Wiele osób zna przykłady przejść fazowych. To jedne z najłatwiejszych do zaobserwowania zjawisk w przyrodzie: wrzenie wody i topnienie lodu są tu doskonale znanymi przykładami. Bardziej oczytana osoba może podać bardziej zaawansowane przykłady jak głośne zjawiska nadciekłości i nadprzewodnictwa czy przejście paramagnetyk-ferromagnetyk które można zaobserwować w laboratorium. Nieco mniej znane są powszechne zjawiska przemian fazowych różnych substancji od topionego sera i tężenia galaretki po zjawiska zachodzące podczas technologicznych procesów krystalizacji w półprzewodnikach czy tworzenia się skomplikowanych rodzajów stali węglowych. Wszędzie tam, gdzie nie ma zmiany składu chemicznego, a jest zmiana własności substancji, możemy powiedzieć, że mamy do czynienia ze zmianą fazy. Zmiany fazy dotyczą nie tylko substancji jednorodnych ale także stopów, roztworów, układów dynamicznych, ekonomicznych czy społecznych. Mam tu na myśli pewne daleko idące analogie w opisie zachowania tych układów, pewne wspólne cechy ich modeli matematycznych.

    Zmiany faz nie są wszystkie jednakowe, choć pod wieloma względami są bardzo podobne.

    Przemiany fazowe substancji współcześnie dzieli się na dwie główne rodziny. Pierwsza z nich obejmuje bardzo powszechną klasę zjawisk, w których zmiana własności substancji przebiega z wydzielaniem lub absorpcją energii. Nazywamy te przemiany przemianami nieciągłymi lub pierwszego rodzaju. Są to przemiany fazowe przebiegające z ciepłem utajonym przejścia. Przykłady to wrzenie wody i topnienie lodu – w obu wypadkach jeśli przestaniemy grzać to przemiana zatrzyma się i pewna cześć substancja pozostanie w fazie pierwotnej. Aby wyparowała cała woda w naczyniu musimy ją stale podgrzewać. Para wodna kiedy się skrapla oddaje sporo ciepła, co tłumaczy na przykład znaczną bolesność oparzeń parą wodną w stosunku do oparzeń gorącą wodą. Podobnie aby na jeziorze stopił się lód, nie wystarczy pierwszy promień słońca a góry lodowe mogą dopłynąć daleko na południe. Przejścia te nazywane są nieciągłymi gdyż wielkości fizyczne takie jak ciepło właściwe czy różnego rodzaju podatności magnetyczne itp. są nieciągłe, doznają skoku. Wielkości te są pochodnymi potencjałów termodynamicznych opisujących układ stąd można wnosić, że potencjały te, w tym energia swobodna choć ciągłe nie mają ciągłej pochodnej czyli są nieanalitycznymi funkcjami parametrów układu, np. temperatury.

    Drugą i bardziej interesującą rodziną przejść fazowych są zjawiska które przebiegają bez ciepła przemiany tak zwane przemiany ciągłe ( lub drugiego rodzaju wg. starszej terminologii). W zjawiskach tych zachodzi zmiana własności substancji, nieraz bardzo dramatyczna, jednak samo przejście nie wymaga wydatku energetycznego. W odróżnieniu od przejść fazowych nieciągłych opisanych wcześniej, w przejściach fazowych ciągłych brak jest nieciągłości pochodnej, mamy za to analityczność potencjałów termodynamicznych do co najmniej drugiej pochodnej ( nie są znane zjawiska przejścia z nieciągłościami w wyższych pochodnych). Szkolnym przykładem takiego zjawiska jest punkt potrójny wody, kiedy to przy ustalonym ciśnieniu i temperaturze mogą jednocześnie istnieć wszystkie stany skupienia: para wodna, ciecz i lód. Zjawisko to jest niezmiernie ciekawe, jako że skoro brak ciepła przejścia, to znaczne części substancji mogą niejako losowo być raz w fazie stałej, raz gazowej raz w ciekłej itd. Ponieważ transport energii wymaga czasu, zjawiska z wcześniej opisanej grupy przejść nieciągłych zachodzą w określonym tempie dyktowanym przez intensywność podgrzewania. Tymczasem zjawiska w przemianach ciągłych nie wymagając transportu energii mogą zachodzić w bardzo szybkim tempie, nagle! Przejawem takiego zachowania jest tzw. opalescencja krytyczna. Polega ona na zmętnieniu cieczy podczas przejścia ciągłego, co można sobie wyobrazić jako konsekwencje braku zdecydowania cząsteczek czy są gazem czy cieczą czy ciałem stałym. W języku matematyczno-fizycznym oznacza to, że w układzie występują wielkie fluktuacje. I na tym się skupimy.

