( \psi \Rightarrow \phi )

\displaystyle (a_{2}) (\phi \Rightarrow ( \psi \Rightarrow \vartheta )) \Rightarrow ((\phi \Rightarrow \psi) \Rightarrow (\phi \Rightarrow \vartheta))

\displaystyle (a_{3}) \neg \neg \phi \Rightarrow \phi

Uwagi: zbiór pusty { \emptyset} jako aksjomat pozwala na używanie wszystkich tautologii logiki, które sa jego konsekwencjami logicznymi.

Reguły inferencji:

(modus ponens MP )

\displaystyle R(\phi, \phi \Rightarrow \psi) = \psi

(podstawianie zmiennej PD)  – jeżeli {p} jest zdaniem a {A} schematem aksjomatu zawierającym zmienną P {A(P,Q,S \cdots)} to

\displaystyle {A(P,Q,S \cdots ) |(P=p) = A(p,Q,S \cdots)}

jest dozwolonym zdaniem systemu. Oczywiście podstawiamy za wszystkie wystąpienia zmiennej {P}, a zatem w części oznaczonej {\cdots} zmienna {P} już nie występuje.

Alternatywnie posługując się się notacją za pomocą {R} mamy

\displaystyle R(P=p,A(PQS \cdots)) = A(p,Q,S \cdots)

.

Dalej czynimy istotne założenie (??): Każda reguła wnioskowania R używanego systemu dowodowego da się zastąpić pewnym zbiorem reguł 2 argumentowych ( rozmownie identyczne jak dla rachunku funkcyjnego w którym funkcja o arności n zostaje sprowadzona do formuły 1-dno argumentowej zwracającej funkcję o n-1 argumentach jako wynik). Występowanie reguł wnioskowania które jako argumenty pobierają więcej niż dwa zdania systemu, nie jest przeszkodą dla tego co opiszemy dalej, wszakże fakt, że każda taka reguła może być zastąpiona zbiorem reguł 2-argumentowych ma niebanalne znaczenie dla całej koncepcji postępowania.

Oznaczmy przez P dowód w systemie. Kolejne zdania w dowodzie P spełniają pewne relacje:

  1.  w dowodzie P niektóre 3 kolejne zdania są powiązane regułami wnioskowania, to znaczy istnieje reguła R taka że {R(a_{i},a_{(i+1)}) = a_{(i+2)}}.
  2. dla pewnego {i} zdanie {a_{i} } jest tautologią a więc jest konsekwencją logiczną zbioru pustego – a tym samym jest wynikiem rozumowania opartego na jednym z aksjomatów.
  3. dla pewnego {i} zdanie {a_{i}} jest aksjomatem ( aksjomat może występować jako zdanie na dowolnym miejscu w dowodzie).

Konsekwencja relacji 1-3 jest taka, że możemy powiązać niektóre zdania dowodu w podciągi 3-wyrazowe. Tworzymy zatem podciągi zdań dowodu P, zwane dalej 3-kami. Czynimy to w następujący sposób:

  1. jeśli zdania {a_{i}, a_{j}, a_{k}} są powiązane regułą wnioskowana {R(a_{i},a_{j}) = a_{k}} tworzymy trójkę {(a_{i}, a_{j}, a_{k})}
  2. jeżeli zdanie {a_{i}} jest tautologią, a jego wystąpienie w dowodzie P służy wyprowadzeniu ( za pomocą reguły wnioskowania R) zdania {a_{k}}, to zdanie {a_{k}} uważamy za konsekwencje zbioru pustego {\emptyset } który jest jednym z aksjomatów i tautologii {a_{i}}. Tym samym mamy {R(\emptyset,a_{i}) = a_{k}} i dodajemy podciąg {(\emptyset,a_{i},a_{k})}

Identycznie postępujemy w wypadku aksjomatów ( nie potrzeba tu żadnej dodatkowej reguły bo aksjomaty sa zdaniami i obejmuje je postępowanie z pt. 1 )

Dokonaliśmy zatem odwzorowania ciągu zdań dowodu P w zbiór uporządkowanych ciągów 3-elementowych zbioru zdań P. Zbiór ten będziemy nazywali dalej triangulacją dowodu.

Zatem dowód {P = (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} )} zaś jego triangulację {T= \{(a_{i},a_{j},a_{k}),\cdots (a_{s},a_{p},a_{q}) \} }

Wróćmy na chwilę do kwestii reguł wnioskowania które wymagają większej niż dwa, liczby argumentów. Nic nie stoi na przeszkodzie aby rozważać odwzorowania w podzbiór ciągów m-elementowych ( m<n) np. kiedy rozważamy wprost reguły inferencji o arności m. Zgodnie jednak z założeniem oznaczonym (??) każde takie odwzorowanie możemy sprowadzić do rozpatrywania 3-jek zdefiniowanych jak powyżej, co można określić jako możliwość triangulacji.

Tym samym zdefiniowaliśmy triangulację dowolnego dowodu.

Popatrzmy na przykład w systemie Hilberta. Dowiedźmy w systemie Hilberta że {p \Rightarrow p}

Uwagi do poniższego dowodu – dodawane nowe – a więc nie będące aksjomatami – zdania dowodu numerujemy od {a_{4}} gdyż {a_{0} \cdots a_{3}} sa numerami aksjomatów.

W nawiasach kwadratowych na końcu każdej linii dowodu wypisuję 3-kę jaką dodajemy do triangulacji dowodu. W uwagach na dole wpisu umieściłem komentarz do pewnej subtelności w dowodzie związanej z stosowaniem podstawienia.

