Pozwolę sobie zacytować fragment z książki „Współczesne teorie Prawdy” Zbigniewa Tworaka ( Ksiązka świetna – autorem jest wykładowca Uniwersytetu Adama Mickiewicza w Poznaniu. Polecam – proszę się nie zrażać ewentualnym poglądem na moją osobę czy poglądy – Tworak prezentuje bardzo normalne, zdrowe matematycznie podejście do poruszanego tematu, a ja cytuję złośliwie nieadekwatny dla książki fragment „filozoficzny” ). Cytat jednak , aby uczynic go zrozumiałym, poprzedze krótkim przypomnieniem tematyki związanej z Semantyczną teorią Prawdy Tarskeigo. Chodzi o kilka uwag na temat hierarchii języków.

    Jak wiadomo Sematyczna Koncepcja Prawdy, definiuje pojęcie prawdy nawiązując  do korespondencyjnej teorii prawdy w sposób następujący:

( T ) Zdanie „A” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy A

przy czym „A” ( z cudzysłowem) to zdanie wypowiedziane w języku przedmiotowym ( powiedzmy w teorii mnogości, czy arytmetyce Peano),  zaś kryterium T sformowane jest w metajęzyku czyli języku nadrzędnym tego języka, i jego elementem jest zdanie A wyrażajace korespondującą treść. Od Tarskiego pochodzi podstawowy przykład użycia tej hierarchii:  „Zdanie „śnieg jest biały” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy śnieg jest biały.” Należy przy tym rozumieć że prawdziwość zdania śnieg jest biały w metajęzyku odnosimy do konstrukcji teoretycznej związanej z metajęzykiem ( nie chodzi tu o jakiekolwiek empiryczne stwierdzanie czy śnieg jest biały, a jedynie o prawdziwość tego zdania w metajęzyku). Mówi się w tym kontekście że prawda została tym samym zrelatywizowana do poziomu języka. Aby analizować własności logiczne  metajęzyka należałoby w tym miejscu dokonać jego formalizacji, a pytanie o prawdziwość zdań metajęzyka J_{n} wymaga w tym miejscu odwołanie się do meta-meta języka J_{(n+1)}. Działanie takie ma na celu wyeliminowanie z języka paradoksu kłamcy – zdania samozwrotne jak na przykład zdanie „Ja kłamię” zostają z języka wyeliminowane jako mieszające poziomy języka i metajęzyka. Wyeliminowanie antynomii kłamcy sprawia że teorie aksjomatyczne o aksjomatach niesprzecznych powinny poprawnie formułować twierdzenia prawdziwe ( zbiór konsekwencji zbioru zdań prawdziwych zawiera wyłącznie zdania prawdziwe). W szczególności zdania prawdziwe języka J_{n} dają się zinterpretować ( są prawdziwe) w metajęzyku języka J_{(n+1)} , jednak predykat prawdy metajęzyka J_{(n+1)} jest istotnie szerszy niż to co można o prawdzie powiedzieć w języku przedmiotowym ( który może być metajęzykiem dla teorii o języku niższego rzędu), w którym jak wiadomo z prac tarskeigo – predykatu prawdy zdefiniować się nie da. Oztatnie zdanie oznacza że kryterium (T) jest nieprzekładalne z metajęzyka, w którym jest wypowiedziane, do języka o którego prawdziwości zdań mówi.

    Stosując taką konstrukcję uzyskujemy pewien zadowalający z punktu widzenia matematyki efekt. Możemy jednak zapytać o jej ścisłe uzasadnienie, to znaczy o teorię hierarchii języków i metajęzyków. Dalej następuje cytat z książki Tworaka ( strona 56).
 

    „Weźmy zdania:

(40) Jakiekolwiek zdanie prawdziwe na jakimś poziomie m hierarchii języków Tarskiego jest tez prawdziwe na każdym n> m. Nie istnieje stopień najwyższy w hierarchii języków Tarskiego.

    Można się nimi posłużyć, opisując teorię Tarskiego. Za pomoca pierwszego stwierdzamy że hierarchia języków (H) ma charakter kumulatywny. Za pomocą drugiego stwierdzamy że nie istnieje górna granica owej hierarchii. Ponieważ dotyczą one każdego poziomu hierarchii języków (H), więc stopień ich jest większy od dowolnego n \in \omega co powoduje że nie są one zdaniami żadnego z języków owej hierarchii. Sugeruje to, że sa one pozbawione sensu. W efekcie niemożliwe staje się sformułowanie ogólnej teorii hierarchii języków. Teoria taka musiałaby być sformułowana w jezyku, który byłby metajęzykiem dla każdego języka z hierarchii (H), co jest jednak niemożliwe, ponieważ jest ona teorią ogólna. Argument ten mozna by nazwać paradoksem hierarchii języków.
    Uwaga 30. Nawiązując do antynomii kłamcy, rozważmy  zdanie:

(41) Niniejsze zdanie nie jest prawdziwe na żadnym poziomie hierarchii języków Tarskiego

    i zapytajmy czy jest ono prawdziwe. Otrzymamy sprzeczność gdyż z każdej odpowiedzi wynika jej negacja.[…]

    Ale przecież opisując ów paradoks, używam pewnego – jak się wydaje – uniwersalnego lub ostatniego (meta)języka, który – przypuszczalnie da sie sformalizować.  […] A zatem[…] hierarchia języków nie jest domknięta. Dokładniej język w którym opisujemy hierarchię (H) nie może być jej elementem. W praktyce współczesnej logiki w roli „ostatniego” (meta)języka występuje zwykle jakiś język naturalny, do którego – pod groźba sprzeczności – nie stosuje sie rozwiązania Tarskiego, tzn. nie jest on elementem hierarchii (H).
    Ostatecznie uzyskujemy uzasadnienie że (1) opis języka naturalnego oparty na hierarchii (H) jest nieadekwatny, oraz (2) istnieją nieuniknione ograniczenia formalizacji. W zwięzły sposób ujmuje to J.Woleński:

    „[A]by cokolwiek [tj. jakikolwiek język] mogło być sformalizowane, coś innego [tj. pewien język] musi pozostać niesformalizowane ((Woleński „Matematyka a epistemologia” 1993 s. 32)”

    Pełniejszy cytat z Woleńskiego to:

    „Analiza statusu teori typów logicznych czy schematu hierarchii języków skłania do umiaru w naszych pretensjach poznawczych, oraz dostarcza intuicyjnych argumentów na rzecz tezy o nieuniknionych ograniczeniach formalizcji: aby cokolwiek mogło być sformalizowane, coś innego musi pozostać niesformlizowane. Z tego wynika, że formalizacja dfowolnego segmentu ciągu (8) [języków i metajzyków] zakłada istnienie jakiegoś języka niesformalizowanego, oraz że ogólny opis tego fenomenu nie da sie inaczej wyrażić jak tylko nieformalnie, co wcale  nie znaczy, że nieprecyzyjnie lub sprzecznie. ” ( Woleński „Matematyka a epistemologia” 1993 s. 31-32 )

    U źródeł Semantycznej Teorii Tarskiego stoi dwojaka motywacja. Po pierwsze, dzięki rozbiciu języków formalnych na język i metajęzyk, wyeliminowano z teorii formalnych antynomię kłamcy. Zdania samozwrotne nie są uważane za zdania poprawne. Po drugie wypowiedziano pewien predykat, podano konstrkcję, której celem jest formalizacja pojęcia prawdy. Konstrukcja ta odwołuje się do mechanizmów językowych, Tarski bardzo wyraźnie dawał do zrozumienia, że jego teoria nie wymusza zajęcia stanowiska w kwestii sporu jak „ostatecznie” określa się prawdziwość zdania w metajęzyku „śnieg pada” –  czy wyglądając za okno, czy – szukając odpowiedzi w Biblii. W szczególności Tarski pisał w pracy „Z badań metodologicznych nad definiowalnościa prawdy”, Przegląd filozoficzny 1944  ( cytat za J. Woleński Epistemologia, który cytuje tu ta pracę na podstawie przedruku z wydania dzieł Tarskeigo,  str. 340):

    „Możemy […] przyjać semantyczną koncepcję prawdy nie porzucajac własnego stanowiska epistemologicznego, jakiekolwiek by ono było; możemy pozostać naiwnymi realistami, krytycznymi realistami lub metafizykami – kimkolwiek bylismy wcześniej”

    Wydaje się zatem że Tarski stał na stanowisku istotnie różnym niż naiwna teoria korespondencyjna prawdy Arystotelesa, który jako kryterium prawdy widział zdanie: „pogląd jest prawdziwy gdy rzeczy istotnie mają sie tak jak ów pogląd stwierdza” co w języku potocznym brzmi niemal identycznie jak w (T). STP Tarskiego odnosi sie do semnatyki języka, zaś jej odniesienie do zjawisk empirycznych jest tylko jedną z mozliwych interpretacji, bynajmniej nie najbardziej owocną czy ciekawą.  Warto w tym miejscu zastanowić się jednak nad nastepującym paradoksem sformułowanym przez Kripkego. Został on opisany w ksiażce Tworaka w następujacy sposób. Bohaterami naszej historyjki sa dziennikarzyna Jones i wybitny polityk Nixon. Załóżmy że Jones w jednym ze swoich artykułów napisał:

(J) „Wiekszość wypowiedzi Nixona o aferze Watergate jest fałszywych.

I że jest to jedyna wypowiedź Joensa o aferze Watergate jaką uczynił zanim nieznani sprawcy zastrzelili go z broni palnej. Nixon zaś, wypowiedział następujacą kwestię:

(N) „Wszystkie wypowiedzi Joensa o aferze Watergate są prawdziwe”

    Wydaje się zasadne by nie dopatrywać się samozwrotności w żadnym ze zdań (J) czy (N). Każde z tych zdań wypowiada inna osoba i dotyczą one wypowiedzi innej osoby. Wydaje sie że samozwrotność tutaj jest jest cechą całego systemu zdań. Jak zastosować kryterium Tarskiego o niemieszaniu języka i metajęzyka? Paradoks ten jest wzorowany na ogólniejszym paradoksie zdefiniowanym dla n zdań, każde z nich stwierdza że następne jest fałszywe, zaś n-te stwierdza żę pierwsze mówi prawdę. Paradoks ten nosi nazwę paradoksu „Koła kłamców”.

    Zauważmy jednak że nie tylko fakt „kolistości w zespole” jest tu ciekawy, nie dlatego przytoczyłem zdania (J) i (N). Problem jest znacznie ciekawszy. Każda próba rozstrzygnięcia czy system (J) i (N) jest paradoksalny czy nie, musi odwołać się do ustaleń ile X zdań wypowiedział Nixon na temat afery Watergate. W zależności od relacji liczowych zdań prawdziwych do liczby X, zdanie (J) jest prawdziwe lub nie, a tym samym zostaje ustalona prawdziwość zdania (N). Dla pewnych sytuacji nie powstaje tu żadna antynomia! Z sytuacją antynomii mamy do czynienia tylko w wypadku kiedy „wśród wypowiedzi Nixona dotyczących afery Watergate różnych od (N) albo (1) zdań fałszywych jest tyle samo co zdań prawdziwych, albo (2) liczba zdań fałszywych jest o jeden wieksza. Wówczas zarówno (J), jak i (N) są antynimialne[…]” (z ksiązki Tworaka, analiza za Krajewski „W obronie zdań samozwrotnych” Przegląd filozoficzny 2. 1992). Jest to argument za tym, że samozwrotność z antynomiami nie ma w istocie aż tak wiele wspólnego jak się powszechnei uważa….

 

Ksiązki cytowane w tekście:

Zbigniew Tworak „Współczesne teorie prawdy” Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2009

Jan Woleński „Epistemologia. Poznanie, prawda, wiedza, realizm” Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007

Jan Woleński „Matematyka a epistemologia” Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993