Jak zostało powiedziane w poprzedniej części, układy wykazujące zachowania krytyczne nie posiadają określonej skali związanej z najbardziej prawdopodobnym wzbudzeniem układu. Należy wszakże pamiętać, że typowe układy maja olbrzymie rozmiary w porównaniu z rozmiarami ich najdrobniejszych części. Na przykład spiny w ferromagnetyku sa rozmiarów podobnych jak atomy żelaza, tymczasem domena magnetyczna jest możliwa do zaobserwowania gołym okiem! Oczywiście bryła metalu może mieć wręcz monstrualne rozmiary i nadal wykazywać własności magnetyczne a nawet namagnesowanie. Podobnie nadciekłość w Helu czy współegzystencja faz wody w punkcie potrójnym może zachodzić w olbrzymich w porównaniu z rozmiarami cząsteczek objętościach cieczy. Tymczasem modele opisujące te zjawiska wychodzą od potencjałów cząsteczkowych, opisują oddziaływanie pojedynczych spinów na sieci. Ponadto jak wiemy wydaje się, ze tylko bardzo niewielka ilość cech układu decyduje o jego zachowaniu w punkcie krytycznym.

    Jeśli układ przejawia tak dalece idącą kolektywizację, ze długość korelacji wzbudzeń staje się dla niego bardzo wielka, rozsądne jest przyjąć, że bardzo drobne szczegóły układu nie maja wielkiego znaczenia. Co zatem by się stało gdybyśmy w układzie dokonali usunięcia pewnych skal wzbudzeń? Rozpatrzmy dwa możliwe przypadki: układ niekrytyczny czyli z wyróżnioną i skończona długością korelacji, oraz układ krytyczny a więc bezskalowy. W pierwszym przypadku, podzielimy układ na drobne części, jakby komórki, i wartości zmiennej fizycznej – proszę pomyśleć o spinie na przykład a więc o maleńkich magnesikach – zastąpimy jej średnią w wybranej komórce. Mamy do czynienia z mała długością korelacji. Jeśli nasz podział, czyli rozmiary komórek jest mniejszy niż owa długość, wtedy w danej komórce magnesiki zwykle wskazywałyby w tym samym kierunku. Zatem zastąpienie ich wartością średnią niewiele zmienia. W tak powstałym układzie, który składa sie z „średnich” magnesików spróbujmy wykonać ten trick jeszcze raz. Tym razem jednak ( jak nie tym to którymś z następnych) dzieląc układ na małe części w końcu osiągniemy to, że ich rozmiar będzie większy niż długość korelacji. Zobaczymy wówczas że „średnie magnesiki poprzedniego poziomu” w nowych komórkach wskazują zwykle w rozmaitych kierunkach. Zatem na pewnym etapie takiej procedury wyśrodkowane pole magnetyczne może się wyzerować a co ważniejsze mieć istotnie inne własności statystyczne niż w oryginalnym układzie. Stanie sie tak, gdyż po przekroczeniu długości korelacji przez rozmiary „komórki uśredniającej” średniowanie istotnie likwiduje pewne informacje o zmienności średniowanej zmiennej. To tak jak z anegdotyczna wypowiedzią statystyka, że średnio wszyscy mamy pół roweru. Przeprowadzenie takiej procedury konsekwentnie i do końca w układzie bez symetrii skalowania doprowadzi w końcu do stałych wartości wielkości opisujących układ jako całość, i co więcej stałe te pod nieobecność pola zewnętrznego będą prawdopodobnie bliskie zera. Widać, że nasza procedura prowadzi od układu o pewnych własnościach statystycznych do innego i coraz to innych następnych układów.

