Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?

Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky: zdobędziemy władze nad światem!

W poprzednim wpisie pokazałem jak wyliczać grupy homologii na (trywialnym) przykładzie pojedynczego simpleksu. W tym wpisie pokaże jak, modyfikując mechanizmy teorii homologii, uwzględnić kwestie logiczne którym poświęciłem już kilka wpisów. Aby uniknąć odwoływania się do innych wpisów, poniżej krótkie przypomnienie zagadnień logicznych o jakich będzie mowa.

Mamy zadany system formalny, czyli zbiór zdań logicznych złożony z zdań wyróżnionych, zwanych aksjomatami,oraz pewnego zestawu reguł przekształcania napisów zwanych regułami inferencji, dedukcji lub wnioskowania. Reguły wnioskowania akceptują pewną formę zdań ( w sensie czysto graficznym, syntaktycznym, jako napisy) i pozwalają na podstawie takich argumentów, uznać że do systemu wolno nam dopisać kolejne, określone w swojej formie syntaktycznej przez „mechanikę reguły wnioskowania”, zdanie. Modelowym przykładem reguły wnioskowania jest znana z poprzednich wpisów reguła modus ponens. Symbolicznie będę tą regułę zapisywał w formie {MP(P,Q) =S} co jest oczywiście równoważne zapisowi {MP(a \rightarrow b,a) = b}. Regułę tą rozumiemy czysto syntaktycznie, jako napis.

Dowodem zdania {S} w systemie logicznym zawierającym aksjomaty i regułę dedukcyjną modus ponens jest uporządkowany ciąg zdań {a_{0},a_{1},a_{2} \cdots ,a_{n}} gdzie {a_{n} = S}, zaś zdania numerowane od {1, \cdots n-1} to aksjomaty, tautologie lub wcześniej dowiedzione zdania. Ponieważ wcześniej dowiedzione twierdzenia mają dowody ( a więc ciągi zdań…), możemy przyjąć ( zastępując każde zdanie w powyższym ciągu jego dowodem) że zdania {a_{1}, \cdots a_{(n-1)}} to aksjomaty lub tautologie. Dla każdego podciągu uporządkowanego {a_{0} \cdots , a_{k},a_{(k+1)}} istnieje reguła wnioskowania ( inferencji, dedukcji), która pozwala wyprowadzić zdanie {a_{(k+1)}} z zdań {a_{0},\cdots , a_{k}}. Jest to klasyczna definicja dowodu, czytelnik spotkał sie z nią zapewne wielokrotnie. W tym co nastąpi będę wiele razy pisał o graficznym przedstawieniu dowodu, o dowodach sprzecznych itp. W każdym takim wypadku pisząc dowód mam na myśli ciąg uporządkowany zdań jak powyżej, i jest całkowicie obojętne jakie twierdzenie zostaje odwiedzone. W istocie dyskusja dotyczy więc pewnego skończonego zbioru konsekwencji syntaktycznych zadanego zbioru aksjomatów. I tak należy rozumieć obiekt który poniżej nazywam dowodem.

Załóżmy że mamy zdania {a,b,c} o budowie syntaktycznej wiążącej te zdania reguła modus poens ( proszę zwrócić uwagę na kolejność!) {MP(b,a) =c}. Zdaniom tym przyporządkujemy graf, w postaci jak na rysunku poniżej:

MOdusPoens-general

Prosiłbym by czytelnik zwrócił uwagę, że graf jest skierowany, porządek ten zaś wynika z uporządkowania zdań w regule modus ponens. Przyjęliśmy mianowicie konwencję w której pierwsze zdanie to implikacja, drugie to przesłanka, a trzecie to następnik implikacji. Na grafie zaś reprezentujemy to odwracając kolejność implikacji i przesłanki. W poprzednim wpisie, dla takiego ogólnego obiektu wyliczyliśmy, w celach edukacyjnych, grupy homologii.

