„Każdy kto uczył sie tzw. matematyki wyższej wie, że na różnych przedmiotach matematycznych tak samo nazywające sie pojęcie ma całkiem różne definicje. [..] Nikt natomiast nie zadaje sobie trudu by udowodnić równoważność tych wszystkich definicji. Często powstałby zresztą w takiej sytuacji problem: na jakim gruncie dowodzić tej równoważności. […] dlaczego nie prowadzi to do bałaganu?

    Najbardziej znana i utożsamiana z Kleinem jest ta część jego wykładu w której rozważa on pytanie, co to właściwie jest teoria matematyczna. Tu mieści się też właśnie owa niewykorzystana droga innego potraktowania matematyki jako całości, nie jest to dziś robione. Teoria matematyczna, według Kleina, jest to coś zupełnie innego, niż można znaleźć w podręcznikach podstaw matematyki, logiki matematycznej itp. Teoria matematyczna powstaje, zdaniem Kleina, w momencie obrania pewnego zbioru Z i pewnej grupy G przekształceń tego zbioru. Zauważmy że podczas wykonywania przekształceń z obranej grupy pewne struktury utworzone z elementów tego zbioru zmieniają się, a inne pozostają bez zmian. […] Teoria zdaniem Kleina to zbiór zdan prawdziwych o niezmiennikach. Takie rozumienie pojęcia teoria ma szereg zalet.

     Dla przeciwstawienia należy teraz opisać konkurencyjna (i zwycięską) koncepcję [..]. Ma ona charakter syntaktyczny[..] Moritz Pasch [..] podjął trud napisania od nowa Elementów Euklidesa, ale tak, by spełniały one ( a raczej ich odpowiednik) wszelkie wymagania jakie sformułowaniom pojęciom i rozumowaniom stawiał koniec XIX wieku. […] Od strony geometrycznej przyniosło ono spostrzeżenie że pojęcie odcinka (równoważnie – porządku na prostej) jest w oryginalnych Elementach czysto intuicyjne. Wskazano tez jakiego rodzaju „szósty postulat” należy dodać […] Zauważmy tyko, że teoria w sensie Kleina nie jest teorią w sensie Pascha. Powód jest bardzo prosty – już dla bardzo nieskomplikowanych zbiorów ich kleinowskie teorie mają nieprzeliczalną liczbę niezmienników, a teoria typu syntaktycznego może mieć jedynie tyle pojęć ile jest możliwych napisów – tych jest ( nawet przy założeniu że dopuszczamy nieskończenie długie ) tylko przeliczalna liczba: napisy to przecież ciągi.”

    „Kończąc ten króciutki tekst poświęcony udziałowi logiki w matematyce, chciałbym stwierdzić, że logika właściwie nigdy matematyce nie pomogła – wspierała tylko, niejako ex post, jej działanie. Zakres stosowanych metod wybierany byl na innej drodze – chodziło o to, by uzyskiwać jakieś prawdy, a to się w logice zmieścić nie chciało. Unikanie błędów nie jest bowiem aktem twórczym. Duże znaczenie jakie logika matematyczna uzyskała w pierwszej połowie XX wieku, bierze się stąd, że postanowiła odpowiadać również na ontologiczne problemy matematyki ( o czym będzie za chwilę mowa) oraz – później – ze względu na domniemanie, że może się niesłychanie przydać informatyce ( o czym pisał nie będę)
[…]
    Zgadzam się z opinią (najostrzej wyrażaną przez bourbakistów), że najczęściej to, co mówi matematyk na ten temat, jest wątpliwej jakości, bo jakoś mało matematyków uprawia filozofię.
[..]
     W Starożytności kłopotu ze statusem pojęć matematyki nie było, jak też nie było kłopotu z prawdziwością jej twierdzeń. Starożytni traktowali bowiem matematykę jako naukę przyrodniczą […] niezależnie od tego czy sąd taki miał nachylenie materialistyczne (Demokryt) czy też idealistyczne (Platon).
[…]
     W konsekwencji matematyka w XVII wieku miała się weryfikować pośrednio – jedynie przez zastosowania. I choć każda rzecz była w niej wątpliwa i o każda trwały spory, sprawy jej prawdziwości w gruncie rzeczy nie dyskutowano.
[…]
    Wszystko było dobrze, dopóki w matematyce nie powstała konieczność dokonywania wyboru jednego z kilku możliwych opisów jednej i tej samej rzeczywistości . Riemann w swoim wykładzie habilitacyjnym pisze: „Pozostaje problem, w jakiej mierze i w jakim sensie hipotezy te potwierdza doświadczenie „, ale przecież sam nie wierzy , że jakieś doświadczenie wykaże iz wymiar fizycznej przestrzeni okaże się np. 1993 ( bo przecież uprawia geometrię n-wymiarową dla dowolnego n).
[…]
     Wyjścia sa trzy: albo machnąć ręką na rzeczywistość i uprawiać sobie taka matematykę, jaką się ona okazała (sama?), albo też przyjąć ostre rozwiązania restrykcyjne i wszelkie niestandardowości wykasować ( a czy coś wtedy zostanie?), albo wreszcie mieć nadzieję, że całą (jedyną już wtedy) matematykę z czegoś się wyprowadzi. Jeśli dodać do tego jeszcze pojawiające się […] paradoksy, to otrzyma sie pełną motywację powołania do życia podstaw matematyki – dyscypliny, której powierzono rozstrzygnięcie tych sporów.