    Co jednak jeśli układ ma nieskończona długość korelacji czyli jest układem bezskalowym? Ano wówczas średniowanie nie zmienia istotnie własności statystycznych zmiennej losowej, bo i jak miałoby je zmienić? Tym samym po przeprowadzeniu podziału i wyśredniowania dostaniemy nowe średnie wartości zmiennych fizycznych ale ich statystyczne cechy pozostaną niezmienione. Zatem wolno nam sprytnie usunąć ( przez wyśrednioowanie) cześć wzbudzeń układu. Czy jednak taki nowy wyśrednowany układ jest na pewno tym samym co układ wyjściowy? Czy własności statystyczne to wszystko o co chodzi w fizyce? Przede wszystkim jeśli układ byłby skończony, powiedzmy zawierał 10^{3} elementów, a my byśmy zastąpili każdą grupę 10 elementów przez średnią, to nowy układ zawierałby tylko 10^{2} spinów. Magnesiki znikają! Nie jest to jednak wielki problem – zawsze możemy mniejszy układ, zastąpić 10-cioma będącymi po prostu jego kopią! Wyśredniujemy a wynik średniowania powielimy wielokrotnie. Skoro mamy bezskalowość to wyśredniowana kopia wygląda jak oryginał. Czy jednak na pewno to cały problem? Otóż nie – i nie jest to wada ale wspaniała cecha która umożliwia opis zjawisk krytycznych.

    Aby zrozumieć działanie grupy renormalizacji, nie tylko w fizyce statystycznej ale i w teorii pola trzeba po pierwsze poznać ogólną metodę opisu układów o bardzo wielkiej liczbie elementów. Ze zrozumiałych powodów nie będę tu wnikał w detale, ale muszę wspomnieć o dwu rzeczach: polu wielkości fizycznej i hamiltonianie.

    Dotychczas pisałem o magnesikach czy cząsteczkach cieczy co pozostawało w zgodzie z koncepcją ziarnistości materii. Jednak dla celów statystycznych, kiedy opisujemy wielkie układy fizyczne, modele dyskretne choć ważne nie sa specjalnie użyteczne. Znacznie łatwiej jest opisywać rzeczywistość za pomocą równań różniczkowych i całkowych niż sum i równań różnicowych. Tym samym wprowadza się koncepcje pola fizycznego. Jeśli mamy na myśli badanie ferromagnetyka, to zamiast o spinach czy magnesikach prościej i bez straty ogólności możemy mówić o polu magnetycznym ( namagnesowaniu) którego wartości w danym punkcie określają średnie namagnesowanie bardzo małej objętości ośrodka. Podobnie mówiąc o punkcie potrójnym cieczy, efektywniej jest przywołać gęstość cieczy w niewielkiej objętości niż analizować odległości miedzy cząsteczkami. Owo przejście zakłada że wartości pól w układzie zmieniają się na tyle wolno, że pola uzyskanie w wyniku przejścia od zmiennych dyskretnych do ciągłych są ciągłymi funkcjami współrzędnych a nawet są różniczkowalne czy wręcz analityczne! Pozostaje ważna kwestią czy takie założenia sa spełnione nie ma to jednak znaczenia dla tej dyskusji. Wystarczy wspomnieć, że dla opisu układów krytycznych takie założenie jest prawdziwe tak długo jak długo możemy mówić o ciągłości materii, to znaczy np. nie wystąpią procesy analogiczne do kawitacji, płyny pozostaną płynami, bryły metalu nie pękną itp. Założenia te sa doskonale spełnione w większości typowych przypadków. Co więcej jeśli chodzi o kwantową teorię pola wręcz mamy poprawę sytuacji, bowiem nieoznaczoność położenia pojedynczych cząstek skłania nas do przejścia z opisem do języka funkcji falowych a te są odpowiednio ciągłe niejako z założenia. Istnieją jednak pewne różnice w opisie takich układów o których wspomnę w dalszej części wywodu.