\displaystyle 1. (a_{1})

\displaystyle 2. (a_{4}) \phi=p

\displaystyle 3. (a_{5}) p \Rightarrow (\psi \Rightarrow p) (PD 2 w (a_{1}) ) [ (a_{1},a_{4},a_{5}) ]

\displaystyle 4. (a_{6}) \psi = p

\displaystyle 5. (a_{7}) p \Rightarrow (p \Rightarrow p) (PD 4 w (a_{5}) ) [ (a_{6}, a_{5},a_{7})]

\displaystyle 6. (a_{8}) \psi = p \Rightarrow p

\displaystyle 7. (a_{9}) p \Rightarrow ((p \Rightarrow p) \Rightarrow p) (PD 6 w (a_{5}) ) [ (a_{8},a_{5},a_{9})]

\displaystyle 8. (a_{10}) \vartheta = p

\displaystyle 9. (a_{2})

\displaystyle 10. (a_{11}) ... (PD 8 w (a_{2}) ) [(a_{10},a_{2},a_{11})]

\displaystyle 11. (a_{12}) ... (PD 6 w (a_{11}) [(a_{6},a_{11},a_{12})]

\displaystyle 12. (a_{13}) ... (PD 2 w (a_{12})) [(a_{4},a_{12},a_{13})]

\displaystyle 13. (a_{14}) (p \Rightarrow ( p \Rightarrow p)) \Rightarrow (p \Rightarrow p) (MP a_{9} - (a_{13}) ) [(a_{9},a_{13},a_{14})]

\displaystyle 14. (a_{15}) p=>p ( MP a_{7} - a_{14} ) [(a_{7},a_{14},a_{15})]

QED ;-)

W liniach 10,11,12 dla zaoszczędzenia miejsca, nie wypisałem stosownej formuły logicznej a jedynie napisałem o jaką formułę chodzi np. w linii 10 w miejscu kropek powinna zostać wpisana formuła powstała z operacji podstawienia (PD) formuły 8 w schemat aksjomatu {a_{2}}. Dla przebiegu dalszych dywagacji, nie ma znaczenia czym są formuły w tych liniach, istotna jest za to trójka wypisana po prawej stronie, na końcu tych linii.

Otrzymaliśmy zatem dowód {(a_{1} \cdots a_{15})} wraz z triangulacją

\{ (a_{1},a_{4},a_{5}),(a_{6},a_{5},a_{7}),(a_{8},a_{5},a_{9}),(a_{10},a_{2},a_{11})

(a_{6},a_{11},a_{12}), (a_{4},a_{12},a_{13}),(a_{9},a_{13},a_{14}), (a_{7},a_{14},a_{15}) \}

TaaDaa! Mamy zatem kompleks symplicjalny ;-) i bawimy sie Sage:


sage: K=SimplicialComplex([[1,4,5],[6,5,7],[8,5,9],[10,2,11],[6,11,12],[4,12,13],[9,13,14], [7,14,15]]);K
Simplicial complex with 14 vertices and 8 facets
sage: K.dimension()
2
sage: #porównać!!! : http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic
sage: #http://en.wikipedia.org/wiki/Cubohemioctahedron
sage: K.euler_characteristic()
-2
sage: K.cohomology()
{0: 0, 1: Z x Z x Z, 2: 0}
sage: #brak połączonego komponentu mógłby oznaczać lukę w dowodzie!
sage: K.connected_component() == K
True
sage: #hm...
sage: K.fundamental_group()
Finitely presented group
sage: Show(K.graph())

sage: K.betti()
{0: 1, 1: 3, 2: 0}

Ostatnia wynik oznacza że mamy 3 dziury – koła – w kompleksie reprezentującym dowód ( nie ma to żadnego znaczenia dla logiczne poprawności dowodu. Słowo dziura jest tu użyte jako nazwa na obiekt topologiczny w przestrzeni kompleksów krawędziowych na którą odwzorowujemy dowody).

W oparciu o powyższe chyba niewiele da się zrobić. Niemniej nawet z tak nieskomplikowaną maszynerią, można silić się na jakieś działania. Można na przykład zapytać jakie związki zachodzą pomiędzy dowodami posiadającymi triangulacje o tych samych własnościach homologicznych ( jak liczba Betii – czyli liczba „dziur” w kompleksie symplicjalnym). Powątpiewam by wynikało z tego coś epokowego, czy nawet ważnego. Wydaje sie tak być choćby z tego powodu że cała powyższa maszyneria jest właściwie ślepa na logikę. Jedyne co zostało odwzorowane w tej konstrukcji, to informacja o następstwie zdań w dowodzie i ich wzajemne relacje ( co z czego wynika) a i to na poziomie numeracji, bez zachowania jakichkolwiek informacji o strukturze zdań, aksjomatów itp. Niemniej jako ciekawostka ( a może i jako fakt sam w sobie) nie są to rzeczy całkiem głupie, jak sądzę.

Warto także zauważyć, że powyższa konstrukcja, co zupełnie pominąłem, daje pewne szanse na zabawę krawędziami, drzewem rozpinającym dla kompleksu symplicjalnego, a może nawet homotopią na kompleksie, z czym można by wiązać pewne nadzieje.

