Zenon z Elei wymyślił pewne rozumowanie znane jako „Paradoks Achillesa który ściga żółwia”. Idzie to mniej więcej tak:

Szybkonogi Achilles i żółw postanowili odbyć wyścig. Achilles dał żółwiowi fory więc zanim Achilles poderwał się do biegu żółw biegł przez chwile jaką, i dobiegł nieopodal. Achilles tedy ruszył, i dobiegł do miejsca gdzie zdołał był dotrzeć żółw kiedy szybkonogi rozpoczynał wyścig. Przecie jednak i żółw się nie zatrzymał, a że przebiegł kawałek, tedy Achilles nie dogonił żółwia. Widząc to ruszył raźniej i znów przebiegł dystans jaki, ale przecież i żółw nie stał w miejscu! Kolejny raz choć Achilles rączo wyciągał nogi żółw ubiegł go o niewielki dystans. Ilekroć Achilles pokonywał kolejne odcinki by dopaść żółwia, tylekroć i żółw ubiegał go o odcinek jaki. Czy li Achilles nigdy nie dogoni zółwia?

 

    Uważa się że Zenon wymyślił paradoks o Achillesie i żółwiu by uzasadnić poprawność poglądów swojego mistrza, Parmenidesa. Poglądy te na ile mi znane, a specjalistą nie jestem, negowały koncepcje innego filozofa, Heraklita który głosił tezy o powszechnej przemianie rzeczy. Parmenides miał więc twierdzić, z Zenon usiłował tego dowieść za pomocą przemyślnych aporii których powyższa jest przykładem, że niemożliwe są zmiana, dualizm bytu i niebytu, a co za tym idzie, przemiana z bytu w niebyt itp. Nie wnikajmy tu w te sprawy, ale zauważmy że interesujące w związku z paradoksem Zenona sa (pierwszą z nich zauważa Michał Walicki w swojej książce do której linka dałem poniżej) dwie rzeczy:

    1. Paradoksy byc może sa przykładami dowodów przeprowadzanych przez reductio ad absurdum

    2. Nie wiemy czego dowodził Zenon

    Punkt 2 wydaje mi się ważny. Współcześnie spotykam wiele tekstów, od logiki po historie w których autorzy wręcz twierdzą, że Zenon dowodził, iż Achilles nie dogoni żółwia! Stwierdzenie takie jest absurdem. Sprzeczność która pojawia się w paradoksie Achillesa ( Czasem przedstawianym tak: Załóżmy że Achilles dogoni żółwia – > musiałby przebiec nieskończenie wiele odcinków podczas gdy żółw zawsze wyprzedza go o jeden -> nigdy mu się to nie uda) polega wprawdzie na tym, że Achilles aby przegonić żółwia raz a dobrze, musiałby przegonić go w „nieskoczenie wielu wyścigach”, najprawdopodobniej nie znamy jednak tezy! A ta musiała na czymś zgoła innym. Być może chodziło o dowód niemożliwości wprowadzenia zmiany w świecie. Zmiany rozumianej nie bezpośrednio ale abstrakcyjnie jako zasada: Achilles nie może wyprzedzić żółwia bo i żadna zmiana nie jest możliwa. Ale to podsyć rażące uproszczenie wobec tak ciekawie sformułowanego rozumowania. Ani Parmenides, ani Zenon głupcami na pewno nie byli. Sami nieraz gonili za żółwiem ( albo gonił za nim dla nich ktoś inny), bo żółwie to pożywny posiłek, zupa jest smaczna. Nawet dzisiaj, gadanie o braku ruchu by nie przeszło, choć przechodzą rzeczy których by nie przełknął żaden prymitywny jaskiniowiec, o Goździkowej a co dopiero o Parmenidesie nawet nie wspominając. Odkąd dowiedziałem się, że idee Hipparcha o aproksymacji krzywoliniowych orbit planet przez odcinki prostych zostały przez Witruwiusza i następne pokolenia zrozumiane jako pogląd że „planety w ich ruchu prostoliniowym powstrzymują promienia Słońca w kształcie trójkątów” trudno mi się oprzeć wrażeniu, że naprawdę niewiele wiemy o tym, co taki Zenon sobie myślał i o co mu chodziło. Zwłaszcza, że znamy jego aporie głównie z przekazów Arystotelesa, który jak wiadomo mylił się niemal we wszystkim poza tymi kwestiami w których miał rację.
     O co takiego mogło chodzić Zenonowi? Po pierwsze sprzeczność w aporii Zenona polega na tym, że Achilles wyprzedzi żółwia o czym wszyscy są przekonani. Wiadomo zatem, że w założeniach jest błąd, że startujemy od twierdzenia które jest nieprawdziwe.Po drugie rozumowanie jak je znamy podkreśla konieczność nieskończonego kontynuowania wyścig: gdyby bowiem któryś z zawodników się zatrzymał, z aporii nici. Może Zenonowi chodziło jednak o to by wykazać że można z nieskończenie wielu kawałków poskładać skończone sumy? A może chodziło tylko o intelektualna zabawę pojęciem ciągłości by wykazać brak ciągłości w rzeczywistości? Skoro nie można drogi podzielić na nieskończenie drobne kawałki aporia znika. Żółw w końcu nie zdąży pokonać najmniejszego możliwego, skończonego kawałka o pewnej długości nim Achilles to zrobi.
    Pozostając przy standardowej interpretacji, że Zenonowi chodziło o niemożliwość dokonania zmiany, i o pozorność ruchu ( co moim zdaniem mało prawdopodobne) warto zwrócić uwagę na następująca rzecz. Oto w rozumowaniu reductio ad absurdum, dowód kończy się sprzecznością. Uważa się obecnie że dla współczesnych Zenonowi owa sprzeczność była jakoś związana z grupą takich pojęć jak: ciągłość przestrzeni, nieskończony podziałem drogi na coraz mniejsze odcinki, sumowaniem ich, pojęcie granicy nieznane ponoć w tamtych czasach. Jeśli tak, to Zenon dostrzegał jawną i oczywista sprzeczność w czymś co sprzecznym nijak nie było. A przynajmniej nie jest dla nas. Arystoteles zapewne przytaczał aporie Zenona gdyż były trudne do odrzucenia. O ile wiem, nie pisał o nich jako o oczywistych bredniach. Zapewne dla współczesnych Parmenidesowi Zenonowi i Arystotelesowi ( a więc przez długi czas jaki ich dzielił między sobą i az do co najmniej czasów Eudoksosa z Knidos) paradoksy te nie znajdywały żadnego wyjaśnienia. Sprzeczność wydawała się poważna i oczywista, i nie bardzo było wiadomo co zmienić w założeniach które zdawały się oczywiste, aby aporii uniknąć. Ta oczywistość jest właśnie godna uwagi. Ile współczesnych oczywistych sprzeczności lub oczywistych prawd może zostać przemieniona w przyszłości w nowe bogatsze teorie? Na ile nasze przekonanie o o pewnej określonej tu czy tam oczywistej sprzeczności jest błędne? Na ile formalizacja teorii jest „obiektywnym zabezpieczeniem” a na ile kolejną antropomorfizacją w świecie który jest zdecydowanie zbyt skomplikowany? Może pojęcie sprzeczności a zwłaszcza oczywistości ( nie tylko potocznej ale i tej formalnej i rzekomo ścisłej) jest w istocie pojęciem historycznym? na ile np. nasze przekonania na temat obliczalności sa wynikiem ścisłych rozumowań formalnych a na ile jedynie wynikiem indukcji niezupełnej?
    Na koniec z innej beczki, jak zwykle zapewne pomylę skrzypienie ze skrzypcami. Pytanie dla specjalistów ( i w bardzo luźnym związku z powyższym): czy dysponując teorią aksjomatyczną pierwszego rzędu oraz jej modelem na uniwersum skonstruowanym w języku drugiego rzędu, mamy w wyniku model drugiego rzędu? A może tylko teorię pierwszego rzędu mówiąca coś o obiektach drugiego rzędu? A może to to samo? A może nie? jakie znaczenie mają w tym wypadku kwantyfikatory „dla każdego” i „istnieje”? Czy do ich interpretacji, w tym i w innych przypadkach, konieczny jest metajęzyk czy nie?

    Michał Walicki „Introductioin to Logic”
    Lucio Russo „Zapomniana rewolucja. Grecka myśl naukowa a nauka nowoczesna”

Reklamy