    Układ fizyczny opisywany jest zwykle za pomocą hamiltonianu. Osobom które nie wiedzą jak taki opis wygląda pozostaje uwierzyć na słowo, ze dla skomplikowanych układów statystycznych obejmujących wiele oddziałujących ze sobą elementów, model matematyczny wystarczający do ich opisania bazuje na wyrażeniu na energie układu jako funkcję pól, nazywanym hamiltonianem. Energia owa składa się an ogół z wielu członów opisujących energie kinetyczna związana z naturalnym ruchem elementarnych objętości układu ( drgania termiczne), oddziaływania z polem zewnętrznym ( na przykład Ziemskim polem magnetycznym) oraz wewnętrzne oddziaływania rożnych części układu ( zwane dalej oddziaływaniem) . Ponieważ w dalszym opisie chcemy zaniedbać wpływ pola zewnętrznego cześć związana z polami zewnętrznymi nie będzie dłużej przywoływana. Gdyby nie było oddziaływania między rożnymi częściami układu, opis opierałby się wyłącznie o cześć kinetyczna, która podobnie jak w wypadku układów mechanicznych, jest proporcjonalna do kwadratu gradientu pola ( w analogii do podobnej zależności w układach mechanicznych gdzie energia kinetyczna jest zależna od kwadratu prędkości). Układy znajdujące się w skończonej temperaturze wykonują drgania wokół położenia równowagi ( i energię tych drgań nazywamy ciepłem). Aby uwzględnić ten fakt, możemy w pierwszym przybliżeniu założyć, że hamiltonian zawiera człony zależne od wychylenia od położenia równowagi i że są to wyrazy zależne od kwadratu wartości owego wychylenia, czyli w naszym przypadku wartości pola. W wyniku dostawalibyśmy układy opisywane w rozkładem Gaussa. Między innymi oznacza to że długości korelacji zanikałyby eksponencjalne z odległością. Stała tłumienia takiego zaniku jest proporcjonalna do „masy” związanej z polem co często ujmuje się pisząc że masa jest miara bezwładności. Zwracam uwagę, że owa „masa” jest własnością ( średnich) pól fizycznych a nie np. „spinów” i jej role pełnić może zgoła nieoczekiwana kombinacja wielkości charakteryzujących własności mikroskopowe „prawdziwych” cząsteczek w tym na przykład temperatury dla układów statystycznych. Należy tu wspomnieć, że układy mechaniczne dla których hamiltonian zawiera tylko człony kwadratowe to oscylatory harmoniczne, zaś jako że w naszym przypadku mówimy o polu opisującym materie ciągła, to wynikiem tego jest to, że mamy tu do czynienia z zespołem nieoddziałujących ze sobą wzajemnie oscylatorów harmonicznych.

    Co jednak jeśli pojawia się oddziaływanie wewnętrzne? Ma ono zwykle postać wyrazów nieliniowych, jak na przykład czwarta (lub wyższa) potęga pola. Oczywiście pojawia się dodatkowa korelacja. Zapewne im oddziaływanie będzie silniejsze tym większe długości korelacji uzyskamy przy stałej temperaturze. Miarą siły oddziaływania są tak zwane stałe sprzężenia. Użyłem liczby mnogiej gdyż układ może posiadać kilka niezależnych form oddziaływania wewnętrznego reprezentowanych przez rozmaite wyrazy nieliniowe. Współczynniki przy nich to właśnie stałe sprzężenia.

    Przykładem może być kwantowe pole oddziaływań elektromagnetycznych. W takim modelu parametry teorii masa cząstek (elektronu) i stała sprzężenia odpowiadająca stałej struktury subtelnej alfa, zależna od ładunku elektronu, która mierzy jak mocno elektron i foton, który ma zerową masę, oddziałują na siebie.