No oczywiście interesują nas konfitury. Co zrobić z sprzecznością? Chcielibyśmy aby sprzeczność pojawiała sie jako nieorientowalnośc kompleksu symplicjalnego ( a wiec istniałyby zbiory zdań sprzeczne, ale nie byłyby orientowane ich triangulacje. Spełnialność zdań == orientowalność)

Należałoby postąpić tak. w przykładzie powyżej każde zdanie było punktem, a każde zastosowanie reguły wnioskowania definiowało 3-elementowy simplex. Zdefiniujemy następujące przyporządkowanie:

  1. każdemu zdaniu {a_{i}} przyporządkowujemy krawędź skierowana zdefiniowana jako {(d^{s}_{i} d^{e}_{j} )}.
  2. jeśli zdanie {a_{i}} ma postać { \neg a_{k}} dla jakiegokolwiek {k<i}, to przyporządkowujemy mu parę {( d^e_k, d^s_k )} ( odwrócona kolejność!) która występuje już w triangulacji ( p.1 ).
  3. jeśli zdania {a_{i}, a_{j}, a_{k}} były w relacji R: {R(a_{i},a_{j}) = a_{k}} to w miejscu trójki {(a_{i},a_{j},a_{k})} wpisujemy {R(dd,dd) =dd} ( za każde zdanie {a_{i}} wpisujemy stosowną parę symboli d zdefiniowaną w pt. 1 i 2. patrz dalej pt.4 )
  4. każda 3-ka ( trójkąt) zostaje tym samym zamieniona na wyrażenie { (a_{i},a_{k},a_{j}) = T \to DT = ( d^{p}_{i},d^{q}_{i},d^{r}_{k},d^{s}_{k},d^{t}_{j},d^{u}_{j} ) } gdzie {i,j,k \in \{0...n \}} są numerami zdań z dowodu, zaś {p,q,r,s,t,u \in \{s,e \}}. DT jest trójkątem dualnym dla T ( zależność boki – wierzchołki!).
  5. W każdym wyrażeniu DT dokonujemy remuneracji i redukcji tak by opisywało trójkąt zdefiniowany przez 3 wierzchołki. Oznacza to że utożsamiamy pary wierzchołków w których odcinki odpowiadające zdaniom z trójkąta bazowego T są sklejone.

W wyniku takiej operacji dualizacji kompleksu triangulacji dowodu uzyskujemy kompleks dualny zawierający w sobie informacje o negacji zdań. Informacja ta zawarta jest w orientacji krawędzi kompleksów dualnych.

Twierdzenie; Jeśli zbiór zdań M jest niesprzeczny to dualizacja jego triangulacji jest orientowalna.

Dowód ( poglądowy): Każdy trójkąt dualny ma określoną orientację, wynikającą z porządku jego wierzchołków. Załóżmy że 2 trójkąty mają wspólna krawędź p. Zachodzą następujące przypadki:

  1. pewne zdanie ( reprezentowane przez tą krawędź) jest wynikiem 2 wnioskowań za pomocą MP lub PD ze zdań ( twierdzeń) teorii.
  2. istnieją 2 rozumowania oparte o MP lub PO w których wykorzystano tą samą przesłankę p
  3. istnieje zdanie p które jest wynikiem rozumowania MP oraz innego rozumowania PD.

Jeśli teraz orientacja tych 2 trójkątów na wspólnej krawędzi jest przeciwna ( czyli kompleks nie posiada spójnie zdefiniowanej orientacji) to albo 2 użycia MP lub PO prowadzą do wniosków p i ~p ( orientacja! ) albo w rozumowaniu użyto jako przesłanki raz p a innym razem {\neg p}, albo wyprowadzono zdanie p za pomocą MP a w dowodzie użyto go w znaczeniu {\neg p} za pomocą PD . cbdo.

Na przykład obliczeń homologii dla przypadku dualnej reprezentacji dowodu powyżej przyjdzie państwu nieco poczekać…bo muszę się nauczyć homologii singularnej ;-) A na poważnie, bo triangulacja na nieznanym terenie wymaga czasu i skupienia.

Uwaga: symbol { \phi=p} należy rozumieć jako fragment reguły podstawiania zdania p do aksjomatu na liście zdań dowodu. Sytuacja ta wymaga komentarza. Do dowodu nie wolno sobie wpisywać zdań które nie są twierdzeniami, a p nie jest twierdzeniem w naszym systemie. Jednak w systemie tym obiekty nazwane wyżej aksjomatami, w istocie nimi nie są! Zdania {a_{0} \cdots a_{3}} sa schematami aksjomatów. Jeśli zatem dysponujemy pewną liczbą zdań {p,q,r,s \cdots }, a może ich być skończona lub nieskończona liczba, powinniśmy uważać że system ma stosowną liczbę aksjomatów, powstających jako wynik podstawienia za wszelkie zmienne {\phi, \psi \cdots } występujące w ich schematach zdań systemu. Inaczej – aksjomaty zawierają zmienne – oznaczane greckimi literami – zaś zdania oznaczone są małymi literami łacińskimi. Przy takim postępowaniu, reguła podstawiania nie jest potrzebna, zaś w miejsce „wprowadzenia zdania {p}” wypisalibyśmy po prostu stosowny aksjomat. Należałoby jednak wówczas ponumerować – i przytoczyć – wszystkie – używane w dowodzie -aksjomaty… Ekonomiczniej będzie dodać zdanie {\phi=p} rozumiejąc przez ten fakt, że chodzi o zdefiniowanie stosownego podstawienia w odpowiednim schemacie aksjomatu.)

Dodatkowe komentarze do przemyślenia:

  1. sprzeczność może się pojawiać jako syntaktyczna ( p i ~p sa twierdzeniami teorii, alternatywne formy) albo semantyczna ( przy wartościowaniu, brak spójnego wartościowania). Co z tym zrobić?
  2. większość opisanych w literaturze paradoksów jest „nisko-wymiarowa” to znaczy są relatywnie prostymi zdaniami które maja w związku z tym relatywnie prosta triangulację (sprzecznych) dowodów. W topologii wiadomo że minimalne przestrzenie nieorientowalne sa relatywnie niskiego wymiaru ( wstęga, butelka). Przypadek? Chyba nie…zwłaszcza jeśli reprezentacja spójności za pomocą orientowalności jest sensowna.
  3. orientacje są tyko dwie, niezależnie od wymiaru przestrzeni. Istnieją logiki wielowartościowe. Wszakże sprzeczność albo niesprzeczność nie ma nic wspólnego z prawdziwością a ta z wartościowaniem….
  4. ostatnio pokazano że są przestrzenie nietriangulowalne, co by to miało być w tym obrazku, gdyby istniał funktor odwrotny? Być może nic, a może obiekty które nie dają się aksjomatyzować skończoną ilością aksjomatów –> niezupełność fundamentalna? Niezupełność nie musi być z ty związana, choć brzmi atrakcyjnie. Przykład takiego obiektu jest nieorientowalny ( ale nie wiem czy takie obiekty muszą być nieorientowalne) – tylko paradoksalne teorie nie dopuszczają lokalnie skończonej aksjomatyzacji?

