No i niestety mam problem. Wpisu o żółwiach poniżej najpewniej nie da sie uratować, a przynajmniej się zniechęciłem. A ponieważ wspomina on o ciekawej rzeczy ( paradoksie Yablo)  jednak go opublikuję ze stosowną uwagą że jest błędny. Wierze żę jest mozliwe wykonanie stosownej konstrukcji, ale zarazem brak mi wiedzy i doświadczenia.

Konieczne sa następujące elementy:
1. zdania SN które będą wskazywać na kolejne zdania ( ale tylko na S(N+1))
2. każde zdanie N ma wyrażać teze o predykacie prawdy teori N+1 ( zę jest fałszywy)
3. fakt że metajęzyk danej teorii jest równie silny jak język, a tym samym zawiera w sobie prawdy języka przedmiotowego dla którego jest metajęzykiem, pozwala załatwić kwestię *braku* kwantyfikatora ogólnego który występuje w każdym ze zdań Sn w paradoksie Yablo. Twierdząc że metateoria nie umie prawidłowo ustalić zdan mówiących o predykacie prawdy swoich teorii twierdzimy w istocie coś o prawdzie jako takiej, która jest wspólna dla nich wszystkich ( bo każdy metajęzyk podciąga decyzję o niej  na swój poziom)

Mój błąd ( w sensie technicznym) polega na założeniu że predykat prawdy jest zdaniem. Nie jest. Predykat prawdy orzeka o zdaniach, dopiero określenie zdania o którym orzeka, pozwala rozważać go jako zdanie ( a tym samym mówić o jego zaprzeczeniu i wyciągać z tego wnioski).

*Poniżej link do wpisu który zawiera błędny, nieprawdziwy zmodyfikowany paradoks Yablo*

Motto:

    „W książce Stephena Hawkinga z 1988 Krótka historia czasu (ang. A Brief History of Time) na początku pierwszego rozdziału jest opisana następująca anegdota, wymiana zdań pomiędzy naukowcem i starszą panią:

Znany naukowiec (być może filozof Bertrand Russell) wykładał astronomię dla ogólnej publiczności. Opisywał, że Ziemia porusza się wokół słońca, słońce porusza się wokół centrum galaktyki.
Pod koniec wykładu starsza pani siedząca w końcu sali wstała : „Wszystko to co pan nam powiedział to są doprawdy głupoty. W rzeczywistości świat jest wielką płytą podtrzymywaną na grzbiecie wielkiego żółwia”
Naukowiec uśmiechnął się i z przekąsem zapytał „A na czym stoi żółw”?
„Jest pan bardzo sprytny młody człowieku”, odpowiedziała starsza pani, „Po prostu tam są żółwie aż do samego końca”.”

    W poprzednich wpisach pisałem o niepokojach związanych z semantyczną teorią prawdy Alfreda Tarskiego. W dzisiejszym wpisie napiszę kilka słow o paradoksie Yablo o którym można poczytać na stronie autora. Temat jest stosunkowo świeży i nadal aktywnie badany. Osobom niecierpliwym, oraz tym którzy ( słusznie) nie mają zaufania do moich mocy intelektualnych polecam lekturę artykułów linkowanych w wikipedii, ale zwłaszcza zalecam przeczytanie tego artykułu autorstwa samego Stephena Yablo. Cała reszta rozważań poniżej jest raczej niemądrą zabawa na bazie paradoksu wymyślonego przez owego filozofa. Temat wart jest sam w sobie rozważenia niezależnie od tego co kto sobie pomyśli po przeczytaniu niniejszego wpisu, który z powodu braków w mojej wiedzy, może być całkowicie błędny lub zawierać przejaskrawione stwierdzenia i wnioski. Jeśli ktoś sięgnie po race Yablo i je przeczyta cel wpisu zostanie osiągnięty. Ale to co napisano poniżej nie jest bynajmniej paradoksem Yablo a raczej jego ( pewnie błędną) przeróbką…