    Jedną z najbardziej przydatnych własności układów fizycznych z punktu widzenia własności fazowych są wszelkiego rodzaju miary uporządkowania. Okazuje się, że przejścia fazowe związane są zwykle ze zmianami symetrii i porządku. Intuicyjnie rzecz ujmując diament – czysta i wysoce krystaliczna faza węgla – to zupełnie co innego niż kamień jaki wkładamy do pieca. Choć chemicznie mogą być to równoważne substancje, rożni je właśnie wewnętrzny porządek.

    Inny przykład, nad którym pochylimy się nieco bardziej to substancja o własnościach magnetycznych, tak zwany ferromagnetyk. Są to substancje metaliczne przyciągane przez magnes, a nawet dające się namagnesować trwale. Koncepcyjnie matematyczny model ferromagnetyka jest bardzo prosty, stąd jego dydaktyczne znaczenie. Ferromagnetyk, jest to ciało stałe, w skali mikroskopowej składa się z malutkich magnesików które, jak to magnesy, działają na siebie, w umiarkowanie silny sposób. Skąd one się biorą wyjaśnia nam mechanika kwantowa, posługując się pojęciem spinu, nie jest jednak konieczne dla naszych celów aby znać ich pochodzenie. W wysokiej temperaturze magnesiki te intensywnie kopią się wzajemnie i bezustannie, a każdy magnesik z osobna porusza się jak bądź, kręcąc się wokół punktu w którym umownie „jest przyczepiony”. Ponieważ różne magnesiki kręcą się słabo wpływając na siebie, efektem jest magnetyczna kakofonia i brak własności magnetycznych dostatecznie dużych kawałków substancji. Mówimy że ferromagnetyk znajduje się w fazie paramagnetycznej – ma on pewne własności magnetyczne które wynikają z tego, ze dostatecznie silne pole magnetyczne może wymusić w nim pewien prządek. Jeśli jednak temperatura spada, i efekt kopania słabnie, nabiera znaczenie wzajemne oddziaływanie magnetyczne magnesików wewnątrz ferromagnetyka. Okazuje się, że w pewnej temperaturze może dojść do niejako krystalizacji magnetycznej. Oto magnesy w pewnej objętości zaczynają wskazywać wspólny kierunek, co powoduje że ich pola magnetyczne się sumują. Skoro temperatura jest umiarkowana, zanim magnesiki zdążą wzajemnie zmienić zdanie co do porządku, efekt się wzmacnia i po chwili znaczna część magnesów może wskazywać ten sam kierunek. Powstaje twór nazywany domeną magnetyczną. Oczywiście magnesy w nieco dalszym kawałku substancji mogą dokonać w podobny sposób elekcji zupełnie innego kierunku tworząc domenę uporządkowaną w podobny sposób ale z nieco innym kierunkiem pola magnetycznego. Jeśli jednak substancja znajduje się w zewnętrznym polu magnetycznym, choćby słabym jak na przykład Ziemskie pole magnetyczne, pojawia się statystycznie większa preferencja do wybierania w różnych domenach kierunków zbliżonych do zewnętrznego pola. No i mamy magnes: albo w postaci magnetycznej rudy, albo w postaci namagnesowanych nożyczek w szufladzie. Podkreślmy: to że bryła metalu się magnesuje jest wynikiem raczej owego zewnętrznego pola które zmieniło preferencje pewnej, niewielkiej, ilości przypadkowo ukierunkowanych domen. Gdyby owego pola nie było, owe domeny, mając skończone i niewielkie rozmiary, wskazywałyby na losowe kierunki i efektu magnetycznego w dużej objętości w zasadzie byśmy nie zaobserwowali. Jednak domeny by tam były i własności takiego kawałka ferromagnetyka byłyby inne niż własności tego samego kawałka w wysokiej temperaturze kiedy domen nie ma wcale.