Źródła:

  1. Duda „Wprowadzenie do Topologii” T1 i 2
  2. Grell „Wstęp do matematyki. Zbiory, struktury, modele.”
  3. Trzesicki „Logika i teoria Mnogości”
  4. http://en.wikipedia.org/wiki/Singular_homology
  5. linki w tekście

wyciag.jpg     Średniowieczny podróżnik przemierza, na grzbiecie wielbłąda, Jedwabny Szlak. Wiezie cenne perkale, jedwabie i korzenne przyprawy do domu swego ojca – znanego kupca w Wenecji. Na jego drodze czają sie rozliczne niebezpieczeństwa, zbójcy, magowie władający dżinami, diabeł kuszący go nieczystym ciałem sprzedajnych kobiet, ale najstraszliwsze z nich to pustynia. Aby ją przebyć, nie wystarczy czyste sumienie, odwaga i dobre zwierzęta. Trzeba czegoś więcej. Trzeba mądrości. I zapasów wody. Na wielu odcinkach podróż przebiega od oazy do oazy, i jeśli w drodze pomiędzy nimi wody braknie, podróżnik nie da rady zawrócić, ani nie dojdzie do koniecznego dla uzupełnienia zapasów źródła. trzeba więc obserwować słońce, chmury, ptaki i skały. Mieć zaufanego przewodnika i racjonować zapasy. Przebędzie pustynie tylko ten, kto będzie miał dostatecznie dużo pełnych bukłaków i tykw, wypełnionych życiodajnym płynem. Komu bukłaki pękną, zginie. Życie podróżnika zależy od wody i tego czy zdoła na trasie podróży utrzymać w dobrej kondycji zwierzęta. Przejść da rady tylko karawana. Pojedynczy człowiek nie zdoła poprowadzić dosyć wielbłądów, nie uniknie ryzyka. Istnieje pewien minimalny rozmiar wielkości grupy podróżników – może jest to dziesięciu? może dwudziestu? Mniej ludzi nie zdoła pokonać pustyni…

    Ludzkość rozwija sie na planecie Ziemia od jakichś pół miliona lat. Opanowaliśmy wiele niszy, a kluczowym dla tego faktu, obok rozmaitych cech gatunkowych, jest oczywiście zdolność podróżowania. Czym byłyby nasze zdolności gdybyśmy egzystowali przypisani do miejsca jak drzewa? Dlaczego tak łatwo się nam podróżuje? Och, trywialna odpowiedź, ale bynajmniej nie mniej przez to prawdziwa jest taka: bo przejście z miejsca A do miejsca B nie wymaga nadmiernego wysiłku jeśli miejsca A i B są nieodległe. By przejść kilka metrów wystarczy zrobić kilka kroków. A każdą długą drogę lądową można podzielić na mniejsze kawałki i przejść etapami. Góry można ominąć, rzeki przepłynąć. Da sie żyć. Inaczej jest z podbojem kosmosu. Aby wystrzelić sztucznego satelitę, należy nadać mu pierwszą prędkość kosmiczną wynosząca około 7.9 kilometra na sekundę. Każde ciało które będzie miało prędkość mniejszą ( mówimy o ruchu bezwładnościowym, bez stałego napędu. ) wystrzelone – spadnie z powrotem na powierzchnię Ziemi. Stąd znacznie łatwiej dopłynąć nawet i do Ameryki niż wzlecieć na orbitę. Do Ameryki można płynąć powoli, na orbitę – trzeba szybko. Konieczne jest pokonanie bariery potencjału ziemskiego pola grawitacyjnego, a dopóki nie dysponuje sie technologią pozwalającą ją pokonać, wszelkie działania są bezskuteczne. nie pomoże ci dwa razy większa armata. Nie pomoże Ci legion biskupów modlących się o błogosławieństwo. I nie pomoże Ci dłuższy namysł. Chcesz polecieć – musisz mieć prędkość większa niż prędkość progowa.

Chcemy zamienić pewną ilość wody w parę. Stawiamy garnek na piecu i czekamy. No tak, jak poczekamy długo – wda wyparuje, my jednak jesteśmy niecierpliwi, chcemy by woda wyparowała jak najszybciej. Oczywiście musimy zacząć ją podgrzewać. Woda wrze. Paruje intensywnie. Aby ją odparować musimy jej dostarczyć pewnej ilości ciepła. Jeśli nie dostarczymy tej pewnej – progowej – ilości energii – woda nie wyparuje w całości. Ile energii jest konieczne – określa ciepło parowania wody ( stała przy zadanej temperaturze i ciśnieniu). Aby odparować 1 kg wody musimy dostarczyć około 2 257  kJ utrzymując wodę w temperaturze 100 stopni Celsjusza. Jeśli tej energii nie dostarczymy – to pomijając inne procesy ( np. powolne parowanie wynikające z naturalnej dyfuzji miedzy ośrodkiem gazowym a ciekłym) woda nie wyparuje.