Tak jak poprzednio przy tak zdefiniowanej reprezentacji graficznej reguły modus ponens możemy kolejne użycia jej w dowodzie przypisać kolejnym trójkątom a w wyniku otrzymamy graf złożony z uporządkowanych trójkątów posklejanych wierzchołkami w miejscach gdzie powtarzają sie w dowodzie przypisane im zdania. Graf ten w swoich wierzchołkach zawiera zdania, zaś jego krawędzie to związek pomiędzy wierzchołkami polegający na tym że wystąpiły one w jednej regule modus ponens. W tym miejscu następuje pewien poważny przeskok koncepcyjny. Dotychczas rozważaliśmy grafy, teraz dołączmy do naszego postępowania także to co znajduje sie pomiędzy nimi. Będziemy uważać, rysunek powyżej przedstawia nie tyle graf z wierzchołkami i krawędziami co element powierzchni – czyli 2 wymiarowy simpleks i konsekwentnie, graf reprezentujący dowód stanie się „zlepkiem” takich simpleksów, czyli kompleksem simplicjalnym.

Podkreślmy że w zbiorze tym simpleks występuje tylko tam, gdzie 3 zdania będące jego wierzchołkami są użyte w pewnej regule modus ponens. Nie ma żadnej możliwości uzupełnienia krawędzi ( np. do postaci simpleksów 3 wymiarowych czyli czworościanów posiadających pewną objętość) tam gdzie reguła modus ponens nie występuje.

W tak otrzymanej strukturze geometrycznej, będziemy rozważać grupy homologii. Dodamy jednak do owej struktury dodatkowa informację o negacji pełnych zdań ( a więc o zdaniach postaci {A= \neg p} dla pewnego zdania {p}. Jakiekolwiek występowanie negacji w innej formie syntaktycznej nie będzie nas interesować, toteż jej użycie np. w koniunkcji, wewnątrz nawiasów itp jest dla nas całkowicie pomijalne. Przypomnijmy dodatkowo że dowód jest sprzeczny, kiedy na liście jego zdań występuje zarówno zdanie {A} jak i {\neg A}.

Formalizacje odwzorowania zbioru dowodu w grupy homologii rozpoczniemy od pokazania obliczeń na przykładzie najprostszych dowodów. Pierwszy z nich ma postać:

\displaystyle a_{0}. a \rightarrow a

\displaystyle a_{1}. a

\displaystyle a_{2}. MP(a_{0},a_{1} ) = a

Mamy zatem do czynienia z prostym simpleksem ( trójkątem skierowanym ) jak na rysunku poniżej:

AiA

gdzie zdanie b jest równe zdaniu a_0 z dowodu powyżej.  W odróżnieniu jednak od obliczeń które pokazaliśmy w poprzednim wpisie, tym razem w trójkącie tym dwa wierzchołki, a i c, są identyczne w tym sensie że zawierają to samo zdanie a.

Moglibyśmy teraz wyliczać ciąg grup kompleksów łańcuchowych tego obiektu, wg. znanych i nie bardzo złożonych zasad rachunków algebry homologii. Rozpoczęlibyśmy zatem od zbudowania ciągu grup abelowych kompleksów łańcuchowych, w następującej postaci:

\displaystyle 0 \overset{\partial_3}{\longrightarrow} C_{2} \overset{\partial_2}{\longrightarrow} C_{1} \overset{\partial_1}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_0 = 0 }{\longrightarrow} 0

Postąpimy jednak nieco inaczej. Obliczenia jak powyższe dają taki sam wynik, jak dla trywialnego przykładu pokazanego wcześniej i nie będziemy tutaj powtarzać tych obliczeń. Natomiast wprowadzimy pewien dodatkowy kompleks łańcuchowy {C_a} oraz odpowiadające mu odwzorowanie {\partial_a}. Grupa {C_a} będzie zawierała wierzchołki wraz z informacją o strukturze związanej z negacją zdań logicznych, zaś odpowiadający jej operator brzegu będzie działała na grupie łańcuchów 0-wymiarowych, a jego działanie będzie zależeć od wewnętrznej struktury związanej z wierzchołkami. Ciąg grup kompleksów łańcuchowych będzie zatem wyglądał tak:

HomologiaOdczepiona

Jak widać „rozdwoiliśmy końcówkę” ciągu grup łańcuchowych, możemy ją nazwać „odczepem” i mówić o „odczepionej” grupie homologii {H_a}. Aby określić działanie operatora {\partial_a} opiszemy jego działanie na generatorach grupy wierzchołków {C_0} zaś jego działanie na elementach pełnej grupy, które są, przypomnijmy, formalnymi sumami elementów zbioru wierzchołków, otrzymamy przez standardowe liniowe rozszerzenie.

Operator {\partial_a} definiujemy za pomocą następującej relacji:

\displaystyle \partial_a ( u) = |u| = u = - \partial_a( \neg u)

I to wszystko.

Zauważmy że działanie operatora {\partial_a} pozostawia działanie innych operatorów brzegu całkowicie niezmienionym. Nie wpływa zatem na wyliczanie żadnych grup homologii, poza swoją własną, oznaczmy ja {H_a}.

Przypatrzmy sę teraz jak wygląda {H_a}. mamy zależność:

\displaystyle H_a = ker( \partial_e ) / img (\partial_1)

Obrazem operatora brzegów {\partial_1} na zbiorze krawędzi, jest oczywiście grupa złożona ze wszystkich wierzchołków, w naszym wypadku {<a,b>}. Czym jest zbiór {ker(\partial_a)}? Jeśli zbiór wierzchołków zawiera wyłącznie różne wierzchołki, to nie istnieje pomiędzy nimi żadna relacja związana z operatorem {\partial_a}. Jest tak, gdyż operator ten przekształca każdy wierzchołek „z orientacją” na tożsamy mu wierzchołek „geometryczny”. Załóżmy że mamy zbiór N takich „wierzchołków z orientacją”. Nawet jeśli niektóre z „wierzchołków z orientacją” zawierają negacje, jeśli są to parami różne zdania, wynik nadal zawiera N wierzchołków, niektóre z nich co najwyżej mają znak minus.

Tak właśnie wygląda sytuacja dla simpleksu przedstawionego na rysunku powyżej. Wyliczmy bowiem jak zostaną przekształcone jego wierzchołki pod wpływem operatora {img (\partial_a)}:

\displaystyle \partial_a(a) = |a| = a

\displaystyle \partial_a(b) = |b| = b

\displaystyle \partial_a(c) = |c| = c

Jak widać zaczęlismy od 3 wierzchołków i na trzech wierzchołkach kończymy. W efekcie grupa homologii {H_a}jest równa:

\displaystyle H_a = 0 / <a,b,c> = 0

A co z pozostałymi grupami homologii? W przykładzie jaki tu rozważamy występuje istotna różnica w stosunku do przykładu trywialnego. A mianowicie zdanie {a = c}, czyli rozważany przez nas trójkąt ma sklejone dwa wierzchołki. Mamy zatem w trójkącie krawędzie {x,y,z} jednak krawędź {z} zaczyna i kończy sie w tym samym punkcie:

\displaystyle \partial_1(x) = b-a

\displaystyle \partial_1(y) = a-b

\displaystyle \partial_1(z) = a-a = 0

Oznacza to iż

\displaystyle Z_1 = ker(\partial_1) = <z,x+y>

Pierwszy generator jadra wynika bezpośrednio z rachunku {\partial(z) =0} zaś ostać drugiego generatora wynika oczywiście z faktu, że w sklejonym trójkącie, dwie pozostałe krawędzie, {x,y} tworzą samodzielny cykl. Tymczasem obraz brzegu trójkąta, to oczywiście suma jego krawędzi tak jak poprzednio:

\displaystyle B_1 = img(\partial_2) = <x+y-z>

Tym samym grupa homologii {H_1} jest równa:

\displaystyle H_1 = ker(\partial_1) / img(\partial_2) = <z,x+y> / <x+y-z> = Z

Grupa {H_0} która mierzy ilość spójnych składowych, jest izomorficzna z {Z} ( mamy tylko jedną składową i jest taka sama jak w poprzednim wypadku ( i dotyczy to wszystkich pozostałych grup).

