KONICA MINOLTA DIGITAL CAMERA

    Jakiś czas temu dyskutowałem an blogu Polityki „Niedowiary” na interesujący temat: czy i na ile matematyka jest wiedzą realną, opisująca byty fizyczne, a na ile jest wiedzą idealistyczną oddzieloną od rzeczywistości nieprzekraczalną warstwą abstrakcji. Oczywiście takie dyskusje, prowadzone od, chyba można to rzec, tysiącleci, nie prowadzą z reguły do żadnych konkluzji, czasami jednak pozwala dowiedzieć się czegoś ciekawego lub zastanowić się nad czymś ciekawym. Zainteresowanym przeglądem tej tematyki polecam książki Romana Murawskiego np. „Filozofia matematyki. Zarys dziejów”, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995.  Podczas dyskusji która tutaj mam na myśli przydarzyło mi sie stanąć wobec takiej oto wypowiedzi – mającej być dowodem na oderwaną abstrakcyjność matematyki ( poprawiłem oryginalną pisownię autora. Nie co dzień zdarza mi sie poprawiać czyjąś – poza moją własną – pisownię!):

    „Proponuje zweryfikować empirycznie twierdzenie znane jako paradoks Banacha-Tarskiego: 3 wymiarowa kule można pociąć na rozłączne kawałki tak, że z tych kawałków, bez ściskania i rozciągania, a tylko przez przestawianie i obracanie, da sie ułożyć dwie kule takie same jak pierwotna?

    Tutaj znajduje sie bardzo przystępne wyjaśnienie o co chodzi w Paradoksie Banacha-Tarskiego. Właściwie można rzec, że Banach z Tarskim zadbali o doskonałą pijarową oprawę dla skądinąd interesującego, ale znacznie mnie spektakularnie brzmiącego faktu matematycznego, dotyczącego grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej. Kluczowym elementem dowodu/konstrukcji paradoksalnego rozkładu kuli jest konstrukcja podgrupy grupy obrotów, o dwu generatorach wolnych. Jak użyć wspomnianej podgrupy zawarte jest w ilustracji do artykułu. Zrozumienie rysunku jest kluczem do zrozumienia dowodu i całej konstrukcji. Istnienie takiej podgrupy jest dowiedzione, zaś w w artykule w Wikipedii podgrupa taka jest jawnie wypisana. Kolejnym krokiem jest użycie paradoksalnej dekompozycji takiej grupy i aksjomatu wyboru, by w efekcie otrzymać paradoksalny rozkład kuli. Dekompozycja grupy obrotów w trójwymiarowej przestrzeni to po prostu pewna konfiguracja obrotów pozwalająca po ich wykonaniu otrzymać układ równoważny wyjściowemu. Pewnik wyboru pozwala nam podzielić początkową kulę na sprytnie wybrane części, każdą z nich obraca się zgodnie z wynalezioną wcześniej sekwencją obrotów, a na koniec mamy w tym samym obszarze przestrzeni 2 kule identyczne, a więc dokonujemy „podwojenia objętości” figury użytej do zabawy. Rzecz wcale nie jest aż tak bardzo trudna dla zrozumienia – wpaść na to że to możliwe i jak to zrobić – wymaga geniusza, ale zrozumieć jak tego dokonać – nie jest aż tak trudno… Czyli paradoks gotowy zachęcam czytelnika do prześledzenia wpisu z Wikipedii). I tu pada pytanie – czy twierdzenie to, o matematycznej i abstrakcyjnej naturze, stojące w jawnej sprzeczności do intuicji dotyczącej obiektów materialnych, ma cokolwiek wspólnego z rzeczywistością?

    Oczywiście, by podnieść sobie ciśnienie i poziom adrenaliny, w dalszej części wpisu, będę rozważał wyłącznie kwestie podziału 10 kilogramowej kuli ze szczerego złota. A co!

    Z fizycznego punktu widzenia pojawiają się tu następujące „cienkie” punkty:

  1.  czy dowolny obrót daje się zrealizować w przestrzeni fizycznej ( innymi słowy czy symetria pełnej grupy obrotów jest ścisłą czy też tylko przybliżoną symetrią fizyczną).
  2. czy stosowny podział ciała materialnego ( ewentualnie elementu objętości zawierającego np. promieniowanie) jest możliwy.

    Wydaje się że (1) jest spełnione. Symetrie fizyki są ciągłe, i nie ma najmniejszych powodów by obalać ich istnienie. Poprzez twierdzenie Noether wiążą się one z zasadami zachowania. W wypadku grupy obrotów, spełnienie tej symetrii wiąże się z zasadą zachowania momentu pędu. Wydaje się że w sensie w jakim mogłoby mieć to znaczenie dla realizacji praktycznej podziału – nie ma tu żadnych „niemożliwości” – dowolne obroty są możliwe – co do zasady – do wykonania. Co do (2) pojawiają się jednak wątpliwości. Podział wymyślony przez Banacha-Tarskiego był bardzo „dziwny” choć ilość części była skończona. Zauważmy w tym miejscu, że paradoks stwierdza że da się stosownego podziału wykonać po wyrzuceniu „przeliczalnej ilości punktów” – jak to często w teorii miary – i w tym, trywialnym sensie da się to zrobić fizycznie i to w sposób ścisły! Usuńmy bowiem z sfery ze złota wszystkie te „punkty” w których „są atomy” a pozostała „pustą” przestrzeń dzielimy jak trzeba i składamy 2 kule. Cóż pominęliśmy przy podziale całe „złoto” ale zrobiliśmy co trzeba! Przyjmijmy jednak, że nie o to nam chodziło.

    Zwykle opisując fizyczna niemożliwość realizacji paradoksalnego rozkładu kuli Banacha-Tarskiego mówi się o tym, że zbiory na które należy podzielić kulę wyjściową sa dziwne, nie mają dobrej miary objętości itp. Miałoby to uzasadniać, że nie możliwe jest fizyczne podzielenie jakiegokolwiek materialnego obiektu w taki sposób, i tym samym uznaje sie że paradoks jest abstrakcją nie mająca fizycznej realizacji. Czyli taki sposób by mieć problem z głowy. Nadmienić tu jednak trzeba, że w 1994 roku udowodniono że zbiory na które dzieli się kule mogą być „dosyć porządne” z topologicznego punktu widzenia, a zatem nie są całkiem ‘dziwaczne” choć oczywiście są niemierzalne w sensie Lebesque. Dlaczego miałaby być to jakaś szczególnie istotna własność ta mierzalność? Oczywiście miara Lebesque jest pewnym uogólnieniem sposobu mierzenia Riemanna, a ta w jakiś, lepszy lub gorszy sposób imituje realne możliwości miernicze. Jednak zbiory mierzalne w sensie Lbesque nie są w żaden sposób wyróżnione „fizycznie” ( w odróżnieniu od tych, które są mierzalne metoda Riemanna) – są wśród nich zbiory wystarczająco skomplikowane by nie dało się ich „wykroić” nożykiem, więc powoływanie się na mierzalność Lebesque jako szczególnie istotną cechę fizyczną wydaje się tu nonsensowne. Oczywiście brak miary, jest dobrym pretekstem by rzecz zakończyć stwierdzeniem „nie da się”, jednak z wspomnianego twierdzenia wynika że podział o jaki chodzi nie jest wcale aż tak bardzo patologiczny, jak mógłby być.

    Kiedy zastanawiałem sie nad tym tematem przyszło do głowy coś innego. Zwrócę państwa uwagę na pewną własność zwykle zaniedbywaną przez popularyzatorów – na Pewnik Wyboru. Jest on używany w paradoksie Banacha -Tarskiego w istotny sposób. Tymczasem stwierdza on, że pewnego rodzaju operacje – dokonywane przez wybieranie elementów z istniejących już, wcześniej zdefiniowanych zbiorów, dają znów zbiory. Innymi słowy – że pewne zbiory istnieją, gdyż powstają przez wybór elementów z innych zbiorów. Ścisłe sformułowanie Pewnika Wyboru jest dosyć abstrakcyjne, jednak istnieje jego kapitalna popularyzacja. Jej autor Bertrand Russell, opisał to tak: „Po co nam Pewnik Wyboru? Wiadomo że istnieje zbiór „lewych butów”, i żaden dodatkowy aksjomat nie jest tu potrzebny. Pewnik Wyboru jest konieczny by istniał zbiór skarpetek „po jednej z każdej pary” ” Dlaczego? Otóż zbiór „lewych butów” istnieje niejako naturalnie, automatycznie, bo but lewy i prawy różnią się w widoczny sposób. Istnieje cecha która je odróżnia. Wystarczy wskazać tą cechę: „ledwość” i wiadomo jakie elementy do owego zbioru należą. Tymczasem skarpetki są jednakowe, choć w naturalny sposób zgrupowane po dwie. Skąd wiadomo że istnieje zbiór w którym mamy „po jednej skarpetce z każdej pary”? Istnienie takiego zbioru wymaga istnienia pewnej funkcji – która dla jednej ze skarpetek w parze przyjmie wartość 1 a dla drugiej 0 ( lub dowolnie inaczej zdefiniowane ale różne wartości, tak by w efekcie można było mówić o tych skarpetkach, po jednej z każdej pary, dla których funkcja wybrała określoną wartość) Taki zbiór, czy jak kto woli funkcja, mógłby nie istnieć dla nieskończonej ilości skarpetek. Dysponując pozostałymi aksjomatami Teorii Mnogości – nie da się dowieść jej istnienia. Jest to kwestia na tyle niejasna matematycznie, że konieczny jest dodatkowy aksjomat. Co więcej – brak jest „dowodu” Pewnika Wyboru, zaś jego zanegowanie ( a więc trywializując stwierdzenie że istnieją zbiory par skarpetek z których nie da sie wybrać „po jednej z każdej pary”) prowadzi do ciekawej, choć znacznie uboższej, matematyki. Pewnik Wyboru jest więc aksjomatem niezależnym od pozostałych aksjomatów Teorii Mnogości, w czym przypomina nieco V Postulat Euklidesa o prostych równoległych. Mamy więc „dwie” Teorie Mnogości – jedną w której z każdego zbioru można wybrać „po jednym elemencie” (i dokonywać wiele innych, egzotycznych wyborów) spośród wielu jednakowych i nieodróżnialnych elementów zbiorów i drugą, taka w której taka sytuacja nie zachodzi. Jeszcze raz zwróćmy uwagę, że mówimy o „zbiorach takich jak zbiór skarpetek” a więc o zbiorach elementów nieposiadających naturalnej „cechy” która pozwala dokonywać wyborów.

    W fizyce, zwłaszcza kwantowej, sytuacja jest znacznie bliższa właśnie temu drugiemu przypadkowi! O ile większość obiektów makroskopowych przypomina raczej „buty”, gdyż w ten czy inny sposób, posiada jednak indywidualne cechy, o tyle elementy świata kwantowego – cząstki jak elektrony, jądra atomowe, same atomy itp. w fundamentalny sposób pozbawione sa indywidualnej tożsamości. Są identyczne „jak skarpetki”. W takim przypadku wydaje się że nie ma najmniejszego powodu by twierdzić, ze dla „realnej, fizycznej materii” spełnione sa założenia twierdzenia Banacha-Tarskiego o paradoksalnym rozkładzie kuli! Co więcej – kwantowe obiekty nie mogą być w żaden sensowny sposób określone jako „punktowe” a tym samym koncepcja „separowalnośći” w sensie topologicznym – zupełnie do nich nie pasuje.

    W tym miejscu pozwolę sobie na „proroctwo”. Nie uważam tego wyjaśnienia za „żart”. Sądzę że spotkamy sie , prędzej czy później, z kwantowomechaniczną wersją paradoksu Banacha-Tarskiego, że będzie ono dotyczyć kwestii „zachowania informacji w układzie kwantowym” oraz że okaże się ono spełnione oraz możliwe fizycznie do realizacji. Tyle że nie będzie ono dotyczyć „ilości materii”a ilości informacji, która nie ma przecież materialnego charakteru.