Powyższe i wiele innych zjawisk mają pewien uniwersalny element – który nazywa sie efektem progowym. W bardzo wielu sytuacjach, aby jakieś zjawisko fizyczne ( lot kosmiczny, przełączenie w tranzystorze, zapłon gwiazdy ) bądź proces techniczny ( spalanie, wypiek, wybuch ) mogło mieć miejsce, rozpocząć działanie, konieczne jest pokonanie pewnej bariery. Pochodzenie tej bariery bywa rozmaite, odgrywa ona rozmaite role. W technice czasami bariery są pożytecznym zjawiskiem, na przykład umożliwiającym sterowanie ( włączanie i wyłączanie) danym procesem. W większości wszakże wypadków, wydaje sie że bariera konieczna do pokonania, by uzyskać pożądany efekt, jest zjawiskiem niepożądanym. Ileż łatwiejsze byłoby życie gdyby zjawiska zawsze były liniowe, a zwiększenie wysiłków zawsze przynosiłoby proporcjonalne zwiększenie efektów. Niestety tak nie jest. W większości wypadków jest zgoła odwrotnie – zanim nie pokonamy jakiejś bariery, efekt wydaje się być zgoła nieobecny, a nasze, nieraz kosztowne, starania, nie przynoszą żadnych użytecznych efektów. Bariery fizyczne i techniczne są zwykle wewnętrzną cechą procesów, niemożliwą, lub szalenie trudną do usunięcia lub ominięcia. To właśnie owe fizyczne bariery odpowiadają np. za brak kontrolowanej fuzji termojądrowej ( w tym wypadku jest to bariera odpychania kulombowskiego jąder atomowych ) czy brak tanich podróży w kosmos ( p. wyżej).

Wszakże obok barier fizycznych, istnieją  odbijają sie na naszym życiu  także inne bariery: niepełnosprawni zmagają sie z idiotycznie zaprojektowanymi elementami urbanistycznymi, członkowie mniejszości z ksenofobią i uprzedzeniami, granice awansu kobiet wyznaczane sa częściej przez role partykularne opinie co do społecznych niż przez realne kwalifikacje itp. Istnieją oczywiście starania nakierowane na przeciwdziałanie takim sytuacjom, i niektóre z nich przynoszą efekty! Właściwie to w odniesieniu do ostatnich kilku spraw, można by powiedzieć, że każda bariera – dotycząca niepełnosprawnych, mniejszości czy kobiet, a także rozliczne bariery ekonomiczne i gospodarcze, zwykle sa mniej lub łatwiej ale zawsze możliwe do pokonania jeśli postawimy sobie ich pokonanie za cel. Czasami zmiany sa śmiesznie wprost łatwe do wprowadzenia, a trywialne rozwiązanie nie dosyć ze istnieje to wymaga nieraz niewiele więcej niż odrobiny dobrej woli!

Wiele się mówi w Polsce, o wspomaganiu przedsiębiorczości. Wszakże od wielu, wielu lat, utrzymuje sie w Polsce istnienie bariery która z oczywistych powodów powinna zostać zniesiona. Mowa oczywiście o tzw. minimalnej składce na ZUS. Trudno o drugą rzecz bardziej szkodliwą dla przedsiębiorczości, a jednocześnie o bardziej kretyńską konstrukcję ekonomiczna. Oto na rynku przedsiębiorczości minimalna składką na ZUS jest właśnie progiem jaki musi pokonać przedsiębiorstwo ( a mówimy w tej skali zwykle o mikrofirmie złożonej z jednego pracodawcy, prowadzącego własną działalność gospodarczą). Człowiek taki stoi przed dylematem – rozruch firmy to same koszty, zysków nie ma albo sa zgoła mikroskopijne, I tak przez rok, dwa lata. W tym czasie podatki płaci sie proporcjonalnie do zysku, ale ZUS, w określonej i niemałej wysokości. Zakładając że człowiek taki nie jest krewnym bogatego człowieka ( nie mamy wówczas do czynienia z mikrofirmą ale z przybudówka większego kapitału), wybór jest tylko taki: zamykamy/poniechamy działalność gospodarczą albo działaby w szarej strefie oszukując państwo i nie płacąc podatków wcale.

Tymczasem rozwiązanie jest banalnie proste. Firmy które generują zbyt mały zysk, lub nie generują zysku wcale powinny zostać zwolnione z opłat w kwocie minimalnej składki na ZUS. Należy koniecznie usunąć efekt progowy. W jego miejsce należy wprowadzić stosowną składkę linową, o wysokości zależnej od zysku i tak dobranej by w wypadku osiągnięcia kwoty minimalnej dochodów odpowiadała minimalnej składce na ZUS. Po prostu zamiast progu – należy interpolować zmienny podatek tak by płacony był od pewnych minimalnych kwot zysku, a uzyskiwał wartość minimalnej składki na ZUS tam gdzie mowa o dochodach gwarantujących po opodatkowaniu – płacę minimalną. Zmiany takie mają same zalety:

  1. dotknięciem czarodziejskiej różdżki okazałoby sie że opłaca sie rejestrować niskodochodową działalność gospodarczą. Kto nie kupi spokoju i bezpieczeństwa od kontroli fiskalnej, jeśli będzie go to kosztowało tylko pewien procent zysku, powiedzmy 20 – 50 PLN miesięcznie?
  2. lepiej mieć bardzo niskie składki i prawo do bardzo niskiej emerytury, niż nie mieć składek i emerytury wcale. Dla ZUS także byłoby lepiej mieć większe – pomimo ze z drobnych kwot – wpływy niż nie mieć ich w ogóle!
  3. można czasowo odstąpić od ściągania składek na ZUS dla kwot poniżej opłacalności ściągania ( kwota ta mogłaby być zmienna i zależna od warunków ściągalności, zdolności organizacyjnych ZUS itp.). Urzędników nam nie brak – nie chodzi o to by dołożyć im roboty przy ściąganiu 1 PLN miesięcznie. Wszakże pomimo że można odpuścić takim przedsiębiorcom symboliczne składki – będą oni zarejestrowani. państwo będzie wiedzieć o ich działalności, będą oni objęci nadzorem gospodarczym ich działalność będzie sie cywilizować.
  4. kim sa tacy niskodochodowi przedsiębiorcy? To zwykle okresowo działający pracownicy na rynku budowlanym, ogrodniczym, ale także młodzież usiłująca żyć z korepetycji, prac w ogródkach, i własnych pomysłów. Zwłaszcza ci ostatni mogliby na takich zmianach zyskać, a niejeden z nich to bogaty w innowacyjne pomysły młody człowiek bez kapitału i dochodów! Ci ludzie obecnie działając w szarej strefie są podatni na oszustwa ze strony najmujących ich pracodawców, kredytodawców itp.. System pozbawiony progu dla niejednego z nich mógłby stać się początkiem poważniejszej działalności gospodarczej – nie wiemy może miałoby to dobroczynne skutki. System w którym muszą oni zaczynać po balcerowiczowsku – od oszustwa – jest systemowym tolerowaniem patologii.