Jak wiadomo naiwna teoria mnogości była chora na antynomie. Problem ten rozwiązywana przez ładnych kilka lat, w początkach XX wieku, zas kulminacją owych działań leczniczych były ustalenie aksjomatyki Zermelo-Frankela Teorii Mnogości, budowa systemu Teorii Typów, jego uproszczenie przez Leona Chwistka, aż wreszcie budowa teorii modeli i zdefiniowanie hierarchii języków przez Tarskiego. O hierarchii tej pisałem poprzednio, dla celów obecnego wpisu wystarczy nadmienić że Tarskiemu przyświecały dwa cele. Celem pierwszym była eliminacja paradoksów semantycznych, na przykład znanego paradoksu kłamcy ( który polega na tym, że nie da sie w konsystentny sposob przypisać wartości logicznej zdaniu P=”Ja kłamię”). Celem drugim byla analiza pojęcia prawdziwości – pisałem o tym Tu i Tu. Koncepcja Tarskiego eliminuje antynomie dzięki „rozszczepieniu” języka teorii na język i metajęzyk. W języku, zwanym także językiem przedmiotowym, wszelkie wypowiedzi mają charakter syntaktyczny. W metateorii, zwanej językiem podmiotowym, wypowiadamy prawdy semantyczne, jak opinie o prawdziwości zdań teorii, ich dowiedlności itp. Prościej: teoria stawia twierdzenia i ich dowodzi, prawdziwość zdań i poprawność dowodów analizujemy w metateorii. Dzięki takiemu zabiegowi zdanie P=”Ja kłamię” jest wadliwe syntaktycznie, jest nieprawidłowo skontrowane, bowiem wypowiada ono tezę o sobie samym, mieszając poziomy języka. Teoria Tarskiego okazała sie być wystarczająco ekspresyjna by wypowiedzieć znaczenie pojęcia prawdy i wyeliminować antynomie. I została w matematyce przyjęta z owacjami, jest celebrowana do dziś.

Wyraźmy sobie że mamy pewien bardzo bogaty język, J0, który będzie dla nas metajęzykiem bardzo wysokiego poziomu. Może być to prawie język potoczny, załóżmy jednak że większość ( wszystko?) tego co chcemy w nim wywiedzieć da sie sformalizować, a więc zapisać ściśle, w oparciu o aksjomaty logiki, teorii mnogości i innych potrzebnych nam teorii matematycznych. Z pewnością nie odbiegniemy zbyt daleko od klasycznej matematyki, zakładając że J0 ma przeliczalną aksjomatykę. Co ważniejsze język taki jest co do zasady całkowicie możliwy do skonstruowania,  a nawet być może zapisania. W zasadzie nie użyjemy żadnych egzotycznych pojęć poza pojęciem predykatu prawdy T0, oraz języka pewnej teori J1, dla której nasz J0 jest metajęzykiem. Predykat prawdy T0 pozwala wyrazić nam osądy na temat prawdziwości zdań teorii J1, ktorą definiujemy w ramach metateorii J0. Z poprzednich wpisów pamiętamy że kryterium prawdy zostało sformułowane przez Tarskiego w następujący sposób:

(T0) Zdanie „P” teorii J1 jest prawdziwe gdy P

co zapiszemy formalnie jako T0P. Zauważmy że zdania oznaczamy zwykłą czcionką, a predykat czcionką pogrubiona. W zasadzie powinniśmy zamiast P w (T0) powinniśmy pisać Trans(P) oznaczając w ten sposób tłumaczenie P z teorii do metateorii, jednak w naszej analizie nie ma to większego znaczenia, i zgodnie z przyjętym zwyczajem w zasadzie pominiemy operację tłumaczenia milczeniem. (T0) jest  zdaniem należącym do metateorii J0, „P” jest nazwą zdania P w J0, zaś P jest translacją zdania P z języka teorii J1 do języka J0, o którym zakładamy że pozwala na takie tłumaczenie ( i wiele innych ciekawszych rzeczy, jak to bowiem zwykle się zakłada J0, jako metajęzyk J1,  jest bogatszy niż język J1. Matematycy zwykle zakładają żę metajęzyk teorii zawiera w sobie także język teorii przedmiotowej co całkowicie załatwia wzmiankowaną kwestię tłumaczenia ).

Oczywiście kiedy T0 nie jest spełnione, wówczas zdanie „P” nie jest prawdziwe w teorii J1. Możemy zapisać to w następujący sposób:

~(T0) Zdanie „P” teorii J1 nie jest prawdziwe gdy ~P

lub krócej ~T0P.

W ten sposób dla dowolnego zdania P teorii J1, możemy w teorii J0 wyrazić naszą opinię o jego prawdziwości. Zdanie T0 jest tym czym go nazwaliśmy, zdaniem, a zarazem jest ono predykatem prawdy. Teoria J1 posiada własny stosowny predykat T1. W szczególności mozna by twierdzić w J0 że w teorii J1 zawsze nieprawdziwy jest predykat prawdy T1, co przybrałoby formę (S0, bo jest to zdanie z metateorii J0):

