You are currently browsing the monthly archive for Styczeń 2015.

Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?
Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky, zdobędziemy władze nad światem!

Dowód P zdania B to uporządkowany ciąg zdań, {a_{0},a_{1},a_{2} \cdots ,a_{n}} gdzie {a_{n} = B}, zaś zdania numerowane od {1, \cdots n-1} to aksjomaty, tautologie lub wcześniej dowiedzione twierdzenia. Ponieważ wcześniej dowiedzione twierdzenia mają dowody ( a więc ciągi zdań…), możemy przyjąć ( zastępując każde zdanie w powyższym ciągu jego dowodem) że zdania {a_{1}, \cdots a_{(n-1)}} to aksjomaty lub tautologie. Dla każdego podciągu uporządkowanego {a_{0} \cdots , a_{k},a_{(k+1)}} istnieje reguła wnioskowania ( inferencji, dedukcji), która pozwala wyprowadzić zdanie {a_{(k+1)}} z zdań {a_{0},\cdots , a_{k}}.

Modelowym systemem dowodzenia będzie dla nas system Hilberta dla predykatów, czyli system aksjomatów logicznych oraz dwie reguły inferencji – modus ponens i reguła podstawiania, wszakże nie ma powodów by nie rozważać systemów bogatszych. Modelowo zakładamy jednak że mamy system Hilberta z dwoma regułami wnioskowania a obie te reguły maja taką cechę że dają się zapisać jako pobierające 2 zdania i produkujące 3-cie zdanie.

Schematy aksjomatów systemu Hilberta:

\displaystyle (a_{0}) \emptyset

\displaystyle (a_{1}) \phi \Rightarrow ( \psi \Rightarrow \phi )

\displaystyle (a_{2}) (\phi \Rightarrow ( \psi \Rightarrow \vartheta )) \Rightarrow ((\phi \Rightarrow \psi) \Rightarrow (\phi \Rightarrow \vartheta))

\displaystyle (a_{3}) \neg \neg \phi \Rightarrow \phi

Uwagi: zbiór pusty { \emptyset} jako aksjomat pozwala na używanie wszystkich tautologii logiki, które sa jego konsekwencjami logicznymi.

Reguły inferencji:

(modus ponens MP )

\displaystyle R(\phi, \phi \Rightarrow \psi) = \psi

(podstawianie zmiennej PD)  – jeżeli {p} jest zdaniem a {A} schematem aksjomatu zawierającym zmienną P {A(P,Q,S \cdots)} to

\displaystyle {A(P,Q,S \cdots ) |(P=p) = A(p,Q,S \cdots)}

jest dozwolonym zdaniem systemu. Oczywiście podstawiamy za wszystkie wystąpienia zmiennej {P}, a zatem w części oznaczonej {\cdots} zmienna {P} już nie występuje.

Alternatywnie posługując się się notacją za pomocą {R} mamy

\displaystyle R(P=p,A(PQS \cdots)) = A(p,Q,S \cdots)

.

Dalej czynimy istotne założenie (??): Każda reguła wnioskowania R używanego systemu dowodowego da się zastąpić pewnym zbiorem reguł 2 argumentowych ( rozmownie identyczne jak dla rachunku funkcyjnego w którym funkcja o arności n zostaje sprowadzona do formuły 1-dno argumentowej zwracającej funkcję o n-1 argumentach jako wynik). Występowanie reguł wnioskowania które jako argumenty pobierają więcej niż dwa zdania systemu, nie jest przeszkodą dla tego co opiszemy dalej, wszakże fakt, że każda taka reguła może być zastąpiona zbiorem reguł 2-argumentowych ma niebanalne znaczenie dla całej koncepcji postępowania.

Oznaczmy przez P dowód w systemie. Kolejne zdania w dowodzie P spełniają pewne relacje:

  1.  w dowodzie P niektóre 3 kolejne zdania są powiązane regułami wnioskowania, to znaczy istnieje reguła R taka że {R(a_{i},a_{(i+1)}) = a_{(i+2)}}.
  2. dla pewnego {i} zdanie {a_{i} } jest tautologią a więc jest konsekwencją logiczną zbioru pustego – a tym samym jest wynikiem rozumowania opartego na jednym z aksjomatów.
  3. dla pewnego {i} zdanie {a_{i}} jest aksjomatem ( aksjomat może występować jako zdanie na dowolnym miejscu w dowodzie).

Konsekwencja relacji 1-3 jest taka, że możemy powiązać niektóre zdania dowodu w podciągi 3-wyrazowe. Tworzymy zatem podciągi zdań dowodu P, zwane dalej 3-kami. Czynimy to w następujący sposób:

  1. jeśli zdania {a_{i}, a_{j}, a_{k}} są powiązane regułą wnioskowana {R(a_{i},a_{j}) = a_{k}} tworzymy trójkę {(a_{i}, a_{j}, a_{k})}
  2. jeżeli zdanie {a_{i}} jest tautologią, a jego wystąpienie w dowodzie P służy wyprowadzeniu ( za pomocą reguły wnioskowania R) zdania {a_{k}}, to zdanie {a_{k}} uważamy za konsekwencje zbioru pustego {\emptyset } który jest jednym z aksjomatów i tautologii {a_{i}}. Tym samym mamy {R(\emptyset,a_{i}) = a_{k}} i dodajemy podciąg {(\emptyset,a_{i},a_{k})}

Identycznie postępujemy w wypadku aksjomatów ( nie potrzeba tu żadnej dodatkowej reguły bo aksjomaty sa zdaniami i obejmuje je postępowanie z pt. 1 )

Dokonaliśmy zatem odwzorowania ciągu zdań dowodu P w zbiór uporządkowanych ciągów 3-elementowych zbioru zdań P. Zbiór ten będziemy nazywali dalej triangulacją dowodu.

Zatem dowód {P = (a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} )} zaś jego triangulację {T= \{(a_{i},a_{j},a_{k}),\cdots (a_{s},a_{p},a_{q}) \} }

Wróćmy na chwilę do kwestii reguł wnioskowania które wymagają większej niż dwa, liczby argumentów. Nic nie stoi na przeszkodzie aby rozważać odwzorowania w podzbiór ciągów m-elementowych ( m<n) np. kiedy rozważamy wprost reguły inferencji o arności m. Zgodnie jednak z założeniem oznaczonym (??) każde takie odwzorowanie możemy sprowadzić do rozpatrywania 3-jek zdefiniowanych jak powyżej, co można określić jako możliwość triangulacji.

Tym samym zdefiniowaliśmy triangulację dowolnego dowodu.

Popatrzmy na przykład w systemie Hilberta. Dowiedźmy w systemie Hilberta że {p \Rightarrow p}

Uwagi do poniższego dowodu – dodawane nowe – a więc nie będące aksjomatami – zdania dowodu numerujemy od {a_{4}} gdyż {a_{0} \cdots a_{3}} sa numerami aksjomatów.

W nawiasach kwadratowych na końcu każdej linii dowodu wypisuję 3-kę jaką dodajemy do triangulacji dowodu. W uwagach na dole wpisu umieściłem komentarz do pewnej subtelności w dowodzie związanej z stosowaniem podstawienia.

\displaystyle 1. (a_{1})

\displaystyle 2. (a_{4}) \phi=p

\displaystyle 3. (a_{5}) p \Rightarrow (\psi \Rightarrow p) (PD 2 w (a_{1}) ) [ (a_{1},a_{4},a_{5}) ]

\displaystyle 4. (a_{6}) \psi = p

\displaystyle 5. (a_{7}) p \Rightarrow (p \Rightarrow p) (PD 4 w (a_{5}) ) [ (a_{6}, a_{5},a_{7})]

\displaystyle 6. (a_{8}) \psi = p \Rightarrow p

\displaystyle 7. (a_{9}) p \Rightarrow ((p \Rightarrow p) \Rightarrow p) (PD 6 w (a_{5}) ) [ (a_{8},a_{5},a_{9})]

\displaystyle 8. (a_{10}) \vartheta = p

\displaystyle 9. (a_{2})

\displaystyle 10. (a_{11}) ... (PD 8 w (a_{2}) ) [(a_{10},a_{2},a_{11})]

\displaystyle 11. (a_{12}) ... (PD 6 w (a_{11}) [(a_{6},a_{11},a_{12})]

\displaystyle 12. (a_{13}) ... (PD 2 w (a_{12})) [(a_{4},a_{12},a_{13})]

\displaystyle 13. (a_{14}) (p \Rightarrow ( p \Rightarrow p)) \Rightarrow (p \Rightarrow p) (MP a_{9} - (a_{13}) ) [(a_{9},a_{13},a_{14})]

\displaystyle 14. (a_{15}) p=>p ( MP a_{7} - a_{14} ) [(a_{7},a_{14},a_{15})]

QED ;-)

W liniach 10,11,12 dla zaoszczędzenia miejsca, nie wypisałem stosownej formuły logicznej a jedynie napisałem o jaką formułę chodzi np. w linii 10 w miejscu kropek powinna zostać wpisana formuła powstała z operacji podstawienia (PD) formuły 8 w schemat aksjomatu {a_{2}}. Dla przebiegu dalszych dywagacji, nie ma znaczenia czym są formuły w tych liniach, istotna jest za to trójka wypisana po prawej stronie, na końcu tych linii.

Otrzymaliśmy zatem dowód {(a_{1} \cdots a_{15})} wraz z triangulacją

\{ (a_{1},a_{4},a_{5}),(a_{6},a_{5},a_{7}),(a_{8},a_{5},a_{9}),(a_{10},a_{2},a_{11})

(a_{6},a_{11},a_{12}), (a_{4},a_{12},a_{13}),(a_{9},a_{13},a_{14}), (a_{7},a_{14},a_{15}) \}

TaaDaa! Mamy zatem kompleks symplicjalny ;-) i bawimy sie Sage:


sage: K=SimplicialComplex([[1,4,5],[6,5,7],[8,5,9],[10,2,11],[6,11,12],[4,12,13],[9,13,14], [7,14,15]]);K
Simplicial complex with 14 vertices and 8 facets
sage: K.dimension()
2
sage: #porównać!!! : http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_characteristic
sage: #http://en.wikipedia.org/wiki/Cubohemioctahedron
sage: K.euler_characteristic()
-2
sage: K.cohomology()
{0: 0, 1: Z x Z x Z, 2: 0}
sage: #brak połączonego komponentu mógłby oznaczać lukę w dowodzie!
sage: K.connected_component() == K
True
sage: #hm...
sage: K.fundamental_group()
Finitely presented group
sage: Show(K.graph())

sage: K.betti()
{0: 1, 1: 3, 2: 0}

Ostatnia wynik oznacza że mamy 3 dziury – koła – w kompleksie reprezentującym dowód ( nie ma to żadnego znaczenia dla logiczne poprawności dowodu. Słowo dziura jest tu użyte jako nazwa na obiekt topologiczny w przestrzeni kompleksów krawędziowych na którą odwzorowujemy dowody).

W oparciu o powyższe chyba niewiele da się zrobić. Niemniej nawet z tak nieskomplikowaną maszynerią, można silić się na jakieś działania. Można na przykład zapytać jakie związki zachodzą pomiędzy dowodami posiadającymi triangulacje o tych samych własnościach homologicznych ( jak liczba Betii – czyli liczba „dziur” w kompleksie symplicjalnym). Powątpiewam by wynikało z tego coś epokowego, czy nawet ważnego. Wydaje sie tak być choćby z tego powodu że cała powyższa maszyneria jest właściwie ślepa na logikę. Jedyne co zostało odwzorowane w tej konstrukcji, to informacja o następstwie zdań w dowodzie i ich wzajemne relacje ( co z czego wynika) a i to na poziomie numeracji, bez zachowania jakichkolwiek informacji o strukturze zdań, aksjomatów itp. Niemniej jako ciekawostka ( a może i jako fakt sam w sobie) nie są to rzeczy całkiem głupie, jak sądzę.

Warto także zauważyć, że powyższa konstrukcja, co zupełnie pominąłem, daje pewne szanse na zabawę krawędziami, drzewem rozpinającym dla kompleksu symplicjalnego, a może nawet homotopią na kompleksie, z czym można by wiązać pewne nadzieje.