Na koniec kąśliwa uwaga – kto nie chce niech nie czyta: dlaczego tego typu próg egzystuje a nikt z szacownych profesorów na stanowiskach ministrów  finansów nie zamierza problemu rozwiązywać. Odpowiedzi są jak zwykle dwie: (1) ministrowie to głupcy bez szerszych horyzontów intelektualnych. Po prostu pomimo całej swojej paplaniny są to ludzie kiepsko wykształceni, nierozumiejący matematyki, prymitywy, prostaki. Całe życie  szukają okazji do kariery i uzyskawszy ją skupiają sie na pobieraniu jak największych pensji i budowaniu dalszych awansów, analiza tego co dotyczy gospodarki przekracza ich zdolności rozumu. Posunięcia prawne kto©e forsują są zwykle projektami lobbystów, a ci reprezentują zwykle wielki prywatny biznes.  Odpowiedź ta jest niewątpliwie bardziej prawdopodobna. Odpowiedź (2) ministrowie finansów są powiązani z rozmaitymi instytucjami które korzystają z takiej sytuacji. Korzyść ta ma charakter np. mniejszej konkurencji,  utrzymywaniu w podległości ekonomicznej sporej części pracowników najemnych, w stanie bliskim spodziewanej penalizacji itp. metody kontroli społecznej. Odpowiedź ta jest mniej prawdopodobna, jak każda teoria zakradająca celowe działanie w miejscu zwykłe głupoty, wszakże i tu coś jest na rzeczy. Jak wiadomo podstawowym zmartwieniem przedsiębiorców w Polsce jest brak jeszcze tańszej siły roboczej – jakikolwiek spadek bezrobocia poniżej 10% skutkuje natychmiastową zmasowaną reakcją na prawa pracownicze i groźby otwarcia granic dla pracowników np. z Ukrainy.

kawalek-szczescia-pasek

List z Kyoto

Twarz w szybie. Okno wagonu.
W tle gwiazdy lamp. Minione przystanki.
W oczach napływająca przyszłość.
Kim będziesz, gdy dojedziesz?

Pustka podróży. Chwila pomiędzy
ekscytacją początku a fajerwerkiem celu.
Może następny twój list będzie z Kyoto?
Wokół głowy cyfrowa aureola.

Instrukcja: „click face to tag”.
Superserwery rozpoznały tylko odbicie.

   

WP_20141227_001

    Mnie zaś powiedział, że każdego przedpołudnia mam znów pracować u kadiego Timura. potem mogę robić, co mi sic żywnie podoba jednak me mogę jeździć na podboje i wyprawy. A wieczorami znów muszę się stawiać u beja. Duzo ze mną rozmawiał i cieszył się moją obecnością, dbał też bardziej o swoje trzy córki, był jak ktoś, komu Allah po długiej ślepocie zwraca wzrok: prawdziwie się odrodził.
     A ja cieszyłem się z kadiego Timura, lubiłem tego starca, jednak nienawidziłem sidżilu, nudnych umów sprzedaży i najmu. A było ich wiele. Nie tylko z powodu ludności miasta — przyczyniał się do tego sam kadi. Biedak miał bowiem tak niewielkie wynagrodzenie że wykorzystywał każdą okazję, by zebrać ładną sumkę ponad roczny dochód. Według prawa za kopiowanie umów należało mu się dwanaście akcze, lecz on przeważnie pobierał dwukrotność tej sumy, a ludzie płacili bo w przeciwnym razie Timur-baba miał nagle tak wiele innych spraw, że na próżno czekali na powstanie dokumentu, lub później bardzo źle kończyli z powodu złamania prawa w innej sytuacji. Pisemny wyrok kadiego, hudżdżet, kosztował trzydzieści dwa akcze, ale Timur pobierał za niego o wiele więcej, a ten, kto wygrał proces nie protestował, nie wiedząc, kiedy znów wplącze się w sprawę sądową.
     Biedny Timur-baba mógł oczekiwać pewnych wpływów od dizdara Alego, bo ten dzielił się z nim pieniędzmi pobranymi od cechu miejskich złodziei. Dizdar Ali załatwiał takie sprawy z cechmistrzem Urudżem, głównym złodziejem. Złodzieje mogli wykonywa¿ swój zawód w ramach pewnych przepisów, lecz musieli płacić podatki dizdarowi i mieli obowiązek niezwłocznego meldowania mu, jeśli dowiedzieli się o szpiegu, gdzieś szykował się bunt lub usłyszeli jakieś wieści od hajduków o planach Węgrów. W zamian za to członkowie cechu mogli okradać i oszukiwać przejeżdżających przez miasto obcych. Kiedy obrabowany kupiec udawał się do subaszego, naczelnika straży, ten tylko wzruszał ramionami; nie zna tych łotrów, trzeba było lepiej uważać na wielbłądy czy towary. Subaszy także dostawał procent z podatku złodziei, toteż tylko wtedy ścigał sprawcę, gdy obrabowany przejezdny zapłacił mu więcej od nich.
     Jeśli poszkodowany schwytał złodzieja z pomocą własnych sług i przyprowadził go do kadiego, dobry Timur wymierzał surowy wyrok zgodnie z prawem, lecz skazany zawsze jakimś sposobem uciekał, nim kara została wykonana. Złodzieje okradali też miejscową ludność, ale gorzko tego żałowali, jeśli ofiara mogła zapłacić kadiemu więcej, niż ich cech, albo gdy była ważną osobistością. Kradzież karano bowiem obcięciem ręki.