    W tej sytuacji propozycja Moritza Pascha stworzenia dla każdej z dyscyplin matematyki odpowiedniej syntaktycznej teorii […] została powszechnie przyjęta jako droga do wyjścia z sytuacji – począwszy od ostatniego dziesięciolecia XIX wieku, przez ponad pół wieku – wszystko się aksjomatyzuje. Problem prawdy matematycznej staje się w tym ujęciu problemem konkretnym – mamy określoną strukturę – teorię formalną – i chcemy dla niej określić pewną własność ( niech jej będzie prawdziwość – ale to brzydkie słowo), która byłaby dla tej teorii świadectwem moralności. To brzmi sensownie, na tyle sensownie że nawet Poincare – wykpiwający przedtem pojęcie prawdy matematycznej tak jakby to była np. druga świeżość – uznał takie rozwiązanie za właściwe. A co więcej – to się daje zrobić. Konkretnie prace tę wykonał w 1933 roku Alfred Tarski ( „Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych”). Stosowna operacja użyta przez Tarskiego jako indykator prawdziwości to precyzyjnie matematycznie określone spełnianie. Można by więc sądzić, że wszystko trafiło na swoje miejsce – tymczasem wcale tak nie było.

    Zadanie zbudowania aksjomatycznej teorii w sensie Pascha dla wszelkich teorii matematycznych okazało się zadaniem trudnym i niewdzięcznym. Niewdzięcznym dlatego, że powstające teorie miały na ogół mnóstwo zupełnie paskudnych własności. W celu zapobieżenia takim wypadkom program Pascha aksjomatyzowania matematyki znacznie zaostrzono. Od aksjomatycznej teorii formalnej zażądano by spełniała pięć warunków. Oto one:

  • niesprzeczność (oznacza to, że z dwóch przeciwnych zdań w jej języku co najwyżej jedno należy do teorii)
  • zupełność (że co najmniej jedno należy)
  • kategoryczność ( że dowolne dwa obiekty opisywane przez tę teorię sa izomorficzne)
  • rozstrzygalność ( istnieje algorytm pozwalający w skończonej liczbie kroków stwierdzić, czy dane zdanie należy do teorii)
  • skończona – lub choćby przeliczalna – aksjomatyzowalność (wszystkie zdania teorii można uzyskać jako konsekwencje ich skończonego – lub ewentualnie przeliczalnego – zbioru; pożądane jest przy tym, aby były to zdania niezależne czyli takie żeby teoria uzyskana z każdej mniejszej liczby aksjomatów miała mniej twierdzeń)

    Przytoczyłem je dlatego, że program ukonstytuowania każdej gałęzi matematyki w formie takiej pięcioprzymiotnikowej aksjomatycznej teorii formalnej jest znany powszechnie jako program Hilberta i stanowi założenia szkoły metodologicznej zwanej formalizmem.