    Można zatem powiedzieć, że w niskiej temperaturze ferromagnetyk jest bardziej uporządkowany, mamy bowiem domeny, niż w wysokiej temperaturze, kiedy ich nie ma. Miarą owego porządku może być na przykład średni rozmiar domeny i zgodnie z intuicja faza nieuporządkowana, w wysokich temperaturach, będzie miała zerowy porządek ( domeny mają rozmiar 0), zaś w niskich będzie miała porządek wyższy, z niezerowym rozmiarem domen. W fizyce zamiast rozmiaru domen używa się średniej długości korelacji, która mówi o tym, jak daleko odległe są magnesiki które jeszcze mają tendencję do wskazywania tego samego kierunku. W zerowej temperaturze ruchy termiczne nie sa w stanie przeciwdziałać powstawaniu domen, zatem gdy temperatura dąży do zera, uporządkowanie ferromagnetyka jest największe.

    Co się dzieje kiedy wzrasta temperatura w takim ośrodku? Załóżmy przez chwilę, że nie ma zewnętrznego magnetycznego pola Ziemskiego, a my staramy się zmienić namagnesowanie naszego kawałka ferromagnetyka. Wówczas kiedy jesteśmy w niskiej temperaturze ciężko nam zmienić zastany stan układu: jeśli obrócimy pewna ilość magnesików, pozostała wielka ilość nadal wskazuje w tym samym kierunku i wytwarza wewnętrzne pole przeciwdziałające naszym staraniom. Układ ma pewną podatność magnetyczną, tak to nazywamy, nie jest ona jednak zbyt wielka. Co jeśli podniesiemy temperaturę? Okazuje się, że pomiędzy stanem kompletnego zamrożenia i samorzutnego uporządkowania, a stanem kompletnego chaosu i kakofonii magnetycznej istnieje temperatura, zwana temperaturą Curie, od nazwiska Piotra Curie, badacza tych fenomenów, w której układ jest na granicy, pomiędzy porządkiem i chaosem. Jakie są własności układu w tym punkcie? Układ nie jest magnetycznie skrystalizowany, i poszczególne magnesiki mają dosyć swobody aby wybrać wskazany im przez nas kierunek. Jednocześnie jednak układ jest bardzo czuły na dowolne sugestie pochodzące od jakichkolwiek pól magnetycznych. To co obserwujemy to magnetyczna opalescencja krytyczna! Magnesiki nie umieją się zdecydować czy chcą szaleć w chaosie, czy może przyłączyć się do lokalnie wzrastającego ( i rozpadającego się) porządku. Przyłożenie małego pola magnetycznego może mieć wielki wpływ na układ, co oznacza, że podatność magnetyczna układu jest olbrzymia. Jednocześnie ten wielki wpływ oznacza nic innego jak bardzo dużą długość korelacji, w idealnym wypadku nieskończoną! Jedynym czynnikiem który ją ogranicza są rozmiary próbki.

    Jak mikroskopowo wygląda układ dla którego mamy bardzo dużą długość korelacji? Czy znamy inne struktury dla których długość korelacji jest wielka? Pierwsze co przychodzi na myśl to kryształy. Układy takie jednak nie są dostatecznie ogólne aby opisać na przykład opalescencję krytyczną w punkcie potrójnym wody kiedy mamy do czynienia między innymi z gazem! Musimy szukać innych cech niż statyczny i powtarzalny porządek aby zrozumieć o co chodzi w zjawiskach krytycznych.

    Innym zjawiskiem w którym mamy duże korelacje są fraktale. I ta druga ewentualność jest tutaj istotna. Ważną tu cechą fraktali jest brak skali, bezskalowość. Co ona oznacza? Pewnie wielu z czytelników bawiło się zbliżając żuczka Mandelbrota i spostrzegło że w małych kawałkach składa się on z mniejszych i nieco zdeformowanych żuczków Mandelbrota i tak w nieskończoność. Układy fizyczne nie mogą ” w nieskończoność” choćby z powodu ziarnistej budowy materii, jednak właśnie ta cecha, brak wyróżnionej skali zjawiska, jest fundamentalną własnością układów krytycznych czyli przejawiających ciągłe przejścia fazowe.