    Kolejny przykład: plazma. Fizyka plazmy obejmuje zarówno pola elektromagnetyczne jak i cząstki naładowane, jony i elektrony. Hamiltonian takiej mieszaniny jest jednym z najbardziej niebanalnych tworów musi bowiem uwzględniać ciekawe oddziaływania – długo zasięgowe siły kulombowskie ładunków, oraz pola magnetyczne powstałe w wyniku ich ruchu, wraz z odpowiednia liczbą stałych sprzężenia, oraz masy cząstek ( elektronów i jonów). Tu drobny ale ważny przykład ciekawej fizyki: jeśli do zupy dodatnich jonów trafi jon ujemny ( lub elektron), to choć pole kulombowskie jest długo zasięgowe i zmienia się jak 1/r^{2}, efektywnie zostanie ono zneutralizowane przez pola jonów które się do elektronu niejako przykleją. Mówimy wówczas o ekranowaniu ładunku ujemnego przez ładunki dodatnie. Zdumiewająca sytuacja: pole takiego zespołu ładunków nie będzie już zmieniać się jak 1/r^{2} licząc od centrum. Owo ekranowanie to taka „fizyczna realizacja renormalizacji”…. Zauważmy że patrząc z pewnej odległości zmiana będzie polegać zarówno na zmianie wielkości ładunku ( ekranowanie sprawi że z pewnej odległości ładunek „zniknie”) ale i samej zależności od odległości – pole będzie zanikać szybciej niż 1/r^{2}.

    Należy pamiętać, że o ile układy w fizyce statystycznej sa opisywane za pomocą hamiltonianów ( chodzi tak naprawdę o zastosowanie zespołu statystycznego kanonicznego lub wielkiego kanonicznego) o tyle w fizyce cząstek elementarnych i pól kwantowych rolę jaka tu przypisujemy hamiltonianowi pełni funkcjonał działania ( oraz, że odpowiednikiem funkcjonału zespołu statystycznego Z, jest całka po trajektoriach. Analogie są zresztą znacznie dalej idące. Są jednak i różnice, o tym niżej).

    Jeśli zatem popatrzymy na hamiltonian układu to okaże się że zawiera on pola fizyczne, stałe liczbowe i pewna liczbę stałych sprzężenia oraz masę. Oznaczmy zespół wielkości obejmujący masę m i n stałych sprzężenia \eta_{i} dla i = 1 \ldots n przez \mu = \{ m,\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3} \ldots \eta_{n} \} = \{ m, \eta \} . Podkreślmy jeszcze raz, że każda stała sprzężenia stoi w hamiltonianie przed pewnym członem o określonych własnościach algebraicznych ( zwykle x^{p} dla p=-4,-2,2,3,4,5,6) i analitycznych ( np. znikanie w nieskończoności).

    Przeprowadźmy teraz dla naszego układu bezskalowego procedurę wyśredniowania po wyznaczonych komórkach których rozmiary choć nie mają znaczenia to jednak przecież mają pewna określona wartość l. Jak pisałem procedura taka nie może zmienić własności układu – skoro jest on bezskalowy. Opis układu opiera sie na Hamiltonianie. Po zakończonej procedurze Hamiltonian powinien zawierać taką sama liczbę wyrazów o takich samych własnościach algebraicznych i analitycznych. Cóż, to się nie udaje… Wyśredniowanie pewnej części pola fizycznego na ogół zmienia zarówno wartości stałych sprzężenia ( pojawiają się dodatkowe czynniki liczbowe zależne od wielu rożnych zmiennych jak rozmiar komórki średniowana l który będę dalej nazywał parametrem obcięcia, wymiar przestrzeni, temperatura inne stałe sprzężenia itp, ) jak i co gorsza pojawiają się dodatkowe wyrazy które nie maja swoich odpowiedników w oryginalnym hamiltonianie. I oto stajemy przed poważną trudnością. O ile zmiana wartości stałych sprzężenia to okoliczność dosyć interesująca, o tyle dziwne dodatkowe wyrazy sa niepokojące, bo sugerują zmianę własności fizycznych w fundamentalny sposób.

    Zmiana wartości stałych sprzężenia może być interesująco interpretowana: oto w wyniku wyśredniowania pewne własności układu zmieniły się, i gdyby nie dodatkowe „śmieciowe wyrazy których nie chcemy” to można by rzec, że nowy układ ma taka sama fizykę jak stary ( te same stałe sprzężenia) ale z innymi siłami oddziaływań. To bardzo interesujące.

    Zapiszmy rzecz nieco bardziej formalnie. Niech nasza operacja „renormalizacji” zostanie opisana literą R. Obejmuje ona zarówno wyśredniowanie jak i przeskalowanie aby odzyskać utracone w średniowaniu „rozmiary” układu. Zatem nasza procedurę moglibyśmy zapisać tak:

\displaystyle  R \mu = \mu^{'} \ \ \ \ \

    Gdzie \mu^{`} oznacza nowy zespół stałych sprzężenia i masy \mu^{`}= \{ m^{`},\eta^{`}, k \} gdzie przez {k} zaznaczyłem artefaktyczne stałe sprzężenia które odpowiadają wyrazom nie występującym w oryginalnym zbiorze \mu . Czego szukamy? Szukamy takiej procedury {R}, że w jej wyniku hamiltonian będzie zawierał tylko takie same wyrazy jak przed średniowaniem. Czyli interesuje nas {R} że spełniona jest zależność:

\displaystyle  R \mu^{\star} = \mu^{\star} \ \ \ \ \

    gdzie przez \mu^{\star} oznaczyliśmy pewien specyficzny zestaw współczynników hamiltonianu który nie zmieni się pod wpływem odpowiedniego przekształcenia {R}. Szukamy punktu stałego procedury renormalizacji! Zauważmy że jeśli znajdziemy taki punkt stały, to wychodząc od pewnego hamiltonianu z parametrami \mu^{\star} zakończymy procedurę z takim samym hamiltonianem z parametrami \mu^{\star}. Oznacza to, że nie ulegnie zmianie forma algebraiczna hamiltonianu – mówimy że wyrażenie takie będzie forminwariantne względem grupy renormalizacji.

    Jak szukać punktów stałych \mu^{\star}? Procedura średniowania zależy od parametru odcięcia l. W wyniku renormalizacji stałe sprzężenia \eta , k i masa m nabierają zależności od owego parametru. Punkt stały odpowiada brakowi tej zależności. Dokonujemy zatem infinitenzymalnej eliminacji o bardzo małej wielkości skali dl ( wielkość nieskończenie mała, różniczka) i budujemy równania różniczkowe dla zależności m(l),\eta(l),k(l) przyrównując ich pochodne do zera. Są o tak zwane równania grupy renormalizacji. Ciekawa ich interpretację geometryczną podam następnym wpisie.

    Szczególnie poszukiwane są te punkty stałe w których jedyne niezerowe funkcje to \eta , zaś wszystkie k nie tylko nie zależą od l, ale także mają zerowe lub bardzo małe wartości. Szukamy zatem punktów stałych grupy renormalizacji w których znikają artefakty. Dla takich punktów stałych, układ krytyczny po renormalizacji jest co do własności fizycznych ( postaci hamiltonianu) taki sam jak układ przed renormalizacją. Wartości stałych sprzężenia \eta^{\star} i masy m^{\star} w punkcie krytycznym są nazywane wartościami zrenormalizowanymi lub ubranymi, podczas gdy wartości wyjściowe modelu to wartości gołe.

    Warto zwrócić uwagę, że w fizyce statystycznej oba te zespoły wielkości mają interpretacje fizyczną – wartości gołe to wartości oryginalnego układu a wartości ubrane to wartości efektywne wynikające z dodatkowych wkładów spowodowanych oddziaływaniem części układu na siebie. Fizyk statystyczny będzie najszczęśliwszy kiedy się okaże, że wartości ubrane odpowiadają układowi w którym oddziaływanie jest słabe. W punkcie stałym procedury renormalizacyjne zastosuje wówczas rozwinięcie w szereg Taylora i policzy sobie rzecz wyraz po wyrazie. Tak, to możliwe – pewien bardzo silnie oddziałujący układ może być równoważny innemu, w którym oddziaływanie jest słabe. Oczywiście ten inny układ ma taka sama formę hamiltonianu, ale inne wartości pól, stałych sprzężenia i masy. Przypomnijmy sobie przykład ładunku ekranowanego w plazmie!

    A co jeśli takich punktów stałych w których znikają artefakty nie ma? Możliwe są dwie sytuacje:

  1. artefakty których jest skończona ilość nie znikają. Oznacza to,że układ ma pewna własność która nie może być pominięta i powinna być włączona do oryginalnego modelu. Taki oryginalny model który od początku uwzględnia odpowiednie wyrazy algebraiczne przy renormalizacji nie wykaże już dalszych artefaktów i uzyskamy poszukiwany efekt. 
  2. artefakty nie tylko nie znikają, ale za każdym razem kiedy je uwzględnimy jak podano w p.1 pojawiają się coraz to nowe! To przypadek teorii nierenormalizowalnej. Sygnalizuje ciekawa fizykę z która nie bardzo umiemy sobie radzić. Współcześnie najbardziej znanym przypadkami teorii nierenormalizowalnych są różne próby kwantowania grawitacji.

 

    W tym miejscu należy dodać komentarz, że cały ten cykl skupia się na grupie renormalizacji stosowanej dla układów statystycznych. Fizyczna interpretacja owej grupy polega na stwierdzeniu, że drobnoskalowe własności układu nie zmieniają dalekodystansowej, makroskopowej fizyki. Niemniej w ostatecznym rozrachunku parametr obcięcia l ma określona wartość, i ma pewna interpretację fizyczną – jest to jakiś mały rozmiar objętości układu poniżej którego dynamika już jest kompletnie nieinteresująca i można ją wyśredniować. Bezskalowość oznacza możliwość skupienia się na własnościach daleko zasięgowych. W szczególności wyrazy nazywane przeze mnie artefaktami, o ile znikają w punkcie stałym sa do przyjęcia.

    W przypadku fizyki cząstek elementarnych i pól kwantowych sytuacja jest zgoła odmienna. Parametr obcięcia nie może mieć tam znaczenia fizycznego. Może być jedynie obiektem czysto formalnym. Zauważmy, że w teorii pól kwantowych jakiekolwiek modele mogą być odniesione do rzeczywistości jedynie poprzez pomiar ich cech fizycznych, a te to nic innego jak efektywne stałe sprzężenia dla konkretnych wartości energii w zaprojektowanym eksperymencie. Stałe sprężenia „przed renormalizacją”: nie mają żadnego sensu fizycznego, sa jedynie parametrami modelu, to co mierzymy to jedynie wielkości ubrane. To odwrotność sytuacji z jaka mamy do czynienia w fizyce statystycznej! Pewne własności tak zwanych funkcji wierzchołkowych wynikające wręcz z analizy wymiarowej wskazują, że jeśli tylko wystąpią artefakty, to nigdy zależność od obcięcia nie da się wyeliminować i że owa zależność będzie coraz mocniejsza w miarę jak będziemy kontynuowali rachunek zaburzeń. Nie wchodząc w szczegóły można przyjąć, że o ile w fizyce statystycznej działanie grupy renormalizacji dopuszcza istnienie artefaktów które znikając w odpowiednich punktach stałych staja się nieistotne o tyle w fizyce cząstek elementarnych jest to niedopuszczalne. Dlatego w fizyce pól kwantowych modele nierenormalizowalne to te które mają jakiekolwiek artefakty.

    Zainteresowanym głębszym wprowadzeniem w ta bardzo skomplikowana tematykę polecam książkę Binney, Dowrick, Fisher, Newman „Zjawiska Krytyczne. Wstęp do teorii grupy renormalizacji”. W następnym wpisie – dwa przykłady….