Jakiś czas temu na blogspocie, gdzie blog ów miał swoją pierwszą inkarnację, która została zmieniona na wordpress z uwagi na obsługę LaTeX ( tak tak google, LaTeX jest ważny) popełniłem wpis o tytule „Przypadkowa matematyka”. Poniżej znajduje się właściwie jego treść, z tym że po przeglądnięciu nieco zmodyfikowana.

     Zaczniemy od prostego przykładu. Każdy chyba powinien znać wzór na wyznacznik delta ( chyba współcześnie w szkole mówią na to wyróżnik?) równania kwadratowego ax^{2}+bx+c :

        (1) \Delta = b^{2} - 4ac

    Z jakiego faktu wynika, że współczynnik przy iloczynie ac jest równy 4? Można to wykazać bezpośrednim rachunkiem. A z jakich faktów wynika, że jest to liczba parzysta?

    Przyznam szczerze nie umiem wyjaśnić tej koincydencji. najprościej uznać że to oczywiste i nieistotne  – skoro czynnik przed ab wynosi 4 to i cały wyraz musi być liczbą parzystą. Ot, banał. Czy jednak jest to fakt przypadkowy?  Zachodzi  pytanie, czy niektóre fakty matematyczne, mogą być przypadkowe? Oczywiście 4-ka równaniu powyżej, tym na deltę, nie może być inną liczbą. Czy istnieją jednak takie wyrażenia/równania/wielkości które z punktu widzenia struktury matematycznej w której się pojawiają są czysto przypadkowe? Może istnieją głębokie i niebanalne twierdzenia które odkryte w przyszłości ujawnią że w wzorze an wyróżnik równania kwadratowego parzystość wyrazu ab jest przejawem fenomenu którego rozpoznanie jest kluczowe dla dowodu Hipotezy Riemanna?


    Całe pokolenia znały i patrzyły na wzory Viete. W wypadku algebry szkolnej ich wersja dla równania kwadratowego, takeigo jak wyrażenie (1) bywa zmorą uczniów, nikt nie przedstawia jej jako szcególnie ważkiego zagadnienia, choć niewątpliwie zasługują na uwagę choćby przez wzgląd na zwykłą estetykę.

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}

    Tymczasem właśnie te wzory mogą być użyte w dowodzie że krzywa eliptyczna nad ciałem liczb wymiernych jest grupą ( a w szczególności że działanie grupowe na takiej krzywej jest łączne oraz że nie wychodzi poza zbiór liczb wymiernych). Prosty szkolny fakt – staje się ważnym krokiem w stronę pięknej i poważnej matematyki.
    Czasami przypadkowe własności są odbiciem jakichś ukrytych symetrii, wpływów innych teorii które w danym, na ogół niespodziewanym punkcie, się z rozważaną teorią przecinają. W tym sensie fakt, że obroty niezgodne z ruchem wskazówek zegara,mają w macierzowej reprezentacji -sin(fi) w prawym górnym rogu, jest przecięciem się tej teorii z teorią liczb zespolonych ( i wynika wprost z praw mnożenia dla modułu jednostki urojonej i). W pewnym sensie dla teorii rzeczywistych obrotów płaszczyzny czy nawet przestrzeni 3 wymiarowej euklidesowej, jest to fakt przypadkowy.
    
    Omówmy jeden przykład wnikliweij. Euklides budował swoją geometrię. Wymyślił cztery proste aksjomaty, ale kiedy chciał dowodzić znanych sobie twierdzeń – potrzebował także piątego aksjomatu. Pewnie starał sie jakiś czas dowieść go jako twierdzenie, a może w jego czasach byłą jakaś historyczna już wtedy, dyskusja na ten temat, dosyć że w koncu zaniechał dowodów i dodał go tak jak jest znany nam obecnie. Z punktu widzenia Euklidesa, z czysto psychologicznego punktu widzenia – fakt że V-tego aksjomatu nie daje sie dowieść mógł być zaskakujący, niepokojący, moze nawet nieestetyczny ( bo aksjomat jest inny iż reszta, skomplikowany). No ale trudno – „taka jest geometria” westchnął Euklides. W pewnym sensie można powiedzieć żę fakt iż trzeba V-tego aksjomatu by dowodzić twierdzen geometrii – był w tym sensie błachym ale drażliwym szczegółem. Dzisiaj wiemy że ów V-ty aksjomat i jego komplikacja stanowi ślad z jednej strony możliwości budowy geometrii nieeuklidesowych. a z drugiej jego opuszczenie daje ciekawy świat geometrii absolutnej .
    Inny przykład – powiedzmy fakt że aby wyliczać pierwiastki równania stopnia 3 trzeba użyć liczb zespolonych. Psychologicznie bylo to strasznie ciężkie aby zaakceptować że to konieczne. Na tyle że od tej konieczności uciekano niemal kilkaset lat utwierdzając się w przekonaniu że to sa nieistotne i czysto techniczne kroki pośrednie!
    Podobnych przykładów – jest więcej – coś co jest błahym szczegółem na pewnym etapie rozwoju matematyki, uzyskuje ciekawą i niebanalną interpretację na innym.
    Czy każda „błaha okoliczność”, albo „kroki techniczne” prowadzą do ważnych albo chociaż ciekawych nowych dziedzin rozwoju matematyki, czy też istnieją takie „błahe fakty” które sa faktycznie błahe, przypadkowe. Jeśli matematyka jest odkrywaniem (1) – to być może nie ma błahych faktów – bo zawsze niosą za sobą one jakąś wiedzę o realnych bytach która zasługuje na uwagę.
    Jeśli jest tworzeniem (2) – fakty sa błahe wtedy gdy nikt się imi nie zajmuje i nie rozwija jakiejś możliwej do stworzenia, stojącej za nimi teorii. Pogląd (2) współgra z stanowiskiem że matematyka to tylko formalna zabawa symbolami ( z którym sie nie zgadzam), rodzaj gry słownej.  W takim wypadku, jeśli matematyka to rodzaj „intelektualnych szachów”, to znaczenie granej partii nie może tkwić w sposobie jej realizacji, a jedynie „w oku grającego” – w estetyce, w praktycznym stosowaniu poza szachownicą, we wpływie na inne rozegrane partie.
    Warto zauważyć że nie jest to jedyna możliwa interpretacja stanowiska (2) gdyż matematyka może być tworzona ( a nie odkrywana) a mimo to nie być „grą słowna” ale na przykłąd można ją rozumieć jako dzieło sztuki ( skłaniam sie właśnie ku temu poglądowi ), albo być twórcza emanacją potencji ludzkiego umysłu  ;-) ( to znaczy nie zawierać w sobie elementów oceny estetycznej i psychologii, jak w sztuce, ale mieć inne niż czysto formalne w sensie syntaktycznym znaczenia). 
    Wszystko to co wymieniono powyżej a także wiele wiele innych nawet znacznie bardziej ważkich faktów ( związek teorii funkcji analitycznych z teorią pola i funkcjami harmonicznymi, całkowe twierdzenie Stokesa i piękna teoria form zewnętrznych, niezwykłe zależności między teorią całkowalności równań a teorią symetrii, czy wreszcie związek pomiędzy rozwiązywalnością równań algebraicznych a teorią grup odkryty przez Galois) skłaniają nas ku poglądowi że fakty które jawią się nam jako przypadkowe, w innym świetle staja się ważnymi zjawiskami pozbawionymi krzty przypadkowości.

    Czy zatem istnieją przypadkowe twierdzenia matematyczne, takie które są przypadkowe z fundamentalnych powodów, to znaczy takie które nie wynikają z żadnego przecięcia się dowolnych teorii? Czy istnieją ciekawe twierdzenia przypadkowe?

    Każde twierdzenie to zdanie które ma dowód ( jeśli prawdziwe) lub istnieje dowód jego zaprzeczania ( jeśli fałszywe), lub zdanie niedowiedlne w danej teorii aksjomatycznej ( ale może wówczas awansować do aksjomatu teorii poszerzonej) co nie wyklucza bycia twierdzeniem w innej teorii. Z tego punktu widzenia dla ustalonego schematu aksjomatów ( spełniających tw, Goedla) zdanie przypadkowe to zdanie niedowiedlne. To jednak istotne ograniczenie: niedowiedlność ma się nijak do prawdziwości. A chodzi mi o zdania prawdziwe: 4-ka z powyższego przykładu jest parzysta, jednak nie znana mi jest teoria która dowodziłaby że podobne współczynniki w jakiejś klasie równań muszą być parzyste ( mniejsze od 10-ciu, być kwadratem liczby całkowitej i co tam jeszcze można o czwórce napisać – nieskończenie wiele prawdziwych zdań….Czy mam oczekiwać że taka teoria istnieje, choć jej nie znam ( nikt jej nie zna?) ).
Badając własności systemów aksjomatycznych używa się modelu teorii. Model to dokładnie to co rozumiemy pod pojęciem modelu: istotne własności te same co obiekt oryginalny ( spełnia aksjomaty) ale z obiektem oryginalnym tożsamości nie ma choćby dlatego, że oryginał nie określa wszystkich cech modelu. Model samochodu ma inne własności niż samochód: jest mniejszy, lżejszy, wykonany z innych materiałów, często nie w pełni funkcjonalny ( do czego już w matematyce nie możemy dopuścić). Niemniej widząc model auta możemy rozpoznać samochód. Podobnie w matematyce, model teorii to jej „implementacja” w konkretnej strukturze matematycznej. niektóre cechy modelu sa jednak „niepotrzebne”. Model samochodu może być wykonany z wosku, a tym samym nie tonąć w wodzie. Auto nie ma tej cechy. Podobnie w matematyce: czy zatem kandydatami na przypadkowe twierdzenia matematyczne są te zdania, które są własnościami modeli a nie własnościami teorii których modele rozważamy?

    Zwykle dana teoria aksjomatyczna ma wiele modeli – często jeden klasyczny i kilka nieklasycznych – tak jest np. z liczbami naturalnymi. Czy zdania przypadkowe pojawiają się gdy dany, ten sam model, jest modelem wielu teorii?

    A może niektóre cechy nie wynikają z żadnej z teorii której modelem potencjalnie może być dana struktura? Zwykle teoria modeli mówi o modelach ustalonej struktury aksjomatycznej – w tym sensie paradoksalnie powinna być raczej nazwana teorią modelowania, a teoria modeli powinna rozważać rzecz odwrotną: mamy strukturę ( model) – pytanie – jakie zestawy aksjomatów do niej pasują. Nic podobnego nie widziałem.
    Twierdzenie Tarskiego o definiowalności prawdy stwierdza że nie ma syntaktycznego mechanizmu jej definiowania w ramach danej teorii. Słowem prawdziwości twierdzeń nie można wyliczać posługując się pojęciami teorii w ramach której je badamy. Czy zatem prawdziwość twierdzeń matematycznych (zdanie o prawdziwości twierdzenia) jest przykładem zdania przypadkowego z punktu widzenia danej teorii?


    Czy da się całe to pytanie: czy są przypadkowe prawdy matematyczne, zadać bez określania ram teorii aksjomatycznej, odnieść do matematyki jako całej? Cy da się to precyzyjnie zdefiniować ( fakt bez dowodu? cecha bez uzasadnienia? Twierdzenie nie mające konsekwencji?). Czy ma to jakiś związek z pracami Chaitina? Czy to są echa mojej niepamięci o tym co u niego przeczytałem i zapomniałem?
Ciekawe…