    Oczywiście nie oznacza to, że w mikroskopowe obrazy domen ferromagnetycznych w punkcie Curie pokazałyby nam jakikolwiek fraktal (chyba że zaakceptujemy tak zwane random fractals). Dynamika magnesików jest całkowicie losowa, jednak ważną cechą jest jednoczesne występowanie uporządkowania o dowolnej długości skali. Inaczej mówiąc w układzie możemy znaleźć losowo nałożone na siebie struktury o dowolnych rozmiarach. Gdybyśmy chcieli jakąś zaawansowaną nanotechnologią stworzyć w nim domenę o rozmiarze 1mikrometra, 1 centymetra i 1 metra kosztowałoby nas to tyle samo zachodu! Oczywiście zakładając że mamy tak wielką próbkę. Podobnie w przypadku punktu potrójnego dla wody, opalescencja krytyczna oznacza, że w parze wodnej mogą pojawić się „krople” o dowolnych rozmiarach, po to by zaraz się rozpaść i ustąpić miejsca kroplom innej jeszcze wielkości. Jest to możliwe gdyż w warunkach punktu potrójnego znika różnica w uporządkowaniu między para wodną a cieczą, oraz znika także napięcie powierzchniowe – cząsteczki nie tracą energii na przejście między granicami ośrodków. W przypadku nadciekłości losowy i mikroskopijny przepływ w dowolnym kierunku jest wzmacniany do ruchu dużych fragmentów cieczy, dając w efekcie wrażenie że ciecz ma zerowa lepkość ( czy nie przypomina to wysokiej podatności magnetycznej?). Zerowy koszt zmiany w połączeniu z czułością na wpływy daje chaos o niespotykanych własnościach, chaos bardzo uporządkowany, kompletnie różny od kakofonii w wysokich temperaturach kiedy drgania termiczne niszczą każdy porządek. To trochę tak jakby w orkiestrze muzycy grali to co słyszą i dodatkowo nagle zaczęli uważać na to co grają inni koledzy. Jeśli ktoś smyknie smyczkiem po skrzypeczkach już po chwili możemy mieć huraganową odpowiedź orkiestry w tym samym tonie trwającą tak długo, aż z jakichś powodów strojenie się załamie i ton się zmieni na inny. To coś zupełnie innego kiedy każdy gra co słyszy ale zwraca uwagę tylko na siebie. Przy okazji czy zauważyli Państwo kiedyś, że koniki polne na łące zwykle grają synchronicznie? Skąd bierze się ten rytm skoro koniki się ze sobą nie dogadują? Nie muszą – to także zjawisko krytyczne, a opis tej synchronizacji – tak tak – to opis zjawiska krytycznego.

    Ostatnią rzeczą o której chciałbym nadmienić jest zdumiewająca cecha przejść fazowych ciągłych jaką jest uniwersalność. Na pierwszy rzut oka można się spodziewać, że ferromagnetyk i woda mają wiele wspólnego ze sobą. Jak pisałem ferromagnetyk w punkcie Curie i woda w punkcie potrójnym doznają ciągłego przejścia fazowego. Oznacza to, jak wiemy, że długości korelacji w tych układach stają się nieskończone. Matematycznie oznacza to katastrofę – rozbieżność. Jednak ta rozbieżność jest regularna! Jeśli przyjąć, że kontrolnym parametrem jest temperatura układu, to okaże się, że stopień rozbieżności długości korelacji jest potęgowy w funkcji temperatury a ponadto stopień ów jest dla różnych ferromagnetyków taki sam! Niewymienionym wcześniej a zdumiewającym przykładem przejścia krytycznego sa separacje mieszanin cieczy organicznych. Okazuje się, a jest to wynik doświadczalny, że bardzo rozmaite ciecze separują się według tych samych zależności w funkcji temperatury! Jakie zatem cechy decydują o charakterze przejścia? Fantastyczna sprawa – sądzimy że znamy odpowiedź na to pytanie! Jest to treść tak zwanej hipotezy o uniwersalności w przejściach fazowych. Oto co ma wpływ na własności przejścia fazowego ciągłego ( posłużę się tu fragmentem artykułu z wikipedii ):

  1.   wymiar d przestrzeni w którym zachodzi przejście fazowe. Przejścia zachodzące w 3 wymiarach mają inne własności niż te które można uważać za 2-wymiarowe. Mechanika statystyczna układów o większej lub równej 4 liczbie wymiarów przewiduje że w takim przypadku teoria pola średniego jest dokładna i nie ma potrzeby uwzględniania innych przyczynków w modelu.
  2. rząd tensorowy s parametru porządku. Dla przejść typu topnienie czy parowanie, parametr porządku jest skalarem (s=1): jest to średnia różnica gęstości a przykład fazy gazowej i ciekłej. Dla przejść w nadprzewodniku parametrem porządku jest wektor dwu funkcji rzeczywistych (s=2), jest to część rzeczywista i urojona funkcji falowej pary Coopera. Dla ferromagnetyków jest to wektor średniej magnetyzacji a więc s=3. W ciekłych kryształach opis wymaga użycia tensorów wyższego rzędu (s=5).
  3. symetrie mikroskopowe układu. Chodzi tutaj o wewnętrzne symetrie związane z mikroskopowymi stopniami swobody jak symetrie sieci krystalicznej czy niezmienniczość hamiltonianu kwantowego względem specyficznych grup symetrii.

Spodziewamy sie, że układy o identycznych cechach 1,2,3 będą wykazywać taka samą, uniwersalną fizykę w przejściu krytycznym.

     Co oznacza tak rozumiana uniwersalność? Przypomnijmy sobie zjawisko bezskalowości jakie znamy z geometrii fraktali. Jeśli układ wygląda w taki sam sposób w bardzo różnych skalach, na przykład jego cechy są takie same niezależnie czy patrzymy na niego pod mikroskopem czy okiem nieuzbrojonym, to jego opis nie może zależeć od szczegółów które tylko pod mikroskopem dostrzegamy, prawda? Zatem mamy tu do czynienia z pewną własnością układów, można rzec symetrią: układ nie wyróżnia skali, niejako nie wie w jakiej skali ma fluktuować, nie da się na podstawie jego fotografii powiedzieć czy to obraz z mikroskopu czy bez niego. Tak oto pojawia się grupa renormalizacji. Jest to zespół trików rachunkowych wyzyskujących istnienie tej symetrii nawet tam gdzie nie mamy wprost do czynienia z przejściem fazowym.

 

Poniżej następują komentarze jakie pojawiły się na buzz:

Wlodzimierz Holsztynski  –  Parałem się przejściami fazowymi układów klasycznych z Józkiem Sławnym (dziś Joseph Slawny), który mnie w tę tematykę wprowadził. Okrutnie zmusił do wysłuchania jego kilku dla mnie wykładów.
Apr 24, 2010
(tu następował usunięty wraz z kontem buzz komentarz…)

Wlodzimierz Holsztynski  –  Arturze, popełniasz popularną nieścisłość. Fraktal, to przestrzeń, której wymiar Hausdorffa jest różny (a więc większy) od topologicznego. Może być całkowity. Na przykład na płaszczyźnie euklidesowej łatwo skonstruować zbiór Cantora o wymiarze Hausdorffa równym 1, albo w przestrzeni 3-wymiarowej o wymiarze Hausdorffa równym 1 lub inny o wymiarze Hausdorffa 2.

Edward Marczewski (wtedy jeszcze jako Szpilrajn) dowiódł, że każda przestrzeń metryzowalna, ośrodkowa, dopuszcza metryzację przy której jej wymiar Hausdorffa jest równy topologicznemu (zamiast być większym lub równym ). Trochę mu pomógł Samuel Eilenberg.

Anegdotka: Wkrótce po wojnie matematyk z Sojuza daje odczyt we Wrocławiu, i cytując Szpilrajna, żałuje że go zamordowali Niemcy. Mówią mu, że przeżył, że jest na sali. Ale przybysz nawet nie chce słuchać, upiera się energicznie, mówi: Niet-niet, Szpilrajn to był horoszyj matiematik!

Apr 24, 2010
Paweł Wimmer  –  Co interesujące, fałszywe dokumenty załatwił Marczewskiemu Władysław Bartoszewski:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Edward_Marczewski
Apr 24, 2010
Wlodzimierz Holsztynski  –  Regulując relatywną długość wyrzucanego środkowego odcinka otrzymasz współczynnik podobieństwa jaki zechcesz. To idzie w parze z miarą Lebesgue’a. (W wypadku 2- lub
3-wymiarowej przestrzeni argument dopasujesz). W czasie iteracji w każdym kroku dasz tę samą proporcję, ale niekoniecznie 1/3.
Apr 25, 2010
Wlodzimierz Holsztynski  –  Arturze, oczywiście że zmieniając wymiar Hausdorffa musisz zmienić metrykę (zaćmienie Cię dopadło). Wymiar możesz w dozwolonym zakresie dostać dowolny, także całkowity, jaki zechcesz. (Mogę to napisać detalicznie).
Apr 25, 2010
Wlodzimierz Holsztynski  –  Wymiar Hausdorffa stosuje się do dowolnej przestrzeni metrycznej ośrodkowej. Do nieośrodkowych też się stosuje, ale jest trywialnie nieciekawy. Istnieje też wymiar Pontriagina-Sznirelmana – bardziej naturalny, ale mniej ciekawy – który stosuje się tylko do zwartych przestrzeni metrycznych. Ich mniej ogólna wersja twierdzenia Marczewskiego podana jaet jako dodatek do rosyjskiego tłumaczenie „Dimension Theory” Hurewicza i Wallmana (piękna monografia; była szczególnie ważna dla geometry algebraicznego Lubkina, gdy uczył się matematyki – tak mi powiedział).
Apr 25, 2010

Wlodzimierz Holsztynski  –  Tak, na prostej wymiar Hausdorffa dowolnego zbioru nie przekracza 1. Wymiar Hausdorffa jest niemalejący względem inkluzji (względem izometrycznego zanurzenia). We wcześniejszym poście napisałem:

]]] Na przykład na płaszczyźnie euklidesowej łatwo skonstruować zbiór Cantora o wymiarze Hausdorffa równym 1, albo w przestrzeni 3-wymiarowej o wymiarze Hausdorffa równym 1 lub inny o wymiarze Hausdorffa 2.

W następnym:

]]] (W wypadku 2- lub 3-wymiarowej przestrzeni argument dopasujesz).

A w końcu:

]]] Wymiar możesz w dozwolonym zakresie dostać dowolny, także całkowity, jaki zechcesz. (Mogę to napisać detalicznie).

Przepraszam za zatłuszczenia :-)

Apr 26, 2010

Wlodzimierz Holsztynski  –  Wymiar Hausdorffa jest tajemniczy, jest dziwnym cudem. Przybiera wartości dla danej przestrzeni topologicznej (metryzowalnej, ośrodkowej) w sposób ciągły, mam na myśli, że z pełnej półprostej, ale gdy się go zminimalizuje (zmieniając metrykę indukującą daną topologię), to ta minimalna wartość jest zawsze liczbą całkowitą. Gdybyśmy nie wiedzieli o wymiarze topologicznym, to osiadanie na wartości całkowitej byłoby prawie niemożliwą do wytłumaczenia zagadką. Nawet ze świadomością wymiaru topologicznego, wszystko jedno jest to magia.

Sytuacja ta różni się od innych, gdzie występują kombinatoryczne niezmienniki. W tych innych wypadkach, jak indeks odwzorowania sfery w siebie, jednak zawsze otrzymujemy wartość całkowitą. Nie ma takiego sąsiedztwa ciągłości i dyskretności, jak w przypadku wymiaru Hausdorffa.

Przypomniało mi się nagle jak smutno Hausdorff, wraz z żoną i szwagierką, zakończył życie. Jakoś przeżyli w Niemczech do 1942 roku, aż mając perspektywę obozu koncentracyjnego jednak popełnili samobójstwo. Wszystko się w człowieku buntuje na myśl, że takie potworne prymitywy jak Hitler & co. mogły zniszczyć kogoś takiego jak Hausdorff. Jeszcze wspomnę ku pokrzepieniu serca, że gdy w 1935 Hausdorff stracił pozycję uniwersytecką (w Bonn), i nie mógł w Niemczech publikować, drukował swoje prace w Polsce, w Fundamenta Mathematicae.

Niezwykle ważne i wspaniale giętkie pojęcie zbioru częściowo uporządkowanego wprowadził właśnie Hausdorff. Nic dziwnego, że był autorem twierdzenia pokrewnego twierdzeniu Kuratowskiego-Zorna – Hausdorff pokazał, że każdy łańcuch zbioru częściowo uporządkowanego, zawiera się w łańcuchu maksymalnym. W wielu sytuacjach, jak dla organizacji bazy danych, częściowy porządek jest lepszy od struktury drzewa.

Apr 30, 2010
Kazimierz Kurz  –  To jak już o Hausdorffie to ja przypomnę, że miał swój wkład w słynny paradoks: http://pl.wikipedia.org/wiki/Paradoks_Banacha-Tarskiego
May 1, 2010