No oczywiście interesują nas konfitury. Co zrobić z sprzecznością? Chcielibyśmy aby sprzeczność pojawiała sie jako nieorientowalnośc kompleksu symplicjalnego ( a wiec istniałyby zbiory zdań sprzeczne, ale nie byłyby orientowane ich triangulacje. Spełnialność zdań == orientowalność)

Należałoby postąpić tak. w przykładzie powyżej każde zdanie było punktem, a każde zastosowanie reguły wnioskowania definiowało 3-elementowy simplex. Zdefiniujemy następujące przyporządkowanie:

  1. każdemu zdaniu {a_{i}} przyporządkowujemy krawędź skierowana zdefiniowana jako {(d^{s}_{i} d^{e}_{j} )}.
  2. jeśli zdanie {a_{i}} ma postać { \neg a_{k}} dla jakiegokolwiek {k<i}, to przyporządkowujemy mu parę {( d^e_k, d^s_k )} ( odwrócona kolejność!) która występuje już w triangulacji ( p.1 ).
  3. jeśli zdania {a_{i}, a_{j}, a_{k}} były w relacji R: {R(a_{i},a_{j}) = a_{k}} to w miejscu trójki {(a_{i},a_{j},a_{k})} wpisujemy {R(dd,dd) =dd} ( za każde zdanie {a_{i}} wpisujemy stosowną parę symboli d zdefiniowaną w pt. 1 i 2. patrz dalej pt.4 )
  4. każda 3-ka ( trójkąt) zostaje tym samym zamieniona na wyrażenie { (a_{i},a_{k},a_{j}) = T \to DT = ( d^{p}_{i},d^{q}_{i},d^{r}_{k},d^{s}_{k},d^{t}_{j},d^{u}_{j} ) } gdzie {i,j,k \in \{0...n \}} są numerami zdań z dowodu, zaś {p,q,r,s,t,u \in \{s,e \}}. DT jest trójkątem dualnym dla T ( zależność boki – wierzchołki!).
  5. W każdym wyrażeniu DT dokonujemy remuneracji i redukcji tak by opisywało trójkąt zdefiniowany przez 3 wierzchołki. Oznacza to że utożsamiamy pary wierzchołków w których odcinki odpowiadające zdaniom z trójkąta bazowego T są sklejone.

W wyniku takiej operacji dualizacji kompleksu triangulacji dowodu uzyskujemy kompleks dualny zawierający w sobie informacje o negacji zdań. Informacja ta zawarta jest w orientacji krawędzi kompleksów dualnych.

Twierdzenie; Jeśli zbiór zdań M jest niesprzeczny to dualizacja jego triangulacji jest orientowalna.

Dowód ( poglądowy): Każdy trójkąt dualny ma określoną orientację, wynikającą z porządku jego wierzchołków. Załóżmy że 2 trójkąty mają wspólna krawędź p. Zachodzą następujące przypadki:

  1. pewne zdanie ( reprezentowane przez tą krawędź) jest wynikiem 2 wnioskowań za pomocą MP lub PD ze zdań ( twierdzeń) teorii.
  2. istnieją 2 rozumowania oparte o MP lub PO w których wykorzystano tą samą przesłankę p
  3. istnieje zdanie p które jest wynikiem rozumowania MP oraz innego rozumowania PD.

Jeśli teraz orientacja tych 2 trójkątów na wspólnej krawędzi jest przeciwna ( czyli kompleks nie posiada spójnie zdefiniowanej orientacji) to albo 2 użycia MP lub PO prowadzą do wniosków p i ~p ( orientacja! ) albo w rozumowaniu użyto jako przesłanki raz p a innym razem {\neg p}, albo wyprowadzono zdanie p za pomocą MP a w dowodzie użyto go w znaczeniu {\neg p} za pomocą PD . cbdo.

Na przykład obliczeń homologii dla przypadku dualnej reprezentacji dowodu powyżej przyjdzie państwu nieco poczekać…bo muszę się nauczyć homologii singularnej ;-) A na poważnie, bo triangulacja na nieznanym terenie wymaga czasu i skupienia.

Uwaga: symbol { \phi=p} należy rozumieć jako fragment reguły podstawiania zdania p do aksjomatu na liście zdań dowodu. Sytuacja ta wymaga komentarza. Do dowodu nie wolno sobie wpisywać zdań które nie są twierdzeniami, a p nie jest twierdzeniem w naszym systemie. Jednak w systemie tym obiekty nazwane wyżej aksjomatami, w istocie nimi nie są! Zdania {a_{0} \cdots a_{3}} sa schematami aksjomatów. Jeśli zatem dysponujemy pewną liczbą zdań {p,q,r,s \cdots }, a może ich być skończona lub nieskończona liczba, powinniśmy uważać że system ma stosowną liczbę aksjomatów, powstających jako wynik podstawienia za wszelkie zmienne {\phi, \psi \cdots } występujące w ich schematach zdań systemu. Inaczej – aksjomaty zawierają zmienne – oznaczane greckimi literami – zaś zdania oznaczone są małymi literami łacińskimi. Przy takim postępowaniu, reguła podstawiania nie jest potrzebna, zaś w miejsce „wprowadzenia zdania {p}” wypisalibyśmy po prostu stosowny aksjomat. Należałoby jednak wówczas ponumerować – i przytoczyć – wszystkie – używane w dowodzie -aksjomaty… Ekonomiczniej będzie dodać zdanie {\phi=p} rozumiejąc przez ten fakt, że chodzi o zdefiniowanie stosownego podstawienia w odpowiednim schemacie aksjomatu.)

Dodatkowe komentarze do przemyślenia:

  1. sprzeczność może się pojawiać jako syntaktyczna ( p i ~p sa twierdzeniami teorii, alternatywne formy) albo semantyczna ( przy wartościowaniu, brak spójnego wartościowania). Co z tym zrobić?
  2. większość opisanych w literaturze paradoksów jest „nisko-wymiarowa” to znaczy są relatywnie prostymi zdaniami które maja w związku z tym relatywnie prosta triangulację (sprzecznych) dowodów. W topologii wiadomo że minimalne przestrzenie nieorientowalne sa relatywnie niskiego wymiaru ( wstęga, butelka). Przypadek? Chyba nie…zwłaszcza jeśli reprezentacja spójności za pomocą orientowalności jest sensowna.
  3. orientacje są tyko dwie, niezależnie od wymiaru przestrzeni. Istnieją logiki wielowartościowe. Wszakże sprzeczność albo niesprzeczność nie ma nic wspólnego z prawdziwością a ta z wartościowaniem….
  4. ostatnio pokazano że są przestrzenie nietriangulowalne, co by to miało być w tym obrazku, gdyby istniał funktor odwrotny? Być może nic, a może obiekty które nie dają się aksjomatyzować skończoną ilością aksjomatów –> niezupełność fundamentalna? Niezupełność nie musi być z ty związana, choć brzmi atrakcyjnie. Przykład takiego obiektu jest nieorientowalny ( ale nie wiem czy takie obiekty muszą być nieorientowalne) – tylko paradoksalne teorie nie dopuszczają lokalnie skończonej aksjomatyzacji?

Źródła:

  1. Duda „Wprowadzenie do Topologii” T1 i 2
  2. Grell „Wstęp do matematyki. Zbiory, struktury, modele.”
  3. Trzesicki „Logika i teoria Mnogości”
  4. http://en.wikipedia.org/wiki/Singular_homology
  5. linki w tekście
Reklamy

wyciag.jpg     Średniowieczny podróżnik przemierza, na grzbiecie wielbłąda, Jedwabny Szlak. Wiezie cenne perkale, jedwabie i korzenne przyprawy do domu swego ojca – znanego kupca w Wenecji. Na jego drodze czają sie rozliczne niebezpieczeństwa, zbójcy, magowie władający dżinami, diabeł kuszący go nieczystym ciałem sprzedajnych kobiet, ale najstraszliwsze z nich to pustynia. Aby ją przebyć, nie wystarczy czyste sumienie, odwaga i dobre zwierzęta. Trzeba czegoś więcej. Trzeba mądrości. I zapasów wody. Na wielu odcinkach podróż przebiega od oazy do oazy, i jeśli w drodze pomiędzy nimi wody braknie, podróżnik nie da rady zawrócić, ani nie dojdzie do koniecznego dla uzupełnienia zapasów źródła. trzeba więc obserwować słońce, chmury, ptaki i skały. Mieć zaufanego przewodnika i racjonować zapasy. Przebędzie pustynie tylko ten, kto będzie miał dostatecznie dużo pełnych bukłaków i tykw, wypełnionych życiodajnym płynem. Komu bukłaki pękną, zginie. Życie podróżnika zależy od wody i tego czy zdoła na trasie podróży utrzymać w dobrej kondycji zwierzęta. Przejść da rady tylko karawana. Pojedynczy człowiek nie zdoła poprowadzić dosyć wielbłądów, nie uniknie ryzyka. Istnieje pewien minimalny rozmiar wielkości grupy podróżników – może jest to dziesięciu? może dwudziestu? Mniej ludzi nie zdoła pokonać pustyni…

    Ludzkość rozwija sie na planecie Ziemia od jakichś pół miliona lat. Opanowaliśmy wiele niszy, a kluczowym dla tego faktu, obok rozmaitych cech gatunkowych, jest oczywiście zdolność podróżowania. Czym byłyby nasze zdolności gdybyśmy egzystowali przypisani do miejsca jak drzewa? Dlaczego tak łatwo się nam podróżuje? Och, trywialna odpowiedź, ale bynajmniej nie mniej przez to prawdziwa jest taka: bo przejście z miejsca A do miejsca B nie wymaga nadmiernego wysiłku jeśli miejsca A i B są nieodległe. By przejść kilka metrów wystarczy zrobić kilka kroków. A każdą długą drogę lądową można podzielić na mniejsze kawałki i przejść etapami. Góry można ominąć, rzeki przepłynąć. Da sie żyć. Inaczej jest z podbojem kosmosu. Aby wystrzelić sztucznego satelitę, należy nadać mu pierwszą prędkość kosmiczną wynosząca około 7.9 kilometra na sekundę. Każde ciało które będzie miało prędkość mniejszą ( mówimy o ruchu bezwładnościowym, bez stałego napędu. ) wystrzelone – spadnie z powrotem na powierzchnię Ziemi. Stąd znacznie łatwiej dopłynąć nawet i do Ameryki niż wzlecieć na orbitę. Do Ameryki można płynąć powoli, na orbitę – trzeba szybko. Konieczne jest pokonanie bariery potencjału ziemskiego pola grawitacyjnego, a dopóki nie dysponuje sie technologią pozwalającą ją pokonać, wszelkie działania są bezskuteczne. nie pomoże ci dwa razy większa armata. Nie pomoże Ci legion biskupów modlących się o błogosławieństwo. I nie pomoże Ci dłuższy namysł. Chcesz polecieć – musisz mieć prędkość większa niż prędkość progowa.

Chcemy zamienić pewną ilość wody w parę. Stawiamy garnek na piecu i czekamy. No tak, jak poczekamy długo – wda wyparuje, my jednak jesteśmy niecierpliwi, chcemy by woda wyparowała jak najszybciej. Oczywiście musimy zacząć ją podgrzewać. Woda wrze. Paruje intensywnie. Aby ją odparować musimy jej dostarczyć pewnej ilości ciepła. Jeśli nie dostarczymy tej pewnej – progowej – ilości energii – woda nie wyparuje w całości. Ile energii jest konieczne – określa ciepło parowania wody ( stała przy zadanej temperaturze i ciśnieniu). Aby odparować 1 kg wody musimy dostarczyć około 2 257  kJ utrzymując wodę w temperaturze 100 stopni Celsjusza. Jeśli tej energii nie dostarczymy – to pomijając inne procesy ( np. powolne parowanie wynikające z naturalnej dyfuzji miedzy ośrodkiem gazowym a ciekłym) woda nie wyparuje.

Powyższe i wiele innych zjawisk mają pewien uniwersalny element – który nazywa sie efektem progowym. W bardzo wielu sytuacjach, aby jakieś zjawisko fizyczne ( lot kosmiczny, przełączenie w tranzystorze, zapłon gwiazdy ) bądź proces techniczny ( spalanie, wypiek, wybuch ) mogło mieć miejsce, rozpocząć działanie, konieczne jest pokonanie pewnej bariery. Pochodzenie tej bariery bywa rozmaite, odgrywa ona rozmaite role. W technice czasami bariery są pożytecznym zjawiskiem, na przykład umożliwiającym sterowanie ( włączanie i wyłączanie) danym procesem. W większości wszakże wypadków, wydaje sie że bariera konieczna do pokonania, by uzyskać pożądany efekt, jest zjawiskiem niepożądanym. Ileż łatwiejsze byłoby życie gdyby zjawiska zawsze były liniowe, a zwiększenie wysiłków zawsze przynosiłoby proporcjonalne zwiększenie efektów. Niestety tak nie jest. W większości wypadków jest zgoła odwrotnie – zanim nie pokonamy jakiejś bariery, efekt wydaje się być zgoła nieobecny, a nasze, nieraz kosztowne, starania, nie przynoszą żadnych użytecznych efektów. Bariery fizyczne i techniczne są zwykle wewnętrzną cechą procesów, niemożliwą, lub szalenie trudną do usunięcia lub ominięcia. To właśnie owe fizyczne bariery odpowiadają np. za brak kontrolowanej fuzji termojądrowej ( w tym wypadku jest to bariera odpychania kulombowskiego jąder atomowych ) czy brak tanich podróży w kosmos ( p. wyżej).

Wszakże obok barier fizycznych, istnieją  odbijają sie na naszym życiu  także inne bariery: niepełnosprawni zmagają sie z idiotycznie zaprojektowanymi elementami urbanistycznymi, członkowie mniejszości z ksenofobią i uprzedzeniami, granice awansu kobiet wyznaczane sa częściej przez role partykularne opinie co do społecznych niż przez realne kwalifikacje itp. Istnieją oczywiście starania nakierowane na przeciwdziałanie takim sytuacjom, i niektóre z nich przynoszą efekty! Właściwie to w odniesieniu do ostatnich kilku spraw, można by powiedzieć, że każda bariera – dotycząca niepełnosprawnych, mniejszości czy kobiet, a także rozliczne bariery ekonomiczne i gospodarcze, zwykle sa mniej lub łatwiej ale zawsze możliwe do pokonania jeśli postawimy sobie ich pokonanie za cel. Czasami zmiany sa śmiesznie wprost łatwe do wprowadzenia, a trywialne rozwiązanie nie dosyć ze istnieje to wymaga nieraz niewiele więcej niż odrobiny dobrej woli!

Wiele się mówi w Polsce, o wspomaganiu przedsiębiorczości. Wszakże od wielu, wielu lat, utrzymuje sie w Polsce istnienie bariery która z oczywistych powodów powinna zostać zniesiona. Mowa oczywiście o tzw. minimalnej składce na ZUS. Trudno o drugą rzecz bardziej szkodliwą dla przedsiębiorczości, a jednocześnie o bardziej kretyńską konstrukcję ekonomiczna. Oto na rynku przedsiębiorczości minimalna składką na ZUS jest właśnie progiem jaki musi pokonać przedsiębiorstwo ( a mówimy w tej skali zwykle o mikrofirmie złożonej z jednego pracodawcy, prowadzącego własną działalność gospodarczą). Człowiek taki stoi przed dylematem – rozruch firmy to same koszty, zysków nie ma albo sa zgoła mikroskopijne, I tak przez rok, dwa lata. W tym czasie podatki płaci sie proporcjonalnie do zysku, ale ZUS, w określonej i niemałej wysokości. Zakładając że człowiek taki nie jest krewnym bogatego człowieka ( nie mamy wówczas do czynienia z mikrofirmą ale z przybudówka większego kapitału), wybór jest tylko taki: zamykamy/poniechamy działalność gospodarczą albo działaby w szarej strefie oszukując państwo i nie płacąc podatków wcale.

Tymczasem rozwiązanie jest banalnie proste. Firmy które generują zbyt mały zysk, lub nie generują zysku wcale powinny zostać zwolnione z opłat w kwocie minimalnej składki na ZUS. Należy koniecznie usunąć efekt progowy. W jego miejsce należy wprowadzić stosowną składkę linową, o wysokości zależnej od zysku i tak dobranej by w wypadku osiągnięcia kwoty minimalnej dochodów odpowiadała minimalnej składce na ZUS. Po prostu zamiast progu – należy interpolować zmienny podatek tak by płacony był od pewnych minimalnych kwot zysku, a uzyskiwał wartość minimalnej składki na ZUS tam gdzie mowa o dochodach gwarantujących po opodatkowaniu – płacę minimalną. Zmiany takie mają same zalety:

  1. dotknięciem czarodziejskiej różdżki okazałoby sie że opłaca sie rejestrować niskodochodową działalność gospodarczą. Kto nie kupi spokoju i bezpieczeństwa od kontroli fiskalnej, jeśli będzie go to kosztowało tylko pewien procent zysku, powiedzmy 20 – 50 PLN miesięcznie?
  2. lepiej mieć bardzo niskie składki i prawo do bardzo niskiej emerytury, niż nie mieć składek i emerytury wcale. Dla ZUS także byłoby lepiej mieć większe – pomimo ze z drobnych kwot – wpływy niż nie mieć ich w ogóle!
  3. można czasowo odstąpić od ściągania składek na ZUS dla kwot poniżej opłacalności ściągania ( kwota ta mogłaby być zmienna i zależna od warunków ściągalności, zdolności organizacyjnych ZUS itp.). Urzędników nam nie brak – nie chodzi o to by dołożyć im roboty przy ściąganiu 1 PLN miesięcznie. Wszakże pomimo że można odpuścić takim przedsiębiorcom symboliczne składki – będą oni zarejestrowani. państwo będzie wiedzieć o ich działalności, będą oni objęci nadzorem gospodarczym ich działalność będzie sie cywilizować.
  4. kim sa tacy niskodochodowi przedsiębiorcy? To zwykle okresowo działający pracownicy na rynku budowlanym, ogrodniczym, ale także młodzież usiłująca żyć z korepetycji, prac w ogródkach, i własnych pomysłów. Zwłaszcza ci ostatni mogliby na takich zmianach zyskać, a niejeden z nich to bogaty w innowacyjne pomysły młody człowiek bez kapitału i dochodów! Ci ludzie obecnie działając w szarej strefie są podatni na oszustwa ze strony najmujących ich pracodawców, kredytodawców itp.. System pozbawiony progu dla niejednego z nich mógłby stać się początkiem poważniejszej działalności gospodarczej – nie wiemy może miałoby to dobroczynne skutki. System w którym muszą oni zaczynać po balcerowiczowsku – od oszustwa – jest systemowym tolerowaniem patologii.

Na koniec kąśliwa uwaga – kto nie chce niech nie czyta: dlaczego tego typu próg egzystuje a nikt z szacownych profesorów na stanowiskach ministrów  finansów nie zamierza problemu rozwiązywać. Odpowiedzi są jak zwykle dwie: (1) ministrowie to głupcy bez szerszych horyzontów intelektualnych. Po prostu pomimo całej swojej paplaniny są to ludzie kiepsko wykształceni, nierozumiejący matematyki, prymitywy, prostaki. Całe życie  szukają okazji do kariery i uzyskawszy ją skupiają sie na pobieraniu jak największych pensji i budowaniu dalszych awansów, analiza tego co dotyczy gospodarki przekracza ich zdolności rozumu. Posunięcia prawne kto©e forsują są zwykle projektami lobbystów, a ci reprezentują zwykle wielki prywatny biznes.  Odpowiedź ta jest niewątpliwie bardziej prawdopodobna. Odpowiedź (2) ministrowie finansów są powiązani z rozmaitymi instytucjami które korzystają z takiej sytuacji. Korzyść ta ma charakter np. mniejszej konkurencji,  utrzymywaniu w podległości ekonomicznej sporej części pracowników najemnych, w stanie bliskim spodziewanej penalizacji itp. metody kontroli społecznej. Odpowiedź ta jest mniej prawdopodobna, jak każda teoria zakradająca celowe działanie w miejscu zwykłe głupoty, wszakże i tu coś jest na rzeczy. Jak wiadomo podstawowym zmartwieniem przedsiębiorców w Polsce jest brak jeszcze tańszej siły roboczej – jakikolwiek spadek bezrobocia poniżej 10% skutkuje natychmiastową zmasowaną reakcją na prawa pracownicze i groźby otwarcia granic dla pracowników np. z Ukrainy.

kawalek-szczescia-pasek

List z Kyoto

Twarz w szybie. Okno wagonu.
W tle gwiazdy lamp. Minione przystanki.
W oczach napływająca przyszłość.
Kim będziesz, gdy dojedziesz?

Pustka podróży. Chwila pomiędzy
ekscytacją początku a fajerwerkiem celu.
Może następny twój list będzie z Kyoto?
Wokół głowy cyfrowa aureola.

Instrukcja: „click face to tag”.
Superserwery rozpoznały tylko odbicie.

Enter your email address to follow this blog and receive notifications of new posts by email.

Dołącz do 255 obserwujących.

Reklamy
%d blogerów lubi to: