Chciałbym napisać tu coś o ułamkach łańcuchowych. Wpis ten ukazał się wczesnej na Google Buzz. Jak widać z fragmentów dyskusji przytoczonych poniżej nie jestem zbyt kompetentną osobą by pisać na ten temat, jednak mimo to napiszę, bez wielkich zmian. Być może w przyszłości, za słuszną sugestią profesora Włodzimierza Holsztyńskiego, zdobędę się na poprawienie swoich potknięć, rewizję poglądów, i uzupełnienie wpisu. Byłoby to ze wszech miar wskazane, jako, że Włodzimierz ma zdecydowanie rację tam gdzie podkreśla że nie posiadam dostatecznej wiedzy i praktyki co do ferowania ogólnych ocen na temat matematyki i matematyków. Z drugiej strony w pewnych kwestiach, jak by to śmieszne się miało nie wydawać, mam własne zdanie na przedstawianą treść. Tak więc by rzecz dobrze wyjaśnić, a czytelnika nie znudzić, chciałbym wyrazić tu pewną prośbę: czytajcie to co poniżej z dystansem, i darujcie mi niekompetencję. Jestem człowiekiem niecierpliwym, a bardzo chcę pokazać coś więcej niż to co mieści się w typowym traktowaniu poniższej tematyki. by jednak było to możliwe, konieczne jest danie kontekstu. Pokazanie pewnego wprowadzenia by rozmowa nie sprowadzała się do napisania kilku wzorów których nikt nie zrozumie. Namawiam zatem do przeczytania, przemyślenia, skomentowania, ale i do poczekania aż uda mi się dojść do bardziej intrygujących, na amatorski sposób, ciekawych, tematów….

    Ułamki łańcuchowe to ciekawa i niezbyt pamiętana współcześnie konstrukcja. Gdyby spytać o nie ucznia szkoły średniej to pewnie jedynie pasjonaci matematyki znaleźliby jakieś wiadomości o tego typu obiektach, na ogół nie potrafiliby jednak podać pewnie żadnych faktów poza definicją. Przypuszczam, ze nawet studenci matematyki nie posiadają jakiejś szczególnej wiedzy na temat ułamków łańcuchowych gdyż nie są one związane w sposób szczególny z żadnym działem współcześnie wykładanej matematyki uniwersyteckiej. Oczywiście znajomość definicji i podstawowych własności jest elementem ogólnej kultury matematycznej, jednak chyba ułamki łańcuchowe są współczesne raczej kuriozum niż szczególnie ważną konstrukcją w matematyce. Współczesna matematyka zdaje się umieszcza je w obrębie tak zwanej matematyki konkretnej, lezą na pograniczu matematyki stosowanej, informatyki i technik numerycznych.

    Warto wiedzieć, że jeszcze kilkadziesiąt lat temu, i na przełomie stuleci XIX i XX, a zwłaszcza w czasach jeszcze wcześniejszych, ułamki łańcuchowe były ważną konstrukcją matematyczną. Ich analiza zaprzątywała umysły tego formatu co Euler który dowiódł za ich pomocą niewymierności liczby e. Lambert używając ułamków łańcuchowych dowiódł niewymierności liczby pi. Uczeni tej miary co Lagrange, Gauss który wprowadził ułamki łańcuchowe zespolone, oraz wyrażał ich wartości a pomocą funkcji hipergeometrycznych prowadzili aktywne badania na ich polu. ważne konstrukcję wprowadził Pade – twórca tzw. aproksymant Pade, ciekawe i charakterystyczne dla niego są wyniki Ramanujana. Wreszcie Chiniczyn – autor monografii na ich temat. Wówczas było to pole ciekawych badań. Ułamki łańcuchowe mają bliski związek z aproksymacją diofantyczną czyli przybliżaniem liczb rzeczywistych niewymiernych liczbami wymiernymi z dobra, najchętniej optymalną dokładnością. Badania związane z ułamkami łańcuchowymi doprowadziły Chniniczyna do odkrycia tak zwanej Stałej Chiniczyna, która w wikipedii wymieniana jest jako jedna z 10 najważniejszych stałych matematycznych obok liczby pi i liczby e.

    Zajmijmy się na początek podstawowymi definicjami. Przez ułamek łańcuchowy, zapisywany jako [a_{1};a_{1},a_{2},a_{3} \ldots a_{k}] będziemy rozumieli liczbę postaci:

[ a_0;a_1,a_2,a_3...a_k ] = a_0 + \frac{1}{ a_1 + \frac{1}{ a_2 + \ldots \frac{1}{ a_k}}}

gdzie liczba a_0 jest liczbą całkowitą ( a więc może być ujemna, zero lub dodatnia) zaś a_{i} są liczbami naturalnymi. Jest to tak zwany ułamek łańcuchowy w postaci kanonicznej lub regularnej lub prostej . Jest to postać wyróżniona – w takim piętrowym ułamku, wszystkie liczniki zawierają wyłącznie cyfrę 1. Oczywiście w sensie ogólnym tak być nie musi – mamy wówczas do czynienia z ułamkiem niekanonicznym lub złożonym. Teoria ułamków niekanonicznych jest co najmniej tak samo, jeśli nie bardziej ciekawa jak ułamków kanonicznych. Jednak w naszych rozważaniach nie będziemy o nich wspominać.

    Skoro mamy definicję, spróbujmy zapisać w tej postaci jakąś liczbę. wiele przykładów jest bardzo prostych, inne wymagają pewnego nakładu pracy:

\frac{3}{2} = [1;2] = 1 + \frac{1}{2}

3 10/71 = [4;2,1,2,1,2,2] = 4 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1+\frac{1}{2+\ldots }}}

    Jak szybko wyliczać ułamki łańcuchowe znając daną liczbę?

    Najszybsze jest użycie programu komputerowego. Wiele dostępnych pakietów bardzo sprawnie wylicza rozkład zadanej liczby na ułamki łańcuchowe, polecam jednak dwa z nich: Sage  które jest wspaniałym narzędziem do zabawy matematyka, jednak jego pobranie to około 400 Mb a instalacja zajmuje około 4 Gb! Monstrum. Dla poszukujących czegoś lżejszego – polecam Pari/GP. Wspaniałe narządzie dla wszystkich zabawiających się teorią liczb, kiedy żona i dzieci śpią. A przy tym nadal jedno z najbardziej wydajnych, wśród darmowych programów – z pewnością rekordzista szybkości.

   Uruchamiamy więc Pari/GP i piszemy: contfrac(52163/16604) i naciskamy enter. Magia! Wynik to: %11 = [3, 7, 15, 1, 146] . Jak oni to zrobili?

    Kiedy mamy zadaną liczbę powiedzmy A, to aby przedstawić ją w postaci ułamka łańcuchowego musimy ją zapisać jako:

A = a_0 + 1/x_0

    Och to proste: a_0 to po prostu część całkowita z liczby A! x_0 też znajdziemy w prosty sposób – x_0   jest odwrotnością części ułamkowej liczby A. A dalej? Dalej to samo! Liczbę x_0 przedstawimy w postaci:

x_0= a_1 +1/x_1

    A z x_1 zrobimy to samo i tak dalej, aż cały proces na którymś kroku się zatrzyma – nie będzie już części ułamkowej. Po wstawieniu wszystkich pośrednich rachunków do jednego wzoru dostaniemy formułę z definicji (1). Pojawia się więc ważne pytanie: Dla jakich liczb ten proces ma szansę się zatrzymać?

    Po pierwsze zauważmy, że jeśli mamy ułamek łańcuchowy [a_0;a_1,a_2,a_3...a_k] to w wyniku wyliczenia jego wartości z definicji (1) otrzymamy liczbę wymierną ( jako stosowny wynik operacji dodawania i dzielenia na liczbach wymiernych, a te są przecież ciałem – a więc te operacje nie wyprowadza nas poza zbiór liczb wymiernych). Możemy wypowiedzieć zatem wniosek:

( T1 ) Skończony ułamek łańcuchowy to pewna liczba wymierna.

    Czy każda liczba wymierna ma zatem postać skończonego ułamka łańcuchowego? Rozważmy liczbę wymierną p/q . Nie ma dla nas znaczenia czy jest to ułamek właściwy czy nie, ważne wszakże, że q \neq 0 . Postępując zgodnie z pomysłem na rozkład na ułamki łańcuchowe opisany wyżej możemy zapisać:

\frac{p}{q} = a_0 + \frac{r_0}{q} = a_1 + \frac{1}{\frac{q}{r_0}} = a_0 + \frac{1}{x_0}

    po pierwsze zauważmy, że

r_0 < q

    gdyż a_0 jest częścią całkowita jaką da się tu wyciągnąć, więc r_0/q jest ułamkiem właściwym. Jeśli mamy r_0 = 0 cały proces się kończy i mamy ułamek łańcuchowy w skończonej postaci. Załóżmy że tak nie jest. Co dalej? Wówczas musi być r_0/q <1 a więc q/r_0 >1 Wykonajmy następny krok rozkładu:

x_0 = \frac{q}{r_0} = a_1 + \frac{r_1}{r_0} = a_1 + \frac{1}{\frac{r_0}{r_1}} = a_1 + \frac{1}{x_1}

    I tu ważne spostrzeżenie:

r_1 < r_0

    z tych samych powodów jak wyżej w równaniu (7). Widzimy zatem, że w procesie iteracji uzyskujemy ciąg czynników r_0 > r_1 > ...> r_k > \ldots które są malejące! W wyniku takiego procesu musimy osiągnąć 0, co zakończy działanie całego algorytmu, bo liczby r_i sa liczbami naturalnymi. Dowiedliśmy zatem następującego stwierdzenia;

( T2 ) Każda liczba wymierna może zostać przedstawiona jako skończony ułamek łańcuchowy prosty.

    Analizując rzecz nieco bardziej szczegółowo można spostrzec, że przedstawiony powyżej algorytm jest bardzo podobny do algorytmu Euklidesa znajdowania największego wspólnego podzielnika dwu liczb. To prawda! Algorytm Euklidesa jako wynik uboczny daje także informacje o rozkładzie liczby na ułamek łańcuchowy. Jednak samo dokonanie rozkładu na ułamki łańcuchowe, przedstawione powyżej, wydaje się być nieco prostsze i łatwiejsze.

    A co z liczbami niewymiernymi? Otóż liczby niewymierne nie mają skończonego rozkładu na ułamki łańcuchowe. W zasadzie nie powinno to dziwić, nie tylko dlatego że przyzwyczailiśmy się do ich „patologii” czy wyjątkowości ( co przecież jest ledwie opinią bardziej estetyczną niż obiektywną). Każda liczba niewymierna może być przybliżana przez liczby wymierne. Lepsze przybliżenia- to na ogół bardziej skomplikowane ułamki – o większych liczbach w liczniku i mianowniku – a zatem dłuższe rozwinięcia w ułamki łańcuchowe… Najbardziej znanym przykładem może być tu liczba pi. Popatrzmy na je kolejne przybliżenia i ich rozkłady na ułamki łańcuchowe (przybliżenia za wikipedią, rozkłady za pomocą PARI/GP):

\pi \approx 3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{52163}{16604}, \ldots

3 = [3]
22/7 = [3,7]
333/106 = [3,7,15]
355/113 = [3,7,16]
52163/16604 = [3,7,15,1,146]

    I tak dalej. Początek dokładnego liczby pi na ułamki łańcuchowe wygląda zaś tak (http://oeis.org/A001203 ):

\pi = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, ... ]

    Warto zwrócić uwagę, ze znana liczba 22/7 to wynik znany już Archimedesowi, oraz, że szczególnie dobre aproksymacje wymierne to te, które urywają się tam gdzie w ułamku łańcuchowym występuje duży czynnik. W takim wypadku następna poprawka a_j jest bowiem szczególnie mała…

    W ten oto sposób doszliśmy do ważnego zastosowania ułamków łańcuchowych: aproksymacji liczb niewymiernych. Jeśli ułamek łańcuchowy dla pewnej liczby niewymiernej, podobnie jak dla liczby pi, ma jakiś duży czynnik na j-tym miejscu, wówczas jego obcięcie na j-tym miejscu, nazywane j-tym konwergentem lub po polsku j-tym reduktem liczby, daje szczególnie dobre przybliżenie owej liczby. Na przykład 333/106 = [3,7,15] = 3.141509434 to drugi redukt liczby pi, i jak widać daje dobrą dokładność do 4-tego miejsca po przecinku.

    Czy każdy ułamek łańcuchowy, skończony lub nieskończony [a_0;a_1,a_2,a_3...a_k, \ldots ] dla całkowitego a_0 i dowolnych naturalnych a_i różnych od zera reprezentuje jakąś liczbę? Okazuje się, i jest to bardzo ważny fakt – że tak! Co więcej można by nawet nieco zliberalizować założenia i dopuścić by liczby ia_i były całkowite ( różne od zera) byle szereg będący ich sumą był rozbieżny. Przy takich założeniach ułamek łańcuchowy jest zbieżny do jakiejś liczby. Co istotne, jeśli jest nieskończony – liczba ta jest niewymierna, a jeśli skończony – wymierna – co dowiedliśmy powyżej ( liczby rzeczywiste są albo wymierne albo nie, jest to podział dychotomiczny i nie ma innych rodzajów liczb).

    Zauważmy, ze jeśli mamy niezerową liczbę A, to jej odwrotność 1/A w zasadzie przypomina fragment zależności (4) jeśli założymy, że a_0 = 0 . I rzeczywiście, prawdziwa jest zależność:

[a_0,a_1,...] = \frac{1}{[0,a_0,a_1,...]}

    Na koniec tego popularnego wprowadzenia uwaga o równaniach kwadratowych. Przypatrzmy się równaniu postaci:

x^2 -x -1 =0

jak wiadomo rozwiązaniem tego równania jest liczba \varphi stosunek złotego podziału. Jako ludzie leniwi, zamiast rozwiązywać równanie przepiszemy je w postaci:

x= 1 + \frac{1}{x}

a następnie za x podstawimy … wyliczony x:

x= 1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{x} }

    Ponieważ proces ten możemy kontynuować w nieskończoność, aż x „zniknie” po lewej stronie równości ( a przynajmniej będzie już tak małe że go nie będzie widać – proszę samemu spróbować! ), skoro rozwiązanie oznaczyliśmy symbolem \varphi możemy napisać:

\varphi = [1,1,1,1,1, \ldots]

    Ciekawe prawda? Okazuje się, że całkiem podobnie zachowują się wszystkie pierwiastki równań kwadratowych! Jeśli liczba A jest pierwiastkiem równania kwadratowego i jest zarazem liczba niewymierną, to jej rozwinięcie na ułamek łańcuchowy jest okresowe. I odwrotnie – okresowe ułamki łańcuchowe reprezentują liczby niewymierne będące pierwiastkami równań kwadratowych!

    Czy istnieją inne podobne zależności? Oczywiście. Kilka przykładów można znaleźć tutaj. Co ciekawe, nadal nie wiadomo na przykład czy istnieją jakieś szczególne wzory związane z pierwiastkami innych równań wielomianowych – stopnia trzeciego czy dziesiątego. Intrygujące własności i problemy nie mające odpowiedzi kryją się także za pytaniami o długość rozwinięcia w ułamki łańcuchowe liczb wymiernych, pytaniem o długość okresu ułamków łańcuchowych okresowych i tak dalej.

Literatura: „Continued Fractions” A.Ya.Chiniczyn

   W następnym wpisie napiszę o drzewie Sterna-Brockota.
—————————————————
Poniżej dyskusja jaka odbyła się po mojej prośbie o „recenzję” powyższego wpisu.

Włodzimierz Holsztyński Miło, Kazimierzu, gdy piszesz konkretnie. Gorzej, gdy nakreślasz panoramy i ferujesz wyroki. Poza tym, gdy piszesz o otwartych problemach, to należy zaznaczyć, że matematycy stawiali je w przeszłości, pisali o nich wiele prac. Niedobrze jest robić wrażenie, że się te pytania samemu wymyślilo, jakby przez dziesiątki lat innym nie wpadały do głowy. Szczególnie razi to w przypadku narzucających się, naturalnych pytań, które często należą do domeny publicznej, bo na ogół matematycy nie chcą się podpisywać pod czymś, co każdy może naturalnie pomyśleć. Owszem, czasem wielkim matematykom przypisuje się wręcz banalne, choć ważne, rzeczy, by ich w ten sposob uczcić i nagrodzić za ich dzieło. A te drobiazgi slużą za pretekst do wykazania szacunku. Aug 24, 2011
Włodzimierz Holsztyński Pierwszy paragraf (w obecnej postaci) jest mylący. Matematyka nie jest popularna, więc niematematycy nie mogą mieć jasnego obrazu stanu rzeczy (nawet nie ma takiej potrzeby, matematyka jest skromna). Mógłbyś ten swój pierwszy paragraf równie dobrze napisać o zwykłych ułamkach k/m, i byłby równie (nie)prawdziwy.
Chociaż wszędzie w matematyce można stawiać nowe, dzikie, więc często trudne pytania, to jednak pewne działy/narzędzia dojrzały, wiadomo ile z ich pomocą można uzyskać w ich naturalnych ramach (bez przedefiniowywania i zmieniania zakresu dziedziny). One dalej są standardowe dla specjalistów. Tak jest właśnie z ułamkami łańcuchowymi. Wiele szanujących się podręczników teorii liczb zawiera między innymi elegancki i systematyczny wykład z ułamków łańcuchowych. Oprócz najslawniejszych matematyków również wielu mniej znanych, ale budzących swoimi wynikami szacunek, stosowało ułamki łancuchowe z wielkim mistrzostwem.
Twój artykuł jest na tyle niepełny (to nie jest krytyka, jeszcze nie :-), że naturalnego zakresu stosowalności ułamków łańcuchowych z niego nie widać. Zaznaczę ten zakres trochę w następnym komentarzu. Ograniczenie metody klasycznych ułamków łańcuchowych stymulowało pewne ich uogólnienia, by jednak pójść dalej. Aug 24, 2011

Kazimierz Kurz @Wlodzimierz Holsztyński – hm, a mógłbyś bardziej konkretnie o tych poruszanych/zadawanych już pytaniach? Bo właściwie to takich uwag oczekiwałem. Jak wiesz nie jestem zawodowym matematykiem i w większości wypadków zapewne nawet nie jestem świadom, że temat był już poruszany. Prawdę mówiąc zanim zabrałem się do pisania wykonałem pewną internetową kwerendę, ale też nie miałem ambicji pisać monografii a piszę „amatorsko” dla „amatorów” – w żadnym razie nie są to prace naukowe…
Jako, że jest to esej, uważam że mam prawo do własnej opinii, i z wielkim zainteresowaniem zapoznam sie z Twoją, a im bardziej będzie niezgodna z moją, tym więcej ciekawych rzeczy się nauczę ;-) Zgoda – Artur Popławski na G+ wspomniał, że ułamki łańcuchowe są w większości monografii, w tym w Narkiewiczu i Sierpińskim. Oczywiście to prawda – zarazem zwykle jest to samo sedno, poświęcone podstawowej konstrukcji i własnościom, nie wspomina się zwykle o drzewie SB, reprezentacji binarnej i związkach z SL(2,N). Rozumiem że to niszowe sprawy, akurat dla mnie ważne bo przygotowuję sobie grunt by opisać na końcu coś co sam (?) wymyśliłem. Aug 24, 2011

Włodzimierz Holsztyński Napisałeś Kazimierzu „Skoro mamy definicję [skończonego ułamka łancuchowego]”, ale definicji nigdzie nie podaleś. Być może w tego typu artykule nie ma potrzeby. Jednak frazy „mamy definicję” nie należy wtedy używać, bo szkodzi się mało doświadczonym. (Z drugiej strony dodam na zapas, że żadnych usprawiedliwień, zwłaszcza długich, też nie należy dawać). Aug 24, 2011

Kazimierz Kurz Alez definicja jest: „Zajmijmy się na początek podstawowymi definicjami. Przez ułamek łańcuchowy, zapisywany jako [a_0;a_1,a_2,a_3 ... a_k] będziemy rozumieli liczbę postaci:

(1) [ a_0;a_1,a_2,a_3...a_k ] = a_0 + \frac{1}{ a_1 + \frac{1}{ a_2 + \ldots \frac{1}{ a_k}}}

gdzie liczba a_0 jest liczbą całkowitą ( a więc może być ujemna, zero lub dodatnia) zaś a_i sa liczbami naturalnymi. Jest to tak zwany ułamek łańcuchowy w postaci kanonicznej lub regularnej lub prostej .
[…]
Skoro mamy definicję, spróbujmy zapisać w tej postaci jakąś liczbę. wiele przykładów jest bardzo prostych, inne wymagają pewnego nakładu pracy: ” Może nie działa Ci renderowanie wzorów? Aug 24, 2011

Włodzimierz Holsztyński Dowód twierdzenia (T2) jest ładny, a jego metoda cenna dla czytelników. Sformułowanie (T2) jest niepełne. Pelne twierdzenie mówi, że dla każdej liczby wymiernej istnieją dokładnie dwa różne skończone ułamki łancuchowe, reprezentujące daną liczbę. Informacja o dwóch rozkładach jest ważna w kontekście reprezentowania wszystkich liczb rzeczywistych. Jest to ważna część obrazu. Przypomina ułamki dziesiętne: każda liczba wymierna postaci k/10^n dopuszcza dokładnie dwa różne nieskończone rozwinięcia dziesiętne; na przykład (w układzie dziesiętnym):

1/10^0 = 1.0000… = 0.99999…

Wszystkie pozostałe liczby rzeczywiste są reprezentowane przez dokładnie jedno nieskończone rozwinięcie dziesiętne.

Chodzi w obu sytuacjach o reprezentowanie (rozrywanie i sklejanie) ciągłego zbioru liczb rzeczywistych poprzez dyskretne obiekty jak liczby calkowite lub cyfry dziesiętne. Aug 24, 2011

Włodzimierz Holsztyński Powszechnie mówi się o tym, że Archimedes udowodnił podwójną nierówność:
3 + 10/71 < pi < 3 + 1/7
W tej chwili nie jestem pewny, co wiadomo o jego znajomności dalszych przybliżeń. Być może już wtedy znał(?) późniejsze chińskie przybliżenie 355/113 (znane też poza Chinami), ale z pewnością nie więcej. Warto to porządnie sprawdzić. Aug 24, 2011

Włodzimierz Holsztyński Warto zauważyć, że kolejne redukty przybliżają wartość ułamka łancuchowego na przemian: od dołu, od góry, od dołu, od … Jest to prosta obserwacja.
Dobrze wiadomo, że kolejne redukty są (w mojej terminologii) sąsiadami, t.zn.
|k/m – s/t| = 1/(m*t)
Jest to jedna z ich podstawowych własności. Aug 24, 2011

Kazimierz Kurz O reduktach będę wspominał w późniejszym toku, chociaż z innych powodów.
Z Archimedesem – chyba masz rację – i chyba nieco przekoloryzowałem – znał tylko przybliżenie o którym piszesz na podstawie aproksymacji wielokątami. Aug 24, 2011

Włodzimierz Holsztyński Przy okazji niewymierności kwadratowych można podać informację o problemie ułamków łańcuchowych czysto okresowych, rozwiązanym i opublikowanym(!) przez E.Galois. Więc jeszcze jeden wielki matematyk zajmował się ułamkami łańcuchowymi.
Z grubsza mówiąc, teorioliczbowe problemy algebraiczne stopnia 2 oraz niewymierności stopnia 2 stanowią naturalny zakres stosowalności ułamków łancuchowych. Dla problemów stopnia 3 kilku matematyków badało pewne uogólnienia ułamków łancuchowych. Uzyskali pewne ciekawe wyniki, ale nie udało się rozwinąć równie pełnej i harmonijnej teorii, co w przypadku standardowych ulamków okresowych lub ich wariacji. Wygląda na to, że pełna ogólniejsza teoria, pożyteczna dla stopnia 3, nie istnieje. Aug 24, 2011

Włodzimierz Holsztyński Nie mogę się zdecydować, Kazimierzu, czy Twój artykuł jest krótki, czy długi. Mimo to w każdym wypadku zdumiewającym jest, że nie podałeś zasadniczego powodu dla wprowadzenia ułamków łańcuchowych. To, że czasem fuksem przybliżają niewymierności ekstra dokładnie, jest ledwo marginesową uwagą, a nie powodem. Czyli (gdy brak motywacji) mamy do czynienia ze sztuczną, ciężką konstrukcją, która w końcu nic nie daje. Poza odwrotnością liczb dodatnich, to nawet nie widać na oko żadnych na nich pożytecznych operacji arytmetycznych. Prawdziwy powód jest następujący: redukty i tylko ułamki równe reduktom, są tak zwanymi „najlepszymi przybliżeniami wymiernymi” liczby reprezentowanej przez ułamek łańcuchowy.
Przy tym „najlepszymi” w pewnym nie byle jakim silnym sensie – trzeba tu uważać, bo czasem nawet doświadczony matematyk może się w momencie słabości zmylić (czego byłem świadkiem na seminarium z teorii liczb na jednym z czołowych wydziałów matematycznych :-). Aug 24, 2011

Kazimierz Kurz @Włodzimierz – rozpatrujesz ten esej jako samodzielną całość – a tak nie jest – o bardzo praktycznej aproksymacji wspominam już w 2-giej części – przy czym wprowadziłem ją nieco historycznie – za pomocą drzewa SB które zostało użyte do wynajdywania takich przybliżeń. Moim celem jest jednak na koniec przedstawienie własnych wyników – dlatego cykl esejów ma do nich przybliżać. Ponieważ wyniki te (choć dla mnie ciekawe) nie są szczególnie przełomowe czy ważkie, uznałem że podążając w pewnym kierunku, będę jednak pisał nieco popularnie, by osoby niezwiązane uczuciowo z tematem coś z tego wyniosły. Gdybym napisał od razu co wymyśliłem – nikt by się tym nie zainteresował, a tym bardziej żądnej korzyści by z tego nie odniósł ;-) Aug 24, 2011

Włodzimierz Holsztyński @Kazimierz – jest trzykropkowa sugestia, ale definicji nie ma.
Rozpisanie się o ułamkach łańcuchowych bez podania ich zasadniczej własności, po prostu jest bez sensu, niepotrzebnie czytelnikowi zaśmieca się głowę. To, że w następnym artykule masz jakieś obserwacje dotyczące aproksymacji, niczego tu nie zmienia. Nawet nie odważyłeś się napisać, że równoważne. Prawdopodobnie nie wiedziałeś przy pisaniu. Prawdopodobnie słabsze.
Masz prawo do swoich opinii. Masz prawo głosić je publicznie. Co nie zmienia faktu, że aż za często jest to w złym guście. (Mniejsza o wartość merytoryczną, zaciemnioną niejasnym pisaniem).
Co do odnośników, to nie jestem specjalistą, ani nie mam zdolności kolekcjonowania ich. Na dodatek wciąż mi przetrzebiało moją osobistą bibliotekę, taki los. Wskażę na kilka problemów, do których stosowano ułamki łancuchowe. Jednak takich prac były tuziny, jeżeli nie setki. Prawdziwe poznanie ułamków łańcuchowych oznacza przeskoczenie pewnej bariery, Ci, którzy to uczynili, stosowali ułamki łańcuchowe jako swoje regularne narzędzie naukowe. Zaabsorbowanie wiedzy czyli nabycie techniki ułamków łancuchowych wcale nie jest czymś prostym – jest solidnym osiągnieciem (możliwym dla niewielu), które procentowało w twórczości szeregu laikom nieznanych, ale bardzo dobrych, utalentowanych ekspertów.
W każdym razie, skoro nie poszedłeś do biblioteki, nie przeszukałeś starannie literatury, to moralnie nie miałeś prawa podawać swojej opinii o stanie tej teorii. Jako minimum, choć to byłoby bez sensu, mógłbyś napisać, że podajesz opinię ignorancką, nie opartą na znajomości literatury. Internet wciąż, w przypadku matematyki, nie jest głównym źródłem matematycznej wiedzy historycznej lub bieżącej. Z czasem będzie lepiej, mam nadzieję, ale to jeszcze potrwa.
Ułamki łańcuchowe stosowano do dowodu twierdzenia Fermata o reprezentowaniu liczb pierwszych, dających 1 z dzielenia przez 4, jako sumy dwóch kwadratów (np. 5=2^2+1^2, 13 = 3^2 + 2^2, itd); stosowano do rozwiązania równania Pella; w tematyce Stormera; przy wyznaczeniu kolejnych, najgorzej wymiernie przybliżalnych liczb … J.Browkin i J.Brzeziński w publikacji z 1994 zastosowali ułamki łancuchowe heurystycznie do uzyskiwania przykładów, związanych z hipotezą abc.
Twoja uwaga, @Kazimierzu, na samym końcu artykułu o ułamkach łancuchowych, jest niestosowna. (Sam się nad tym zastanów, bo nie będę wywalał kawy na ławę). Aug 25, 2011

Kazimierz Kurz @Wlodzimierz – ja jednak jestem prostak i wolałbym abyś dał kawę na ławę. Nie wiem o czym mówisz, a obawiam się, że liczenie na moją domyślność jest kompletnie bez sensu. Artykuł jest pomyślany jako dosyć swobodna wymiana myśli, broń boże ani podręcznik ani wprowadzenie nie bardzo więc widzę powód dla którego miałbym formalnie pisać: Definicja: …
Krytykę przyjmuję, częściowo się z nią zgadzam, choć nie znalazłem w niej nic ( w mojej opinii) co miałoby spowodować konieczność zmian w tekście (np. napisanie: „J.Browkin i J.Brzeziński w publikacji z 1994 zastosowali ułamki łancuchowe heurystycznie do uzyskiwania przykładów, związanych z hipotezą abc.” – jest szalenie ciekawe i ważne, ale co to wnosi do wiedzy adresata tego wpisu który ułamków łańcuchowych w założeniu wcale nie zna a jeśli już to tylko od strony elementarnej definicji? Zaś przedstawienie hipotezy abc to jednak co najmniej osobny artykuł w którym wytknąłbyś mi – całkiem słusznie – kolejne tysiące błędów ;-) Bardzo chętnie natomiast przeglądnąłbym jakieś wprowadzenie w prace Galois o których wspomniałeś – masz może jakieś namiary?) . Uzupełnienie wiadomości historycznych jest jak najbardziej sensowną sugestia ale do treści niewiele wnosi – większość z tych tematów jest całkiem nieźle opracowana lub zasygnalizowana np. w wikipedii na temat ułamków łańcuchowych – a nie widzę powodu dla którego miałbym dublować tamtejsze wpisy. Dodanie rzetelnego wpisu historycznego wymagałoby po pierwsze bardzo wiele pracy ( sprawdzenie źródeł) a po drugie rozwlekłoby artykuł – musiałbym zrobić część „0” tylko o tym. W mieście ( a raczej miasteczku ) w którym mieszkam nie ma biblioteki naukowej – sam nie jestem afiliowany przy żadnej instytucji edukacyjnej – nie mam dostępu do JSTOR itp. – o szukaniu prac Galois nie mam więc co marzyć ;-) chyba że są na arxiv. Na Buzz czy G+ ( a nawet na blogu) nie ma miejsca na takie wpisy – w sumie szkoda. Ten i tak został nazwany „dłuuugaśnym”.
Ale może kiedyś wykonam jakąś część pracy która mi zalecasz – wówczas pewnie zbiorę to w formę nieco bardziej obszerną – ebook?. W zasadzie pchasz mnie w tym kierunku swoimi uwagami – i to jest intrygująca myśl… Aug 25, 2011

Włodzimierz Holsztyński @Kazimierz – wcale nie sugerowałem, że należy zamieścić odnośniki na które wskazywałem (choć może ze 2-3 przydałoby się, chyba tak, to nic o tym nie pisałem). Aug 26, 2011

Włodzimierz Holsztyński @Kazimierz – nie chodzi o słowo „DEFINICJA”. Chodzi o to, że nie podaleś definicji (nie ważne, czy wodrębnionej formatem, czy nie), a piszesz, że podałes. Nie musiśz podawać, ale wtedy należy jasno napisać, że się podało tylko sugestię ułamka łańcuchowego, a nie definicję. Podanie „wzoru” z trzema kropkami nie jest definicją. W najprostszych wypadkach można sobie na taki luksus pozwolić. W danym wypadku tak nie jest. Dałeś jakąś ideę o co chodzi, ale nie definicję.
Dla przykładu:
()\quad\quad\quad\sum_{k=1}^n\ a_k\ \ :=\ \ a_1 + ... + a_n
nie jest definicją sigmy (sumy od 1 po n). Podobnie dla funkcji rzeczywistej f nie jest definicją jej sumy wyrażenie typu:
(*)\quad\quad\quad\sum, f\ := ... + f(x) + ...
po wszystkich elementach x\in X , gdzie X jest domeną funkcji f,.
=================
Mam nadzieję, że TeX ( [;\TeX;] ) skompiluje się. (U siebie widzę go skompilowanego). Aug 26, 2011

Kazimierz Kurz @Wlodzimierz – co do definicji to zasadniczo nie bardzo rozumiem, a na swoje usprawiedliwienie mam następujące przykład:
http://books.google.com/books?id=R7Fp8vytgeAC&lpg=PP1&dq=continued%20fractions&pg=PA1#v=onepage&q&f=false – tu natomiast jest książka Chiniczyna – w zasadzie da mnie podstawowy materiał źródłowy ( obok wikipedii i strony Bogomolnego)
Czy mógłbyś zatem napisać jak Twoim zdaniem miałaby wyglądać ta definicja?
W moim mniemaniu definicja to „nazwa” na znany obiekt. Po lewej stronie – coś definiowanego – po prawej wyrażenie które znamy ( np. umiemy wyliczyć jego wartość). Oczywiście stosując sztuczne języki jak Coq, matematykę w języku aksjomatyzacji Peano arytmetyki itp. należy definicję także zapisywać formalnie. Nie widzę jednak powodu by w popularnej pogadance o ułamkach łańcuchowych pisanej swobodnym językiem i adresowanej do amatorów wyrażenie które napisałem nie miało być przyjęte za definicje. Coś czego nie zdefiniowałem – to ułamek łańcuchowy nieskończony – ale o tym będę jeszcze pisał a na tym etapie w zasadzie nie było potrzebne – operowałem w zasadzie wyłącznie na skończonych obiektach poza przykładem (!) dla równania kwadratowego co było wtrętem i nie miało związku z treścią. Aug 26, 2011

Włodzimierz Holsztyński @Kazimierz – pisz tak jak piszesz, tylko unikaj mówienia, że podałeś definicję. Możesz napisać, że Twoje dwa czy trzy paragrafy pozwalają dostatecznie jasno czuć czym są ułamki łańcuchowe. Ewentualnie możesz nawet napisać, że nie podałeś formalnej definicji, ale nie ma już wątpliwości czym są ułamki łańcuchowe. Przy tym w żadnym wypadku ani nie usprawiedliwiaj się z niepodania definicji formalnej, ani przede wszystkim nie pisz, że nie podałeś, bo piszesz dla niematematyków, itp. (trudno byłoby o coś gorszego w popularyzatorskim lub podręcznikowym tekście–w słabych jest to nagminne). Co najwyżej, i jak najbardziej, można czytelników po dalszą wiedzę odesłać do dalszych pozycji w literaturze, jak na przykład niewielki klasyczny podręcznik teorii liczb autorstwa Winogradowa (ostro napisany, ale świetny). Aug 26, 2011

Marek Wojcik Kazik, pisz nie przejmuj się. Z matematycznymi purystami zawsze są problemy, co nie zmienia faktu, że są szalenie pożyteczni, wręcz niezbędni na późniejszych etapach pogłębiania wiedzy. Aug 26, 2011

Kazimierz Kurz Heh, dziękuję Marku. Osobiście prosiłem Wlodzimierza o przejrzenie i krytyczną opinię – i jestem mu za nią wdzięczny. Biorę sobie do serca uwagi Wlodzimierza bo wie co mówi, choć zapewne patrzy na to co napisałem z innego kompletnie punktu widzenia niż ja – stąd spore różnice w zdaniach. Mam swoją wizję propagowania matematyki, jakkolwiek zabawnie by to nie brzmiało, drażni mnie maniera wypisywania twierdzenia popieranego następnie dowodem ( co przecież jest chwalebną tradycją ;-). Wolę formułowanie twierdzeń po przedstawieniu rozumowania po którym stają się oczywistymi wnioskami. Ale moim celem nie jest popularyzacja ułamków łańcuchowych tylko napisanie coś o własnym pomyśle którego z powodu braku wiedzy i czasu nie umiem rozwijać dalej. Ponieważ jestem jednak świadom że to co wymyśliłem to taki drobiazg, a żeby o tym napisać i tak trzeba kupę rzeczy objaśnić, pomyślałem, ze zrobię to właśnie w taki, amatorski i popularny sposób. Pomyślałem, ze jeśli będę umiał rzecz wytłumaczyć komuś kto nie wie o ułamkach nic zgoła – sam to lepiej zrozumiem ;-)
Na koniec się pewnie okaże że góra mysz urodziła, wiec niech chociaż ta popularyzacja ma jakąś wartość… Aug 26, 2011