    „Złodziejom, mężczyznom czy niewiastom, obcinajcie ręce za ich przewinę. To jest przykładna kara Od Boga, która nikogo nie minie.” 5, 38

„Tureckie Lustro” Victor Horvath, tłum. Anna Butrym,

Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, 2014

   

galeryjlka.jpg

    „Z perspektywy elit każdy z tych graczy był poważnym zagrożeniem, proponował bowiem nowa definicję dotychczasowych politycznych podziałów — i groził zmianą istniejącego status quo. Nic więc dziwnego, że na każdego kolejnego „populistę” przypuszczano bezpardonowy atak. Zamiast potraktować ataki Walesy jako okazję, aby stworzyć alternatywna wizję transformacji, zarzucano mu dyktatorskie ciągoty i wypominano brak Ogłady (który kiedyś był „autentyzmem”). Na podobnej zasadzie elity postsolidarnościowe nie miały najmniejszej ochoty tłumaczyć sie ze swoich reform przed prącymi do władzy postkomunistami Millera. Wolały rozdzierać szaty, przekonując, że lider SLD obiecuje gruszki na wierzbie, Z zarzutami Kaczyńskiego do dziś wielu nawet nie dyskutuje, przecież można powiedzieć, że to chory z nienawiści populista, antydemokrata i zamordysta. A Lepper? Opinię barbarzyńcy miał od zawsze. Zwłaszcza w oczach wielkomiejskich elit (i tworzonych przez nie mediów), dla których problemy wsi nigdy nie były (i nie będą) pierwszoplanowe. Kłopot polega na czymś innym. Przecież nawet jeśli Lepper był prymitywnym wieśniakiem, to w niczym nie umniejsza to trafność jego zarzutów wobec polityki ekonomicznej czasów transformacji, która dla szerokich kręgów jego wyborców była po prostu zabójcza. Ciekawe jest również to, że żaden z polskich populistów zderzenia z oporem elit przeżyć nie zdołał. Wałęsa przegrał drugą kadencję prezydencką i rozmienił na drobne cały swój autorytet. […]

    Co te losy rodzimych „populistów” mówią o naszej demokracji? Według dominującej medialnej narracji są one rzekomym dowodem na dojrzałości rodzimej debaty publicznej. A jeśli zmienimy nieco perspektywę? Może wiele kłopotów polskiego życia publicznego bierze się właśnie stad, że system populistów odrzucił (Tymiński, Lepper, Kaczyński) albo przeciągnął ich na swoja stronę (Miller, Walesa)? Nigdy nie potrafił wsłuchać sie w to, co mieli do powiedzenia, i wyjść tym lękom i nadziejom wielu milionów wyborców naprzeciw? Zastanówmy się przez chwilę, czy głoszone przez nich poglądy naprawdę były aż tak irracjonalne. Choćby krytyka polskiej transformacji ekonomicznej — wtedy uważana za populistyczny zamach na świętość, a dziś coraz częściej pokazywana nie tylko w kontekście niezaprzeczalnych sukcesów, lecz również jej ewidentnych patologii, świetnie opisanych w takich książkach jak Polskatransformacja.pl Tadeusza Kowalika, Patologie transformacji Witolda Kieżuna czy Z deszczu pod rynnę Jacka Tittenbruna. Czy krytycy reformy emerytalnej z roku 1999 od razu musieli być nieodpowiedzialnymi populistami? Może jednak trochę racji mieli? Dziś wskazuje na to cały szereg autorów — od Roberta Gwiazdoskiego, autora książki Emerytalna katastrofa, po Leokadię Oręziak (OFE Katastrofa prywatyzacji emerytur w Polsce).

    A pamiętny konflikt Leppera Balcerowiczem roli Narodowego Banku Polskiego? Pomińmy kuriozalną otoczkę (Lepper kończył wtedy każde wystawienie hasłem „Balcerowicz musi odejść” ). Czy naprawdę ten spór był aż tak absurdalny? W gruncie chodziło przecież o to, czy bank centralny ma dbać jedynie o stabilność cen czy również o wzrost gospodarczy i bezrobocie. Dotyczył zatem dokradnie tego samego, o co spierają się od czasu ostatniego kryzysu czołowi amerykańscy politycy i ekonomiści.