Podsumujmy – sklejenie wierzchołka {a=c} doprowadziło do zmian w głównym ciągu grup homologii. Sklejenie to spowodowało powstanie dodatkowych jednowymiarowych pętli, zmieniając grupę {H_1}. Jednocześnie grupa odczepiona, jak ją nazwaliśmy, dla teorii niesprzecznej jest grupą trywialną równą grupie złożonej z jednego, tożsamościowego równego 0 elementu addytywnego.

Sytuacja wygląda zupełnie inaczej gdy rozważmy następujący dowód ( sprzeczny):

\displaystyle a_{0}. a \rightarrow \neg a

\displaystyle a_{1}. a

\displaystyle a_{2}. MP(a_{0},a_{1} ) = \neg a

Co odpowiada grafowi jak na rysunku poniżej

AinotA

Podkreślmy że nie ma w tym wypadku mowy o sklejeniu wierzchołków ( na wcześniejszych rysunkach oznaczanych {a} i {c}) gdyż tkwią w nich inne zdania, mianowicie zdania {a} i {\neg a} odpowiednio. Tu obecny pomysł istotnie rożni sie od opisów z kilku poprzednich wpisów. Wynika z tego że mamy do czynienia geometrycznie z przypadkiem trywialnym, odpowiadającym w sensie grup homologii dokładnie obliczeniom z pierwszego przykładu, opisanym w poprzednim wpisie. Zobaczmy jednak jak wygląda odczepiona grupa homologii {H_a}. Sprawdźmy jakie jest działanie operatora {\partial_a} na zbiorze wierzchołków:

\displaystyle \partial(a) = |a| =a

\displaystyle \partial(b) = |b| = b

\displaystyle \partial(c) = - \partial(a) = -|a|

Widzimy wyraźnie, że w zbiorze tym istnieje relacja która sprawia, że pewna suma generatorów {<a,b,c>} jest równa zeru, mianowicie {a+c = 0}. Czyli {Z_a=ker(\partial_a ) = <a+c>}. Natomiast obraz {B_0= img(\partial_1)} czyli zbiór brzegów, ma standardowe generatory {<b-a,c-b,c-a>} wraz z relacją, że wierzchołki te są spięte w cykl brzegu trójkąta. Grupa ilorazowa:

\displaystyle Z_a / B_0 = <a+c> / <b-a,c-b> = Z / 2Z = \{ 0,1 \}

Wyjaśnijmy. W mianowniku mamy tylko 2 a nie trzy generatory, gdyż relacja „spinająca trójkąt” pozwala wyeliminować jeden z generatorów związanych z wierzchołkami. Mamy zatem grupę ilorazową grup o jednym generatorze wolnym ( w liczniku) i 2 generatorach ( w mianowniku). Grupa w liczniku jest izomorficzna z zbiorem liczb naturalnych, zaś w mianowniku z suma prosta 2 takich grup. Iloraz jest grupą skończoną, złożoną z 2 elementów, 0,1, izomorficzną do grupy Z mod 2. Innymi słowy jest to grupa cykliczna, skończona o 2 elementach.

Mamy zatem następująca sytuację – dla przypadku teorii sprzecznej, odczepiona grupa homologii jest nietrywialną grupą skończoną, zaś pozostałe grupy homologii pozostają bez zmian.

Powyżej mieliśmy do czynienia z sytuacją wystąpienia jednej pary zdań sprzecznych. Wystąpienie większej liczby takich par, zwiększa wymiary grupy odczepionej – zyska ona nowe generatory. Jednocześnie będziemy oczekiwać, że nadal pozostanie ona grupą skończoną ( co wynika z faktu że ilość generatorów w jądrze operatora brzegu wynika z ilości par zdań sprzecznych, zaś w mianowniku z ilości cykli związanych z krawędziami. Analizowany graf ma w pewnym sensie minimalną liczbę krawędzi, i w bardziej skomplikowanych grafach liczba cykli złożonych z krawędzi będzie tylko większa )

I to by było na tyle w temacie grup homologii. Podane przykłady łatwo uogólniają sie na bardziej złożone teorie logiczne/kompleksy łańcuchów. W dalszych wpisach z tego cyklu będziemy z pewnością analizowali rozmaite konsekwencje przytoczonych definicji. W tym miejscu chciałbym sie jednak zastanowić nad ogólną sytuacją i możliwymi uogólnieniami.

Po pierwsze, pokazany ciąg homologii z doczepioną homologią odczepioną wygląda nieco sztucznie, ma jednak tą zaletę że w zerowym stopniu modyfikuje pozostałe grupy homologii.

Po drugie operator {\partial_a} został zdefiniowany w sposób uwzględniający własności negacji – jej zachowanie – na przykład zasada wyłączonego środka – przypomina oczywiście działanie grupy alternującej. Stąd propozycja definicji {\partial_a} podana powyżej. Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by zamiast obiektów logicznych rozpatrywać ogólne sympleksy, zaś zamiast zdań i ich negacji w każdym wierzchołku umieszczać obiekt z jakąś bogatą strykturą wewnętrzną, reprezentowaną przez grupę ( skończoną lub nie?). Odczepiona grupa homologii mierzy „zgodność” wierzchołków która, w odróżnieniu od własności mierzonych przez pozostałe grupy homologii, nie jest związana z własnościami geometrycznymi a jednocześnie nie jest lokalna. Wyobraźmy sobie sieć spinów, gdzie każdy z wierzchołków zawiera element grupy spinorowej. Grupa odczepiona może wówczas mierzyć własności związane z nierozróżnialnością cząstek umieszczonych w takim „krysztale spinowym”. Nie spotkałem sie z taką konstrukcją nigdzie, a nie wydaje sie być ona całkowicie pozbawiona zabawnych cech, czy może nawet praktycznych właściwości ( opis kryształu z pełną delokalizacją cząstek w określonej liczbie rozróżnialnych stanów spinowych). Widać, że uogólnienie w tym kierunku jest zarówno możliwe jak i niebanalne!

Po trzecie, dla przypadku logiki, konstrukcja homologii odczepionej, przedstawiona powyżej, wydaje się być dosyć przejrzysta. Kolejnym krokiem ( obok analizy homologicznych konsekwencji przedstawionych pomysłów) jest analiza teorii kohomologii. Kohomologia to teoria zajmująca sie odwzorowaniami liniowymi nad grupami homologii, albo alternatywnie, teoria analizująca związki odwrotne w stosunku do homologii. W wypadku homologii mieliśmy grypy łańcuchowe {C_k,C_a} analizowaliśmy które z cykli sa identyczne z dokładnością do brzegów obiektów o jeden większego wymiaru. W wypadku kohomologii sprawdzamy brzegami jakich obszarów większego wymiaru, są zadane cykle. nie posiadam obecnie wiedzy by napisać na ten temat cokolwiek sensownego, dlatego chętnie sformułuję przypuszczenie, że w kontekście logiki oznacza to analizowanie następującego zagadnienia. Brzegiem jakiego kompleksu symplicjalnego ( będącego geometrycznym modelem jakiegoś logicznego systemu formalnego, w tym kontekście – zwykle będzie to kompleks nieskończony! ) może być dowód sprzeczny?