(S0)  ~T0T1

Teoria J1 nadal może być bardzo bogata. Może na przykład zawierać całą teorię mnogości ( mielibyśmy wówczas jako J0 metateorię teorii mnogości), logikę i wiele interesujących i przydatnych teorii matematycznych. W szczególności środki teorii J1 moga być wystarczające do zdefiniowania pewnej teorii J2. Nie ma przeszkód by w J1 dał sie wyrazić predykat prawdy T1 orzekający o prawdziwości zdań teorii J2 dla której J1 jest metateorią. W szczególności teoria J1 jako metateoria, może być równie krytyczna wobec swojej teori przedmiotowej J2 i twierdzić że predykat prawdy T2 teorii J2 jest nieprawdziwy!  Tak więc w J1 zapiszemy:

(S1)  ~T1T2

Teoria J2 może i jest uboższa niż J1 no ale przecież nie tak uboga by popsuć nam zabawę i nie pozwolić zdefiniować następnej teorii J3 dla której J2 bedzie metateorią. Nic nie stoi na przeszkodzie by zapisać w niej następujące zdanie ( a czytelnik z pewnością sam dopisze stosowne zapewnienie że J2 zawiera aksjomatyke teorii mnogości, logiki itp. itd. ):

(S2) ~T2T3

Zabawę mozna kontynuować tworząc kolejne teorie J(N+1) dla których JN będzie metateorią, a każde zdanie będzie miało postać:

(SN) ~TNT(N+1)

Zdanie takie bedzie zapisem opinii że dla każdego predykatu prawdy teorii N+1, jej metateoria ma zdecydowanie negatywną opinię na temat jego prawdziwości.

Załóżmy (1) że (SK) będzie prawdziwe. dla pewnego K.

Oznacza to że prawdziwe jest zdanie ~TKT(K+1). Czyli zdanie T(K+1) jest fałszywe. czyli prawdzie jest zdanie ~T(K+1). Ale ~T(K+1) to po prostu treść zdania S(K+1). (SK) => ~S(K+1)

Z drugiej strony predykat prawdy metateorii K, wyrażając prawdziwość zdań teorii przedmiotowych, musi zgadzać sie z predykatami prawdy stosownych podteorii. W szczególności skoro elementem języka dowolnej metateorii jest język teorii przedmiotowej, to także predykat prawdy tych teorii zamkniętych „wewnątrz” naszej teorii daje sie tłumaczyć do języka teorii ( i metateorii). Czyli skoro z założenia (1) zdanie (SK) jest prawdziwe, to prawdziwe jest ~TKT(K+1). Wynika ż tego, że zdanie T(K+1) jest fałszywe ( bo zdanie SK mówi że predykat prawdy T(K+1) jest fałszywy). Zatem zdanie ~T(K+1)T(K+2) musi być prawdziwe ( bo zdanie to mówi że ów predykat jest fałszywy). Ale to jest zdanie S(K+1). SK => S(K+1)

Załóżmy (2) że (SK) jest fałszywe dla pewnego K.

Zdanie ~TKT(K+1) jest fałszywe. Oznacza to że prawdą jest że T(K+1). Czyli, że S(K+1) jest fałszywe. ~(SK) => ~S(K+1)

Z drugiej strony jesli (SK) jest fałszywe, to fałszywe jest ~TKT(K+1). Wynika z tego że prawdziwe jest T(K+1). Oznacza to że zdanie ~T(K+1)T(K+2) jes prawdziwe bo powstało przy użyciu niefałszywego predykatu prawdy. Ale to jest zdanie S(K+1). ~(SK) => S(K+1)

W powyższych rozumowaniach nie ustalaliśmy wartości K, zaś korzystaliśmy z własności które zachodzą wyłącznie dla danego K i K większych, czyli rozumowania są prawdziwe także dla K=0. W obu wypadkach uzyskaliśmy sprzeczność i jeśli powyższe rozumowania sa poprawne ( a bynajmniej nie jestem tego pewien), to zachodzą następujące ciekawe okoliczności:

  1. rozumowanie jest zbudowane w oparciu o paradoks Yablo, ale nie jest mu całkowicie tożsame. W szczególności oryginalny paradoks jest nazywany paradoksem niecyrkularnym ( noncircular), i ta cecha wydaje się tu być zachowana. Wszakże dowód zakłada jedną i konsystentną definicję prawdy pomiędzy różnymi (pod)teoriami co jest źródłem antynomii, a co może być także traktowane jako jakas forma kolistości. Kolistości w sensie syntaktycznym trudno tu się jednak dopatrzyć.
  2. Rozumowanie nie zawiera kwantyfikatorów, ale wydaje się być oczywiste że zawiera je niejawnie.
  3. To samo rozumowanie próbowałem wykonać stosując kwantyfikator po zdaniach (pod)teorii ( „dla każdego” P). Rozumowanie takie nie zakończyło się jednak paradoksem ( bo zaprzeczenie kwantyfikatora ogólnego to kwantyfikator szczegółowy. Polecam czytelnikowi wykonać jako ćwiczenie stosowne rozumowania. Użycie kwantyfikatora ogólnego w zdaniach SK pozbawia nas możliwości wskazania które zdania sa fałszywe, zostajemy ledwie z wiedzą że takowe istnieją ). Oznacza to że istotną częścią paradoksu Yablo jest jednoznaczne wskazanie konkretnych zdań teorii o których twierdzimy że są fałszywe. Zdania te nie muszą jawnie zawierać kwantyfikatora – co samo w sobie jest ciekawe, ale ich spełnianie musi mieć charakter „totalny” w tym sensie że muszą wyrazac jakąś treść ( tu – prawdziwość) odnosząca się do wszystkich (pod)teorii. Prawdziwość z pewnością nie jest jedyną cechą o takiej właściwości. Własność ta zapewne dałaby sie sformalizować
  4. Yablo opisuje w swoim artykule całkiem podobne rozumowanie przeprowadzone prez Wanga dla wykazania problemów w Teorii Mnogości bez aksjomatu ufundowania. Nigdzie nie użyłem pojęcia Domeny Dyskursu ( DoD) co sugeruje że argument jakoby z musu miałby to być zbiór niewłaściwie ufundowany ( w znaczeniu jakie temu pojęciu nadaje aksjomat ufundowania) wydaje się nietrafny, lub co najmniej dyskusyjne, i to pomimo że mamy tu do czynienia z „zstępującym ciągiem teorii”. Temat jednak jest zbyt subtelny na moją znajomość matematyki, i rad bym usłyszeć coś od mądrzejszych ode mnie.
  5. Nie jest wykluczone że powyższe dywagacje są całkowicie błędne. Nie zmienia to sytuacji że autor głęboko wierzy, że powyższa konstrukcja jest możliwa do przeprowadzenia w sposób poprawny. Jeśli czytelnik jest w stanie wykonać ją lepiej, a w szczególności zapisać dowód sprzeczności bardziej formalnie – zapraszam.
  6. Pewną nadzieją napawa mnie następująca możliwość analizy dla teorii J0. Jeśli teoria ta jest tak bogata że pozwala skonstruować podteorie JK dla K>0, to być mozę z konieczności jest w-zupełna ( omega – zupełna). Oznacza to że z konieczności wraz z twierdzeniami A(0), A(1), A(2)… dla kolejnych n, musi zawierać także twierdzenie „Dla każdego n A(n)”. W takim wypadku jak należy sądzić, paradoks Yablo redukuje sie do pewnego zdania samoodnoszącego sie ( bo zawierającego predykat prawdy a stwierdzającego fałszywość nieskończenie wielu zdań ze zmienną n, prosze porównać rozumowanie w tym artykule. Zdane o którym mowa ma postać ∀k > n+1, ¬Tsk ⇒ S(n+1, s’ ) gdzie s’ = „∀k > x, ¬S(k, s’)” w wypadku paradoksu Yablo.). Tym samym paradoks staje sie cyrkularny, zaś sprzeczność wynikałaby z zapisania w J0 zdania samoodnoszącego się, czyli z pogwałcenia syntaktyki. Argument ten obala zarówno powyższe rozumowanie jak i sam paradoks Yablo, daleki jednak jest od oczywistości. Nie ulega wątpliwości że jeśli zapiszemy wszystkie zdania (SK) w stosownej formie jednego predykatu z K jako zmienną, uzyskamy zdanie samoodnośne.  Aby jednak zdanie takie zapisać dla przypadku rozważanego w tym wpisie, konieczna jest pewna moc metateorii. Zdanie to powinno być koniecznie zapisane w J0. Sam fak że ono istnieje niewiele tu wnosi.
  7. W książce Tworaka cytowanej już wielokrotnie na tym blogu, pojawiają sie uwagi, że wg. niektórych badaczy pojęcie prawdy jest koliste ze swojej natury. W szczególności Anil Gupta i Nuel Belnapa proponują jako predykat prawdy koliste wyrażenie „(TD) Pr(„P”) = P gdzie P reprezentuje zdania danego języka wzbogaconego o predykat prawdy. […] jeżeli (TD)-zdania potraktujemy jako definicje cząstkowe i przyjmiemy że zarazem wzięte w sposób wyczerpujący określają definiowany predykat, to pojęcie prawdy musi być koliste (  Zbigniew Tworak “Współczesne teorie prawdy” Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2009 strona 120).