    W każdym z tych przypadków trudno oprzeć się wrażeniu, że postulaty polityczne „populistów” były odrzucane łatwo. Zbyt łatwo. Przeważnie tylko dlatego, że zgłosili je „populiści”, z którymi (z tych czy innych powodów) większości lub dominującym w dyskusji elitom nie jest szczególnie po drodze. Dokąd to mote prowadzić? Właśnie tą kwestię od lat drąży dwoje renomowanych politologów. Ernesto Laclau i Chantal Mouffe. Argentyńczyk i Belgijka napisali do spółki kilka książek (przetłumaczonych również na polski), w których pokazują cały mechanizm. Według nich w ostatnich 30 latach w większości zachodnich społeczeństw interesy dużej części populacji nie były brane pod uwagę. Politykę prowadzono raczej, uwzględniając interes tych nieznajdujących się na górze społecznej drabinki. Efekty widzimy dziś. Owszem. szerokie rzesze obywateli skorzystały na zjawiskach takich jak globalizacja, liberalizacja gospodarek czy integracja europejska. Równocześnie jednak pojawiło się wielu przegranych – ofiary deindustrializacji, outsourcingu miejsc pracy czy cięć wydatków socjalnych. Ponieważ jednak w głównym nurcie opinii publicznej dominował określony przez zwycięzców obraz neoliberalnych reform jako wielkiego sukcesu, na którym korzystają wszyscy, przegrani poczuli, te ich interesy nie są dostatecznie reprezentowane. Powstała próżnia, która wyplenili populiści pierwszego pokolenia. Tu zadziałała jednak reakcja obronna istniejących elit, które odstrzeliły konkurencję, wskazując na prawdziwe bądź wyimaginowane grzechy „populistów”, takich jak Austriak Jorg Haider, Francuz Jean-Marie Le Pen ety Niemiec Oskar Lafontaine. Czasem zaś wystarczyło samo dopuszczenie ich do władzy. I w jednym, i w drugim przypadku przyczyny kryzysu nie zostały jednak usunięte, W miejsce uciętych głów populistycznej hydry wyrastały nowe. Ta zabawa nie przynosiła jednak żadnej jakościowej zmiany. Populistom. (nawet gdy zostawali dopuszczeni do władzy) nie udawało się przeforsować żadnego ze swoich pomysłów. Albo się więc wykrwawiali i z hukiem opuszczali układy rządowe, albo pokornieli i tracili kontakt ze swoim elektoratem. W obu przypadkach nie było zasadniczej zmiany sytuacji. Demokracja działała więc tylko na papierze, a w praktyce cale grupy wyborców pozostawały bezdomne i wydziedziczone z przysługujących im praw. Czy da sie temu jakoś zaradzić? „Owszem!’ – twierdzi Chantal Motlffe. W swojej książce Polityczność (2005) opisuje ona bardzo interesujący projekt ożywienia demokracji dzięki powrotowi do polityki jako wielkiego sporu radykalnie odmiennych koncepcji, a me pozornej dyskusji w gronie technokratów na temat tego, jak zmniejszyć wydatki rządowe o 0.5 czy może 0.75 punktu procentowego, Jest to możliwe tylko poprzez otwarcie się na to, co kilkudziesięciu lat neoliberalne centrum i media nazywają nieodpowiedzialnym populizmem ekonomicznym.
[…]
„Odważmy się na więcej demokracji” — powiedział niemiecki kanclerz Willy Brandt podczas swojego parlamentarnego exposé w roku 1969. Chodziło mu o przełamanie skostnienia, które stało się utrapieniem zachodnioniemieckiej polityki po 20 latach rządów chadeckich, Niemcy starszego pokolenia do dziś przypominają, że był to moment, w którym na powrót uwierzyli w politykę i sens angażowania sie w sprawy publiczne. Faktycznie nadeszły wtedy złote czasy niemieckiej demokracji. Coś podobnego jest dziś potrzebne w Polsce. Nie wiem, kto mote w sposób wiarygodny zgłosić taki postulat, być może jest to polityk lub siła polityczna, których na razie nie widać. Wiem tylko, że w naszym wypadku do zawołania „Odważmy sie na więcej demokracji” należy dodać: „i populizmu” – przecież politykę robi sie waśnie dla ludzi. Po łacinie lud to populus.”

Zwłaszcza że elity w Polsce to intelektualny bankrut, a politycy nie mają obecnie nic do zaproponowania, poza głosowaniem projektu zmian w konstytucji po kryjomu, o 00:44 w nocy.

Dziecięca Choroba liberalizmu

Rafał Woś

Wydawnictwo Studio EMKA Warszawa 2014

kawalek-szczescia-pasek

Cholesterol
No i stało sie mój drogi trzpiocie.
Nastał czas całkiem już złowrogi.
Kłuli, potem głos zabrała nauka,
i orzekła: masz w tętnicach złogi.

Jak tu żyć? Jak skonać z godnością?
Jak tu uczcić przodków twych zwyczaje?
Kiedy lekarz mówi srogo: dieta!
Czym ja królik co się trawą naje?

Scena w sklepie: rozum ustom broni
wypowiedzieć czego dusza pragnie.
Martwym wzrokiem szukasz czegoś w koło.
Kusi wszystko na co oko padnie!

Tu wędzony boczek zakazany.
Tam szyneczka co nozdrza łaskocze.
Ach! bezwstydne steki pełnokrwiste…
Ach! na hakach kiełbasek warkocze…

Skromnie spytasz, „a ten serek chudy?
Ten kształt co tak krągłością zachwyca?”
A bezwzględna sprzedawczyni powie
„Proszę pana! To jest polędwica!”

konik-pasek.jpg
Nec spe nec metu

 
 

Miałeś!
Miałeś!
Jeszcze wczoraj!
Miałeś wczoraj wielki plan.

Dzisiaj!
Dzisiaj
Nic już nie masz,
oprócz tych na dupie ran.

Jak puste sa nadzieje,
Jak szybko mija czas.
Pan Bóg się z planów śmieje.
Nieważne o co grasz!

Wczoraj!
Wczoraj!
Jeszcze wczoraj!
Słońce w dłoni, życia król.

Dzisiaj!
Dzisiaj!
Co zostało?
Tylko tępy duszy ból.

Już lepiej skacz na oślep.
Już lepiej śmiej się w twarz.
Ni strachu ni nadziei!
Nieważne  o co grasz!

Autor wiersza proponuje

melorecytować go tego oto utworu.

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Dołącz do 893 obserwujących.

Obserwuj

Otrzymuj każdy nowy wpis na swoją skrzynkę e-mail.

Dołącz do 893 obserwujących.

%d bloggers like this: