ModusPoens2

Pinky: Móżdżku, co będziemy robić dzisiaj wieczorem?

Mózg: Dokładnie to samo, zawsze, Pinky, zdobędziemy władze nad światem!

Mam wrażenie że udało mi się wreszcie sformalizować intuicje związane z odwzorowaniem zbioru zdań dowodu w systemie formalnym ( ogólniej – zbioru zdań konsekwencji syntaktycznych zadanego zbioru zdań) w zbiór grup homologii. Ostateczna wersja dosyć istotnie odbiega od pomysłów poprzednich, jest bardziej elegancka jak sądzę, pozwala na ciekawe uogólnienia ( także w sensie teorii homologii) i ma pewien potencjał rozwojowy ( teorie kohomologii, o których na razie zbyt mało wiem by rozważać coś więcej). Formalizacja którą opisze poniżej, odbywa się w pewien konserwatywny, czy minimalny sposób, i polega na rozszerzeniu ciągu grup kompleksów łańcuchowych o dodatkowy element związany z odwzorowaniem wierzchołków w grupę alternującą. Aby jednak uniknąć opisywania abstrakcyjnego nonsensu, całość zostanie przedstawiona na przykładach obliczeń, które dosyć łatwo uogólnić.

Tradycją tego bloga, i moją ambicją, było dotychczas aby tekstu tu prezentowane mogły być czytane przez osoby z minimalnym przygotowaniem, toteż starałem się podawać cały potrzebny materiał, tak przystępnie jak tylko byłem w stanie. I tym razem postąpimy podobnie, zaczniemy od wprowadzenia pojęcia homologii, a w kolejnym wpisie odniesiemy ją do logiki.

Przypomnijmy że cała idea sprowadza się do tego że jeśli mamy zdania {a,b,c} o budowie syntaktycznej wiążącej te zdania reguła modus ponens ( proszę zwrócić uwagę na kolejność!) {MP(b,a) =c}, to zdaniom tym przyporządkujemy graf, w postaci jak na rysunku poniżej:

MOdusPoens-general

I dla takiego prostego obiektu będziemy starali sie, w celu edukacyjnym i by przygotować się do bardziej ambitnych wyzwań,  skonstruować grupy homologii.

Po pierwsze wyjaśnijmy co jest ta rysunku! Na rysunku powyżej, mamy obiekt płaski, trójkąt {X}. Jest to element powierzchni obdarzony orientacją zadaną przez kierunek obiegu jego krawędzi. Krawędzie te oznaczymy {x,y,z}. Krawędzie te łączą wierzchołki, na rysunku oznaczone {a,b,c}. Wypisane obiekty mają następujące wymiary: trójkąt jest obiektem 2 wymiarowym, krawędzie skierowane sa 1-dno wymiarowe, zaś wierzchołki to obiekty 0-wymiarowe. Brak na rysunku obiektów o wymiarach większych niż 2 i mniejszych niż 0 oczywiście. Obiekty te nie są bynajmniej niezależne, ale połączone sa w dosyć szczególny sposób. Na przykład każda krawędź ma dwa wierzchołki, zaś fakt iż złożenie krawędzie jest tak szczególne że tworzą pętlę – brzeg trójkąta – wynika że wierzchołek będący końcem jednej z krawędzi jest początkiem następnej i sytuacja ta powtarza sie tworząc cykl wierzchołków, w którym każdy z nich pojawia sie dwa razy – raz jako początek a raz jako koniec pewnej krawędzi.

Wyjściem dla budowania teorii homologii, która stara sie uchwycić właśnie takie wzajemne relacje pomiędzy elementami składowymi obiektu geometrycznego ( ogólniej topologicznego) jest zdefiniowanie dla każdego wymiaru części składowych, formalnego odwzorowania w grupę przemienną. Na przykład rozważmy sumę krawędzi {x+y}. Sumę ta będziemy traktować czysto formalnie, niemniej warto spostrzec, że chcąc być konsekwentny musimy uznać iż spełniona jest własność: {x+y=z} lub inaczej: {x+y-z=0} gdyż położenie wzajemne krawędzi jest takie ze tworzą one pętlę. Ponieważ suma jest czysto formalna, nic nie zabrania nam rozważać obiektów bardziej wymyślnych, na przykład {3x-4y+5z}. Konsekwentne postępowanie wymaga jednak by przyjąć że {mx+my-mz = m(x+y-z) =0} bo taka kombinacja zawsze oznacza ( moglibyśmy starać się to zinterpretować) m-krotne obejście pętli brzegu trójkąta. Całkiem identyczne obiekty, sumy formalne, możemy rozważać w wypadku wierzchołków czy wnętrza trójkąta i innych, więcej wymiarowych obiektów gdyby takowe występowały.

Grupę abelową obiektów o wymiarze {n} oznaczamy {C_n} i nazywamy n-tą grupą łańcuchową kompleksu X ( który w naszym przypadku jest szczególnie prosty, jest bowiem pojedynczym sympleksem). I tak grupa krawędzi, a więc 1-sza grupa łańcuchowa naszego trójkąta, jest generowana przez 3 elementy {<x,y,z>}. Nie jest to jednak grupa wolna ( a więc nie wszystkie elementy te są niezależne!). Z faktu istnienia relacji {x+y-z = 0} wynika że istnieje pomiędzy generatorami grupy związek, zaś sama grupa ma co najwyżej 2 niezależne elementy ( i tu już mamy pełną dowolność, mogą być to dowolne dwa boki trójkąta, np. {x,y} lub ich dowolna kombinacja liniowa). Jak widać niektóre związki pomiędzy elementami grupy łańcuchowej {C_1} ( krawędzi) w naszym przypadku były interesujące, czyli grupy takie mają czasami wewnętrzną strukturę! Istnieją także związki pomiędzy grupami o różnych {n}!

Weźmy grupę jaka jest związana z wnętrzem ( powierzchnią) trójkąta. Mamy tylko jeden trójkąt, cała grupa {C_2} jest zatem dosyć uboga, zawiera bowiem tylko jeden element {<X>}. Wszystko co możemy z takim elementem nawyczyniać, sprowadza sie do dodawania ( bądź odejmowania) go pewną liczbę razy, np. elementami grupy sa wyrażenia: {X+X, 34X, -7X} Brak jest też jakichkolwiek związków ograniczających ten element, jest więc to grupa wolna abelowa o jednym elemencie, czyli grupa izomorficzna ze zbiorem liczb całkowitych {Z}. Jednak brzeg tej figury, czyli zbiór jej skierowanych krawędzi, jak widzieliśmy ma niebanalną strukturę! Zdefiniujmy operator, oznaczany symbolem {\partial_2}, który działając na 2 wymiarowy trójkąt {X} przyporządkuje mu element grupy łańcuchowej wymiaru 1-mniejszej, a więc element z {C_1}, który będzie reprezentował brzeg figury {X}. Oczywiście wyliczenie wygląda następująco:

\displaystyle \partial_2 (X) = x+y-z

Całkiem podobnie możemy postąpić w wypadku krawędzi. Krawędzie są skierowane, zdefiniujmy więc podobne odwzorowanie do obiektów o wymiarze 1- mniej, w tym wypadku do grupy wierzchołków, które owo skierowanie będzie brało pod uwagę. Naturalne jest przyjęcie że operator {\partial_1} który każdej krawędzi przyporządkuje element grupy łańcuchowej wierzchołków będzie działał w sposób następujący:

\displaystyle \partial_1 (x) = b-a

\displaystyle \partial_1(y) = c-b

\displaystyle \partial_1(z) = c-a

Aby sprawdzić że się nie pomyliliśmy, policzmy ile wynosi {\partial_1 (x+y-z)} Mamy:

\displaystyle \partial_1 (x+y -z ) = \partial_1(x) + \partial_1 (y) - \partial_1 (z) = b-a +c -b -c +a = 0

co zgadza sie z obserwacją, że krawędzie trójkąta domykają się w pętlę.

A co z brzegiem wierzchołka? Czy możliwe jest zdefiniowanie operacji {\partial_0} ? Ile wynosi na przykład {\partial_0 (a)} ? Arbitralnie przyjmiemy że wynik to 0 w każdym wypadku.

Mamy zatem następująca sytuację.

\displaystyle 0 \overset{\partial_3}{\longrightarrow} C_{2} \overset{\partial_2}{\longrightarrow} C_{1} \overset{\partial_1}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_0 = 0 }{\longrightarrow} 0

Zera na początku i na końcu pokazanego ciągu grup i wzajemnych odwzorowań oznaczają że w trójkącie nie ma obiektów o wymiarze mniejszym niż 0 i większym niż 2.

Widzieliśmy powyżej, że operator {\partial_1(x+y-z) = 0}. Zbiór elementów grupy {C_1} których obrazem w grupie {C_0} przy przekształceniu {\partial_1} jest 0, określa się nazwą jądra ( kernel) operatora. Oczywiście suma czy różnica takich elementów także daje zero, co oznacza, jest to zresztą ogólna właściwość algebraiczna, że elementy jądra tworzą podgrupę. Zbiór ten w naszym przypadku złożony jest z jednego elementu, reprezentującego kompleks łańcuchowy odpowiadający brzegowi trójkąta. Symbolicznie zapisujemy to w następujący sposób:

\displaystyle Z_1 = ker (\partial_1 )

Zwróćmy uwagę, ze brzeg ów, jest z kolei obrazem całego trójkąta (X) przy odwzorowaniu {\partial_2} (M proszę zwrócić uwagę na indeks przy literze {B}):

\displaystyle B_1 = img (\partial_2)

I tym razem mamy do czynienia z podgrupą, gdyż suma formalna brzegów figur, jest brzegiem figury będącej ich sumą. Operator brzegu przypisuje figurom płaskim ich brzegi, a brzegi takie są zawsze łańcuchami cyklicznymi, czyli zamkniętymi pętlami. Nic więc dziwnego, że elementy grupy {B_1} leżą w grupie {Z_1} ( bo każdy cykl w przekształceniu {\partial_1} jest mapowany na 0). W naszym wypadku grupy te są wręcz równe, wynika to jednak z faktu że rozważamy wyjątkowo prosty przykład. Gdyby zamiast trójkąta rozważać figurę która zawiera „dziurę” w swoim wnętrzu, istniałyby także cykle krawędzi, które nie są brzegami żadnej powierzchni ( nie mają żadnego „wypełnienia” ). W takim wypadku grupa {B_1} byłaby podgrupą właściwą, zaś grupa {Z_1} cykli krawędziowych zawiewałaby obok elementów będących brzegami rozmaitych pól płaskich na jakie dzielilibyśmy taką figurę, także elementy będące cyklami pomimo iż nie otaczają „niczego”. Pierwszą grupą homologii {H_1} nazywamy grupę ilorazową grup {Z_1/ B_1}. Analogicznie n-tą grupą homologii jest grupa ilorazowa grup {Z_n/ B_n}:

\displaystyle H_n = Z_n/ B_n = ker(\partial_{n} ) / img(\partial_{(n+1)})

.

Wyliczmy zatem grupy homologii dla naszych grup łańcuchowych {C_k}. Dla k=2 jądro jest puste, gdyż żadna kombinacja 2-wymiarowych elementów ( a mamy tylko jeden: X ), nie sumuje sie do zamkniętej powłoki. Oczywiście nie ma także żadnych 3-wymiarowych obiektów… Zatem:

\displaystyle H_2 = ker( \partial_2 ) / img (\partial_3 ) = 0 / 0 =0

widać zatem że wszystkie grupy homologii {H_n} dla {n \geq 2} są równe 0.

\displaystyle H_1 = ker (\partial_1 ) / img (\partial_2 ) = <x+y-z> / <x+y-z> = 0

Zwróćmy tu uwagę, że w powyższym równaniu 0 po prawej stronie oznacza trywialną grupę złożona z jednego elementu – identyczności w grupie abelowej – a więc 0.

Teraz wyliczmy grupę homologii dla n=0. Ponieważ arbitralnie przyjęliśmy, że {\partial_0 = 0} to jądrem tego odwzorowania jest cała grupa wierzchołków, a wiec jądro to trójelementowa grupa wolna o 3 generatorach {<a,b,c>}. Przypomnijmy że powyżej wyliczyliśmy jakie sa elementy produkowane z krawędzi przez odwzorowanie {\partial_1} ( na przykład {\partial_{1}(x) = b-a} ). Obraz ten produkuje 3 elementy, które jednak, jak już wspominaliśmy nie są niezależne, bowiem wierzchołki owe spinają się w pętle brzegu trójkąta. Mieliśmy relację {x+y-z = 0} ( którą formalnie powinniśmy zapisać za pomocą symboli wierzchołków {a,b,c}, gdyż rozumiemy ja jako relację w zbiorze {C_0} a nie {C_1} którego elementami są {x,y,z}). Tym samym w zbiorze {<b-a,c-b,c-a>} tylko dwa elementy są niezależne, a trzeci można wyeliminować. Zatem grupa brzegów {img( \partial_1)} jest grupą wolną o generatorach {<b-a,c-b>} zaś trzeci element {c-a} jest od nich zależny ( łatwo sprawdzić że jest ich sumą!). Mamy:

\displaystyle H_0 = ker( \partial_0) / img (\partial_1) = <a,b,c>/<b-a,b-c>

Zauważmy że możliwe jest przejście od {<a,b,c>} do {<a,b-a,c-b>} bo polega ono na zamianie generatorów {a,b,c} przez ich liniowe i niezależne kombinacje co jest operacją dopuszczalną ( gdyż nie zmienia struktury grupy, stare generatory są liniowymi kombinacjami nowych i nie zmieniliśmy liczby generatorów niezależnych). Mamy zatem:

\displaystyle H_0= <a,b-a,c-b>/<b-a,c-b> = <a> = Z

Wynik nie jest zaskakujący, zwłaszcza że grupa {H_0} ma geometryczną interpretację: mierzy ilość składowych spójnych figury, w naszym wypadku trójkąta, który oczywiście ma tylko jedną składową spójną. Pozostałe grupy homologii, w naszym wypadku trywialne, także dają się geometrycznie interpretować. Mierzą one mianowicie ilość dziur o stosownych wymiarach. I tak np. grupa {H_1} mierzy ilość „pustych oczek” czyli dziur w figurze otoczonych jednowymiarowymi łańcuchami cyklicznymi które nie są wypełnione ( nie są brzegiem żadnej figury płaskiej pełnej). Z kolei {H_2} mierzy ilość cykli 2-wymiarowych które otaczają 2 wymiarowe otwory ( coś jak wnętrze walca, rurki, lunety), które nie są brzegiem żadnej figury posiadającej objętość ( wyplenionej).

Zauważmy że branie grupy ilorazowej we wzorze na grupę homologii właśnie taki ma cel – eliminuje z pełnej grupy cykli na n-tym poziomie te cykle, które są brzegami figur wymiaru n+1. Stąd homologia mierzy wzajemne położenia (homo-gogie) składowych o rożnych wymiarach w figurze geometrycznej. Teoria homologii została zapoczątkowana przez Poincare w trakcie jego prac nad topologia, obecnie zaś została znacząco uogólniona i rozszczepiona na wiele dziedzin o wspólnych korzeniach, od czysto geometrycznej klasycznej teorii homologii, przez rozmaite uogólnienia jak teoria (ko)homologii Cecha, aż do obiektów całkowicie abstrakcyjnych jak homologia kombinatoryczna i algebra homologiczna. Cechą wspólną wszystkich tych teorii pozostaje występowanie ciągu grup jak na diagramie grup kompleksów łańcuchowych wraz z przekształceniem \partial o stosownie ( do czego wrócimy) zdefiniowanych, nieraz aksjomatycznie, własnościach. Jeśli kogoś ciekawią zagadnienia topologii algebraicznej której teoria homologii jest twardym rdzeniem, polecam ten ciąg wykładów autorstwa N.J.Wildbergera. Forma wykładów jest bardzo elementarna, zaś przykłady obliczane w sposób bardzo szczegółowy, można skoczyć od razu w okolice wykładu 30-tego gdzie znajdują się zagadnienia związane z teorią homologii właśnie.

To już wszystko w tym wpisie. Przygotowałem sobie aparat za pomocą którego w kolejnym będę w stanie opisać jak zmodyfikować ciąg grup łańcuchowych {C_k} tak by zawierał informacje o zdaniach logicznych które w naszym wypadku będą leżały w wierzchołkach figury. Zapraszam.