    Szkoły metodologicznej – to nie żart. Okazuje się bowiem, że stare ostrzeżenie, jakie matki dawały córkom, by się zbyt długo nie wpatrywały w lustro, gdyż zobaczą diabła, spełniło sie w matematyce.: tak długo matematycy przyglądali sie swojej dyscyplinie, aż diabeł się pojawił i matematyka rozpadła się na różne szkoły metodologiczne, tak jak nie przymierzając – historia.
[…]
     Formalizm rozwijał się bardzo bujnie i byl już w latach dwudziestych dominującą doktryną uprawiania matematyki – sam Hilbert w 1917 roku pracował prawie wyłącznie w tym kierunku. Bo mimo nakładu ludzkiej energii zrealizowanie postulatu eleganckiego zaksjomatyzowania matematyki, niestety, nie przynosił spodziewanych sukcesów. Co gorsza z biegiem lat pojawiły się klęski. Była już mowa o niemożności dowodu niesprzeczności arytmetyki zgodnie z zasadami formalizmu (II problem Hilberta). Tenże Goedel który byl autorem tego rezultatu wykazał w 1931 roku również niezupełność arytmetyki ( i każdej teorii w której arytmetykę można zinterpretować). Większość potrzebnych teorii nie spełniała więc dwóch spośród wymaganych warunków. W 1933 roku Theoralf Skolem ( o którym już była mowa) i Leopold Loewenheim (1878;1940) wykazali, że każda teoria (typu Pascha), która ma model nieskończony, ma model każdej nieskończonej mocy – kategoryczność może więc tylko mieć miejsce dla teorii dotyczących skończonych zbiorów (chyba że przez teorię będziemy rozumieli co innego niż Pasch). Z rozstrzygalnością okazało się, że jest to własność egzotyczna, tj. przysługująca bardzo nielicznym teoriom i na dodatek bardzo dziwnie względem siebie usytuowanym – np. arytmetyka liczb naturalnych rozstrzygalna nie jest, a liczb zespolonych – jest. Słowem totalna klęska.

    W tym świetle może się wydawać dziwne, że gdy przyszedłem na studia (lata pięćdziesiąte) na Uniwersytecie Warszawskim większość matematyków ( a nie byli to byle jacy matematycy – dziś wystarczyło by ich dla całej Polski i to z dużą górką) była z przekonań i ze sposoby wykładania formalistami. [..] Dlaczego więc formalizm był w przewadze? […] formaliści kupili większość matematyków na wizję matematyki która dla matematyków jest bardzo dobrze określoną grą i tylko narzędziem dla całej reszty. Na wizję matematyki, której stosowalność w realnym świecie jest niezgłębioną niezgłębialną tajemnicą. Przewaga formalistów ( ogromna w środkowych dziesięcioleciach XX wieku sięgająca 90%) zniknęła w latach siedemdziesiątych.
[…]
Najbardziej rozpowszechniony od lat siedemdziesiątych pogląd na tę sprawę zakłada miałkość problematyki podstaw matematyki i proponuje zachowanie buszmena – jedyną naprawdę pewną rzeczą jest busz, a jaki jest busz, każdy widzi i może się o tym dowolnie mocno na własnej skórze przekonać. Kierunek ten pochodzi od Ersta Zermelo i zakłada że interior w którym żyją matematycy to teoria mnogości […]
Słowem u progu XXI wieku matematykę uprawia się radośnie i beztrosko zupełnie nie przejmując się tym, że żaden z problemów […] nie został rozwiązany. Nikt zresztą nie chce na takie tematy rozmawiać […]”

 

    Cytat z książki „Wykłady z historii matematyki” Kordosa, wydawnictwo SCRIPT z 2005 roku, w moim egzemplarzu strona 246 na temat podejścia Kleina i strona 276 i następne na temat podejścia Pascha ( tu np. jest ta książka, o ile wiem ma wznowienia: http://www.matematyka.wroc.pl/node/1083 )